Laguerre 多項式は以下のように定義されます.
Laguerre 多項式の係数は以下のように表されます.
Laguerre 多項式は区間における重み関数に関する直交多項式であり,以下の直交関係を満たすことが知られています.
Laguerre 多項式の直交関係
非負整数に対し,
ただしは Kronecker のである.
定理を証明する際,命題で得た係数による表示から直接導出しようとすると,二項係数を含む複雑な和を計算する必要が生じますが,Double counting を用いると,この和を計算することができます.この方針で証明する方法を述べます.
を有限集合とし,とおく.このとき,部分集合の組でを満たすものは個存在する.
とおく.さらに,写像 を
と定める. は well-defined である.実際,に対しよりであるからは well-defined であり,に対しよりであるからは well-defined である.
また,であるから,は全単射であり,である.
の元の個数はの元合計個のうち個選ぶ場合の数に等しいので,である.よって,である.
(定理の証明)
である.
ここで,とおき,部分集合の組であって,を満たすものの個数を考える.条件を満たす組はのときはのみであり,のときは存在しないので,通りである.
包除原理により,等式
が成り立つ.ここで,右辺について補題より,
はのみに依存するため,とおくと,
したがって,
を得る.