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僕らが微分形式を使う理由

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僕らが余接ベクトル空間を使う理由

全微分というのを1年生の微分積分学で習ったと思います．その定義は大雑把に言えば次のようなものでした．
$d f = \frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1} + \frac{\partial f}{\partial x_{2}} d x_{2} + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_{n}} d x_{n}$
そしてこれは座標によらないのでした．つまり，
$d f = \frac{\partial f}{\partial y_{1}} d y_{1} + \frac{\partial f}{\partial y_{2}} d y_{2} + \dots + \frac{\partial f}{\partial y_{n}} d y_{n}$
という別の表示があった時，形式的に次のような関係があるのでした．
$d x_{i} = \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial x_{i}}{\partial y_{j}} d y_{j} \dots (1)$
この関係は微分の連鎖律から求めることができます．
　さて，多様体論を勉強すると，接ベクトル空間が次のような微分作用素を基底としたものとして定まりました．
${\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{2}}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_{n}}}$
別の座標系で
${\frac{\partial}{\partial y_{1}}, \frac{\partial}{\partial y_{2}}, \dots, \frac{\partial}{\partial y_{n}}}$
と表示されているとき，これらの間には
$\frac{\partial}{\partial x_{i}} = \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial y_{j}}{\partial x_{i}} \frac{\partial}{\partial y_{j}} \dots (2)$
という関係がありました．
　さて， $d x_{i}$ のような記号に数学的にきちんと意味づけをするためにはどうすればよいでしょうか？ヒントとしては $(1)$ と $(2)$ をよく見ることです．
　答えですが， $d x_{i}$ を $\frac{\partial}{\partial x_{i}}$ の双対基底として見てあげることで $(2)$ から $(1)$ を導くことができます．以下で詳しく見ていきます．
　双対基底なので
$(d x_{i}) (\frac{\partial}{\partial x_{j}}) = δ_{i j}$
が成り立ちます．よって
$δ_{i j} = (d x_{i}) (\sum_{k = 1}^{n} \frac{\partial y_{k}}{\partial x_{j}} \frac{\partial}{\partial y_{k}}) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{\partial y_{k}}{\partial x_{j}} (d x_{i}) (\frac{\partial}{\partial y_{k}})$
が成り立ち，ゆえに，
$(d x_{i}) (\frac{\partial}{\partial y_{k}}) = \frac{\partial x_{i}}{\partial y_{k}}$
である．
$d x_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} d y_{j}$
として代入すれば，
$a_{i k} = \frac{\partial x_{i}}{\partial y_{k}}$
である．よって示された．

僕らが微分形式を使う理由

上の一般化をしたいと思います．今度は重積分について考えます．
　 $2$ 重積分を考えるとき，異なる座標系で積分するとき，次の公式が成り立ちます．
$\int_{D} f (x, y) d x d y = \int_{E} f (x (u, v), y (u, v)) | \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} | d u d v$
$d x d y, d u d v$ のところだけを抜き出すと，
$d x d y = | \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} | d u d v$
ヤコビアンの絶対値は積分値がマイナスにならないように付けているものであったので一般的な状況を考えるためにここでは外して考える．すると，行列式の交代性により便宜的に次のように考えた方が良いことが分かる．つまり， $d x d y$ を $d x \land d y$ と書き， $d x \land d y = - d y \land d x$ とし， $d u d v$ についても同様に考える．すると，
$d x \land d y = \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} d u \land d v = \frac{\partial (x, y)}{\partial (v, u)} d v \land d u$
が成り立つようになる．
　このような記号を数学的に定式化していきましょう．これは先ほど手に入れた余接ベクトル空間の外積代数の元として実現できます．こうすると例えば基底として ${d x_{1}, d x_{2}}$ と ${d y_{1}, d y_{2}}$ を取ってきたとき， $2$ 次の外積余接ベクトル空間の元として $d x_{1} \land d x_{2}$ と $d y_{1} \land d y_{2}$ の関係は，
$\begin{aligned} d x_{1} \land d x_{2} & = (\frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}} d y_{1} + \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{2}} d y_{2}) \land (\frac{\partial x_{2}}{\partial y_{1}} d y_{1} + \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{2}} d y_{2}) \\ = \frac{\partial (x_{1}, x_{2})}{\partial (y_{1}, y_{2})} d y_{1} \land d y_{2} \end{aligned}$
となり，欲しかった関係が得られる．