Double counting を用いた Laguerre 多項式の直交関係の証明

$n$階微分に対する Leibniz 則により，
\begin{align} L_n(x) &= e^x\dv[n]{x}(x^ne^{-x}) \\ &= e^x \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\dv[n-k]{x}(x^n) \dv[k]{x}(e^{-x}) \\ &= e^x \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k\frac{n!}{k!} (-1)^ke^{-x} \\ &= \sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}\frac{n!}{k!}x^k \\ &= \sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(n!)^2}{(n-k)!(k!)^2}x^k \end{align}

\begin{align} \mathcal{A} &:= \{(Y,Y') \mid Y \subseteq X, Y' \subseteq X', |Y| = |Y'|\} \\ \mathcal{B} &:= \{(Y,Y') \mid Y \subseteq X, Y' \subseteq X', |Y|+|Y'| = n\} \end{align}
とおく．さらに，写像 $F \colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}, G \colon \mathcal{B} \to \mathcal{A}$ を
\begin{align} F(Y,Y') &:= (X \setminus Y, Y') \\ G(Y,Y') &:= (X \setminus Y, Y') \end{align}
と定める．$F,G$ は well-defined である．実際，$(Y,Y') \in \mathcal{A}$に対し$|X \setminus Y|+|Y'| = |X|-|Y|+|Y'| = |X| = n$より$(X \setminus Y, Y') \in \mathcal{B}$であるから$F$は well-defined であり，$(Y,Y') \in \mathcal{B}$に対し$|X \setminus Y| = |X|-|Y| = n-|Y| = |Y'|$より$(X \setminus Y,Y') \in \mathcal{A}$であるから$G$は well-defined である．

また，$F \circ G = \mathrm{id}_{\mathcal{B}}, G \circ F = \mathrm{id}_{\mathcal{A}}$であるから，$F,G$は全単射であり，$|\mathcal{A}| = |\mathcal{B}|$である．

$\mathcal{B}$の元の個数は$X,X'$の元合計$n+n'$個のうち$n$個選ぶ場合の数に等しいので，$\displaystyle\binom{n+n'}{n}$である．よって，$|\mathcal{A}| = \displaystyle\binom{n+n'}{n}$である．

\begin{align} \int_0^\infty L_n(x)L_{n'}(x)e^{-x}\,dx &= \int_0^\infty \left(\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(n!)^2}{(n-k)!(k!)^2}x^k\right)\left(\sum_{l=0}^{n'}\frac{(-1)^l(n'!)^2}{(n'-l)!(l!)^2}x^l\right) e^{-x}\,dx \\ &= \sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^{n'} \frac{(-1)^{k+l}(n!)^2(n'!)^2}{(n-k)!(k!)^2(n'-l)!(l!)^2}\int_0^\infty x^{k+l}e^{-x}\,dx \\ &= \sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^{n'} \frac{(-1)^{k+l}(n!)^2(n'!)^2}{(n-k)!(k!)^2(n'-l)!(l!)^2}(k+l)! \\\ &= n!n'!\sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^{n'}\frac{(-1)^{k+l}n!n'!(k+l)!}{(n-k)!(k!)^2(n'-l)!(l!)^2} \\ &= n!n'!\sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^{n'}(-1)^{k+l}\binom{n}{k}\binom{n'}{l}\binom{k+l}{k} \end{align}
である．

ここで，$A := \{1,2,\dots,n\}, A' := \{1,2,\dots,n'\}$とおき，部分集合$B \subseteq A, B' \subseteq A'$の組$(B,B')$であって，$|B| = |B'|, A \setminus B = \emptyset, A' \setminus B' = \emptyset$を満たすものの個数を考える．条件を満たす組は$n=n'$のときは$(A,A')$のみであり，$n \neq n'$のときは存在しないので，$\delta_{nn'}$通りである．

包除原理により，等式
\begin{align} \delta_{nn'} = \sum_{C \subseteq A} \sum_{C' \subseteq A'} (-1)^{|C|+|C'|}|\{(B,B') \mid B \subseteq A \setminus C, B' \subseteq A' \setminus C', |B| = |B'|\}| \end{align}
が成り立つ．ここで，右辺について補題$3$より，
\begin{align} \delta_{nn'} &= \sum_{C \subseteq A} \sum_{C' \subseteq A'} (-1)^{|C| + |C'|} \binom{|A \setminus C| + |A' \setminus C'|}{|A \setminus C|} \\ &= \sum_{C \subseteq A} \sum_{C' \subseteq A'} (-1)^{|C| + |C'|} \binom{(n-|C|) + (n'-|C|)}{n-|C|} \end{align}
$(-1)^{|C| + |C'|} \displaystyle\binom{(n-|C|) + (n'-|C|)}{n-|C|}$は$|C|,|C'|$のみに依存するため，$k := n-|C|, l := n'-| C'|$とおくと，
\begin{align} \delta_{nn'} &= \sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^{n'} (-1)^{(n-k)+(n'-l)}\binom{n}{k}\binom{n'}{l} \binom{k+l}{k} \\ &= (-1)^{n+n'}\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^{n'}(-1)^{k+l}\binom{n}{k}\binom{n'}{l}\binom{k+l}{k} \end{align}
したがって，
\begin{align} \int_0^\infty L_n(x)L_{n’}(x)e^{-x}\,dx &= n!n'!(-1)^{n+n'}\delta_{nn'} = (n!)^2\delta_{nn'} \end{align}
を得る．