大学数学基礎解説

Double counting を用いた Laguerre 多項式の直交関係の証明

特殊関数,組合せ論,直交多項式

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Laguerre 多項式は以下のように定義されます．

Laguerre 多項式

非負整数 $n$ に対し，
$\begin{array}{r} L_{n} (x) := e^{x} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{n} e^{- x}) \end{array}$

Laguerre 多項式の係数は以下のように表されます．

Laguerre 多項式の係数による表示

$L_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k} (n!)^{2}}{(n - k)! (k!)^{2}} x^{k}$

$n$ 階微分に対する Leibniz 則により，
$\begin{aligned} L_{n} (x) & = e^{x} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{n} e^{- x}) \\ = e^{x} \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \frac{d^{n - k}}{d x^{n - k}} (x^{n}) \frac{d^{k}}{d x^{k}} (e^{- x}) \\ = e^{x} \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} \frac{n!}{k!} (- 1)^{k} e^{- x} \\ = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) \frac{n!}{k!} x^{k} \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k} (n!)^{2}}{(n - k)! (k!)^{2}} x^{k} \end{aligned}$

Laguerre 多項式は区間 $[0, \infty)$ における重み関数 $e^{- x}$ に関する直交多項式であり，以下の直交関係を満たすことが知られています．

Laguerre 多項式の直交関係

非負整数 $n, n^{'}$ に対し，
$\begin{array}{r} \int_{0}^{\infty} L_{n} (x) L_{n^{'}} (x) e^{- x} d x = (n!)^{2} δ_{n n^{'}} \end{array}$
ただし $δ_{n n^{'}}$ は Kronecker の $δ$ である．

定理 $2$ を証明する際，命題 $1$ で得た係数による表示から直接導出しようとすると，二項係数を含む複雑な和を計算する必要が生じますが，Double counting を用いると，この和を計算することができます．この方針で証明する方法を述べます．

$X, X^{'}$ を有限集合とし， $n := | X |, n^{'} := | X^{'} |$ とおく．このとき，部分集合 $Y \subseteq X, Y^{'} \subseteq X^{'}$ の組 $(Y, Y^{'})$ で $| Y | = | Y^{'} |$ を満たすものは $(\binom{n + n^{'}}{n})$ 個存在する．

$\begin{aligned} A & := {(Y, Y^{'}) ∣ Y \subseteq X, Y^{'} \subseteq X^{'}, | Y | = | Y^{'} |} \\ B & := {(Y, Y^{'}) ∣ Y \subseteq X, Y^{'} \subseteq X^{'}, | Y | + | Y^{'} | = n} \end{aligned}$
とおく．さらに，写像 $F : A \to B, G : B \to A$ を
$\begin{aligned} F (Y, Y^{'}) & := (X ∖ Y, Y^{'}) \\ G (Y, Y^{'}) & := (X ∖ Y, Y^{'}) \end{aligned}$
と定める． $F, G$ は well-defined である．実際， $(Y, Y^{'}) \in A$ に対し $| X ∖ Y | + | Y^{'} | = | X | - | Y | + | Y^{'} | = | X | = n$ より $(X ∖ Y, Y^{'}) \in B$ であるから $F$ は well-defined であり， $(Y, Y^{'}) \in B$ に対し $| X ∖ Y | = | X | - | Y | = n - | Y | = | Y^{'} |$ より $(X ∖ Y, Y^{'}) \in A$ であるから $G$ は well-defined である．

また， $F \circ G = {id}_{B}, G \circ F = {id}_{A}$ であるから， $F, G$ は全単射であり， $| A | = | B |$ である．

$B$ の元の個数は $X, X^{'}$ の元合計 $n + n^{'}$ 個のうち $n$ 個選ぶ場合の数に等しいので， $(\binom{n + n^{'}}{n})$ である．よって， $| A | = (\binom{n + n^{'}}{n})$ である．

(定理

2

の証明)

