Laguerre 多項式は以下のように定義されます.
非負整数$n$に対し,
\begin{align}
L_n(x) := e^x \dv[n]{x}(x^ne^{-x})
\end{align}
Laguerre 多項式の係数は以下のように表されます.
$L_n(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(n!)^2}{(n-k)!(k!)^2}x^k$
$n$階微分に対する Leibniz 則により,
\begin{align}
L_n(x) &= e^x\dv[n]{x}(x^ne^{-x}) \\
&= e^x \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\dv[n-k]{x}(x^n) \dv[k]{x}(e^{-x}) \\
&= e^x \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k\frac{n!}{k!} (-1)^ke^{-x} \\
&= \sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}\frac{n!}{k!}x^k \\
&= \sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(n!)^2}{(n-k)!(k!)^2}x^k
\end{align}
Laguerre 多項式は区間$[0,\infty)$における重み関数$e^{-x}$に関する直交多項式であり,以下の直交関係を満たすことが知られています.
非負整数$n, n'$に対し,
\begin{align}
\int_0^\infty L_n(x)L_{n'}(x)e^{-x}\,dx = (n!)^2\delta_{nn'}
\end{align}
ただし$\delta_{nn'}$は Kronecker の$\delta$である.
定理$2$を証明する際,命題$1$で得た係数による表示から直接導出しようとすると,二項係数を含む複雑な和を計算する必要が生じますが,Double counting を用いると,この和を計算することができます.この方針で証明する方法を述べます.
$X,X'$を有限集合とし,$n := |X|, n' := |X'|$とおく.このとき,部分集合$Y \subseteq X, Y' \subseteq X'$の組$(Y,Y')$で$|Y|=|Y'|$を満たすものは$\displaystyle\binom{n+n'}{n}$個存在する.
\begin{align}
\mathcal{A} &:= \{(Y,Y') \mid Y \subseteq X, Y' \subseteq X', |Y| = |Y'|\} \\
\mathcal{B} &:= \{(Y,Y') \mid Y \subseteq X, Y' \subseteq X', |Y|+|Y'| = n\}
\end{align}
とおく.さらに,写像 $F \colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}, G \colon \mathcal{B} \to \mathcal{A}$ を
\begin{align}
F(Y,Y') &:= (X \setminus Y, Y') \\
G(Y,Y') &:= (X \setminus Y, Y')
\end{align}
と定める.$F,G$ は well-defined である.実際,$(Y,Y') \in \mathcal{A}$に対し$|X \setminus Y|+|Y'| = |X|-|Y|+|Y'| = |X| = n$より$(X \setminus Y, Y') \in \mathcal{B}$であるから$F$は well-defined であり,$(Y,Y') \in \mathcal{B}$に対し$|X \setminus Y| = |X|-|Y| = n-|Y| = |Y'|$より$(X \setminus Y,Y') \in \mathcal{A}$であるから$G$は well-defined である.
また,$F \circ G = \mathrm{id}_{\mathcal{B}}, G \circ F = \mathrm{id}_{\mathcal{A}}$であるから,$F,G$は全単射であり,$|\mathcal{A}| = |\mathcal{B}|$である.
$\mathcal{B}$の元の個数は$X,X'$の元合計$n+n'$個のうち$n$個選ぶ場合の数に等しいので,$\displaystyle\binom{n+n'}{n}$である.よって,$|\mathcal{A}| = \displaystyle\binom{n+n'}{n}$である.
\begin{align}
\int_0^\infty L_n(x)L_{n'}(x)e^{-x}\,dx &= \int_0^\infty \left(\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(n!)^2}{(n-k)!(k!)^2}x^k\right)\left(\sum_{l=0}^{n'}\frac{(-1)^l(n'!)^2}{(n'-l)!(l!)^2}x^l\right) e^{-x}\,dx \\
&= \sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^{n'} \frac{(-1)^{k+l}(n!)^2(n'!)^2}{(n-k)!(k!)^2(n'-l)!(l!)^2}\int_0^\infty x^{k+l}e^{-x}\,dx \\
&= \sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^{n'} \frac{(-1)^{k+l}(n!)^2(n'!)^2}{(n-k)!(k!)^2(n'-l)!(l!)^2}(k+l)! \\\
&= n!n'!\sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^{n'}\frac{(-1)^{k+l}n!n'!(k+l)!}{(n-k)!(k!)^2(n'-l)!(l!)^2} \\
&= n!n'!\sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^{n'}(-1)^{k+l}\binom{n}{k}\binom{n'}{l}\binom{k+l}{k}
\end{align}
である.
ここで,$A := \{1,2,\dots,n\}, A' := \{1,2,\dots,n'\}$とおき,部分集合$B \subseteq A, B' \subseteq A'$の組$(B,B')$であって,$|B| = |B'|, A \setminus B = \emptyset, A' \setminus B' = \emptyset$を満たすものの個数を考える.条件を満たす組は$n=n'$のときは$(A,A')$のみであり,$n \neq n'$のときは存在しないので,$\delta_{nn'}$通りである.
包除原理により,等式
\begin{align}
\delta_{nn'} = \sum_{C \subseteq A} \sum_{C' \subseteq A'} (-1)^{|C|+|C'|}|\{(B,B') \mid B \subseteq A \setminus C, B' \subseteq A' \setminus C', |B| = |B'|\}|
\end{align}
が成り立つ.ここで,右辺について補題$3$より,
\begin{align}
\delta_{nn'} &= \sum_{C \subseteq A} \sum_{C' \subseteq A'} (-1)^{|C| + |C'|} \binom{|A \setminus C| + |A' \setminus C'|}{|A \setminus C|} \\
&= \sum_{C \subseteq A} \sum_{C' \subseteq A'} (-1)^{|C| + |C'|} \binom{(n-|C|) + (n'-|C|)}{n-|C|}
\end{align}
$(-1)^{|C| + |C'|} \displaystyle\binom{(n-|C|) + (n'-|C|)}{n-|C|}$は$|C|,|C'|$のみに依存するため,$k := n-|C|, l := n'-| C'|$とおくと,
\begin{align}
\delta_{nn'} &= \sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^{n'} (-1)^{(n-k)+(n'-l)}\binom{n}{k}\binom{n'}{l} \binom{k+l}{k} \\
&= (-1)^{n+n'}\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^{n'}(-1)^{k+l}\binom{n}{k}\binom{n'}{l}\binom{k+l}{k}
\end{align}
したがって,
\begin{align}
\int_0^\infty L_n(x)L_{n’}(x)e^{-x}\,dx &= n!n'!(-1)^{n+n'}\delta_{nn'} = (n!)^2\delta_{nn'}
\end{align}
を得る.