$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} L_{n} (x) L_{n^{'}} (x) e^{- x} d x & = \int_{0}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k} (n!)^{2}}{(n - k)! (k!)^{2}} x^{k}) (\sum_{l = 0}^{n^{'}} \frac{(- 1)^{l} (n^{'}!)^{2}}{(n^{'} - l)! (l!)^{2}} x^{l}) e^{- x} d x \\ = \sum_{k = 0}^{n} \sum_{l = 0}^{n^{'}} \frac{(- 1)^{k + l} (n!)^{2} (n^{'}!)^{2}}{(n - k)! (k!)^{2} (n^{'} - l)! (l!)^{2}} \int_{0}^{\infty} x^{k + l} e^{- x} d x \\ = \sum_{k = 0}^{n} \sum_{l = 0}^{n^{'}} \frac{(- 1)^{k + l} (n!)^{2} (n^{'}!)^{2}}{(n - k)! (k!)^{2} (n^{'} - l)! (l!)^{2}} (k + l)! \\ = n! n^{'}! \sum_{k = 0}^{n} \sum_{l = 0}^{n^{'}} \frac{(- 1)^{k + l} n! n^{'}! (k + l)!}{(n - k)! (k!)^{2} (n^{'} - l)! (l!)^{2}} \\ = n! n^{'}! \sum_{k = 0}^{n} \sum_{l = 0}^{n^{'}} (- 1)^{k + l} (\binom{n}{k}) (\binom{n^{'}}{l}) (\binom{k + l}{k}) \end{aligned}$
である．

ここで， $A := {1, 2, \dots, n}, A^{'} := {1, 2, \dots, n^{'}}$ とおき，部分集合 $B \subseteq A, B^{'} \subseteq A^{'}$ の組 $(B, B^{'})$ であって， $| B | = | B^{'} |, A ∖ B = \emptyset, A^{'} ∖ B^{'} = \emptyset$ を満たすものの個数を考える．条件を満たす組は $n = n^{'}$ のときは $(A, A^{'})$ のみであり， $n \neq n^{'}$ のときは存在しないので， $δ_{n n^{'}}$ 通りである．

包除原理により，等式
$\begin{array}{r} δ_{n n^{'}} = \sum_{C \subseteq A} \sum_{C^{'} \subseteq A^{'}} (- 1)^{| C | + | C^{'} |} | {(B, B^{'}) ∣ B \subseteq A ∖ C, B^{'} \subseteq A^{'} ∖ C^{'}, | B | = | B^{'} |} | \end{array}$
が成り立つ．ここで，右辺について補題 $3$ より，
$\begin{aligned} δ_{n n^{'}} & = \sum_{C \subseteq A} \sum_{C^{'} \subseteq A^{'}} (- 1)^{| C | + | C^{'} |} (\binom{| A ∖ C | + | A^{'} ∖ C^{'} |}{| A ∖ C |}) \\ = \sum_{C \subseteq A} \sum_{C^{'} \subseteq A^{'}} (- 1)^{| C | + | C^{'} |} (\binom{(n - | C |) + (n^{'} - | C |)}{n - | C |}) \end{aligned}$
$(- 1)^{| C | + | C^{'} |} (\binom{(n - | C |) + (n^{'} - | C |)}{n - | C |})$ は $| C |, | C^{'} |$ のみに依存するため， $k := n - | C |, l := n^{'} - | C^{'} |$ とおくと，
$\begin{aligned} δ_{n n^{'}} & = \sum_{k = 0}^{n} \sum_{l = 0}^{n^{'}} (- 1)^{(n - k) + (n^{'} - l)} (\binom{n}{k}) (\binom{n^{'}}{l}) (\binom{k + l}{k}) \\ = (- 1)^{n + n^{'}} \sum_{k = 0}^{n} \sum_{l = 0}^{n^{'}} (- 1)^{k + l} (\binom{n}{k}) (\binom{n^{'}}{l}) (\binom{k + l}{k}) \end{aligned}$
したがって，
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} L_{n} (x) L_{n^{'}} (x) e^{- x} d x & = n! n^{'}! (- 1)^{n + n^{'}} δ_{n n^{'}} = (n!)^{2} δ_{n n^{'}} \end{aligned}$
を得る．

投稿日：3月3日

更新日：3月4日

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