ナナベキ : 7の冪乗数と戯れる

はじめに

はじめにまとめ

本稿では、$7^2$、$7^3$などの$7$ の非負整数羃の面白いと思った性質について述べる。
なお、以降、$7$ の非負整数羃を「ナナベキ」と呼ぶことにする。

さっそく、まとめ。

• ナナベキの下 $ 2 $ 桁は $01$、 $07$、$49$、$43$ の $4$ 種類しかない。
  • $7^4=24\underline{01},\, 7^5=168\underline{07},\, 7^6=1176\underline{49},\, 7^7=8235\underline{43},\, 7^8=57648\underline{01},\,\cdots $
• 連続する四つのナナベキの和は $100$ で割り切れる。
  • 例えば、$ \sum_{k=0}^3 7^k= 7^0+7^1+7^2+7^3 = 400,\;\sum_{k=4}^7 7^k= 7^4+7^5+7^6+7^7 = 960400$。
• ナナベキは、下 $ 2 $ 桁だけでなく下 $3,4,5$ 桁の種類も少ない。

ナナベキの下 2 桁

ナナベキの下 2 桁は 4 種類しかない

ナナベキを順に計算してみる。

\begin{eqnarray} \begin{array}{lcr} 7^0 &=& 1 \\ 7^1 &=& 7 \\ 7^2 &=& 49 \\ 7^3 &=& 343 \\ 7^4 &=& 2401 &\equiv& 1 \pmod{100} \end{array} \end{eqnarray}
このことから次の命題が成立する。

平たく言うと、$7$ の $ 2$ 乗、$ 3$ 乗、... と $ 7$ の自然数乗を見ていったときに、下 $2$ 桁は $01$、 $07$、$49$、$43$ のいずれか、ということである。

連続する4ナナベキの和の下 2 桁

命題1より、次の命題もすぐに導かれる。

たとえば、
$$ \begin{array}{lclcr} 7^0+7^1+7^2+7^3 &=& 1 + 7 + 49 + 343 &=& 400, \\ 7^1+7^2+7^3+7^4 &=& 7 + 49 + 343 + 2401 &=& 2800, \\ 7^4+7^5+7^6+7^7 &=& 2401 + 16807 + 117649 + 823543 &=& 60400, \\ \end{array} $$
など。

「位数」あるいは「下 $k$ 桁の種類数」

位数

(自然数 $m$ に素な) 自然数 $a$ の羃を $m$ で割ったときの余りは循環するが、一周回ってくるまでどれくらいか、という値を「$m$ を法とする $a$ の位数」と呼ぶ。

$m$ 進数表示の下 $m$ 桁

$a$ を $m$ で割ったときの余りは、$a$ を $m$ 進数表示したときの最終桁、とも言える。
$a$ を $m^2$ で割ったときの余りは、$\alpha m + \beta$ という形をとり、これは、$a$ を $m$ 進数表示したときの下$2$桁、とも言える。
同様に、$a$ を $m^k$ で割ったときの余りは、$a$ を $m$ 進数表示したときの下$k$桁、と言える。

そうすると、$m^k$ を法とする $a$ の位数$\mathrm{ord}_{m^k}(a)$ は「$a$ の冪乗数を $m$ 進数表示したときの下 $k$ 桁」が何種類あるのかを表している、と言える。

$7$の位数 ($m=10,100$)

命題1 を位数の観点から捉えると、次のことが言える。

この $4$ という値が、一般的な位数よりどれくらい小さいのか、ということを見ていく。

オイラーの定理とトーシェント関数

トーシェント関数 $\varphi(m)$ を用いると、$m$と互いに素な $a$ に対して、次のオイラーの定理が成り立つ。

位数の定義から、$ \mathrm{ord}_m(a) \leq \varphi(m) $、より詳しく言うと $\mathrm{ord}_m(a)$ は$ \varphi(m)$ の約数、すなわち
$ \mathrm{ord}_m(a) \mid \varphi(m)$ である。

一般的なトーシェント関数についての値は割愛するが、$10$ の冪乗についてのトーシェント関数は、$k$ を自然数として、次式で与えられる。
$$ \varphi(10^k) = 2^{k+1} \cdot 5^{k-1} = 4 \cdot 10^{k-1} \;. $$
これとオイラーの定理を合わせると、次の命題が成り立つ。

すなわち、$a$ の冪乗数の下 $k$ 桁はたかだか $4 \cdot 10^{k-1}$ 種類以下、正確には$4 \cdot 10^{k-1}$ の約数である $\mathrm{ord}_{10^k}(a) $ 種類の下 $k$ 桁が出現する、ということである。
たとえば、$a = 3$ の場合、$\mathrm{ord}_{10}(3) = 4,\,\mathrm{ord}_{100}(3) = 40 $ である。

$10^k$ を法とした $7$ の位数

$k>2$ の場合の$10^k$ を法とした $7$ の位数を求めてみる。

$m^k$ を法とした位数がわかっているときの $m^{k+1}$ を法とした位数

$w_k$を、$m^k$ を法としたときの $a$ の位数とする。すなわち、$w_k = \mathrm{ord}_{m^k}(a)$。
このとき、$m^{k+1}$ を法とした合同を考えると、$0\leq b < m$ なる整数 $b$ を用いて、
$$ a^{w_k} \equiv bm^k + 1 \pmod{m^{k+1}}, $$
と表すことができる。
位数の定義より、$v< w$ ならば、$ a^v\not\equiv 1 \pmod{m^{k}}$ なので、自然数 $c$ を用いると、
$$ \begin{array}{l} &a^{cw_k+v} = (a^{w_k})^c \cdot a^v \equiv 1^c \cdot a^v \equiv a^v \not\equiv 1 \pmod{m^{k}}, \\ \therefore &a^{cw_k+v} \not\equiv 1 \pmod{m^{k+1}}. \end{array} $$
つまり、$m^{k+1}$ を法とした位数 $w_{k+1} $ は、$m^k$ を法とした位数 $w_k$ の倍数になるはずである。
また、
$$ a^{cw_k} = (a^{w_k})^c \equiv (bm^k + 1)^c \pmod{m^{k+1}}, $$
二項展開を用いて
$$ a^{cw_k} \equiv (bm^k + 1)^c \equiv cbm_k+1\pmod{m^{k+1}}. $$
したがって、$a^{cw_k}$ が $m^{k+1}$ を法として $1$ と合同になるには、$cbm_k$ が $0$ と合同である必要がある。
$b$ の値によらず、$c=m$ ならば$cbm_k \equiv 0 \pmod{m^{k+1}} $ なので、 $m^{k+1}$ を法とした位数 $w_{k+1}= \mathrm{ord}_{m^{k+1}}(a)$は $cw_k$ 以下である。

まとめると、次のようになる。

このことから、$w_k = \mathrm{ord}_{m^k}(a)$ がわかっているときには、自然数 $c$ を $1$ から順に試し、$(a^{w_k})^c \equiv 1 \pmod{m^{k+1}}$ となるものとして $\mathrm{ord}_{m^{k+1}}(a)$ を求めることができることがわかる。

高次ナナベキ

$k>2$のときの $\mathrm{ord}_{10^k}(7) $を計算するために、次の${\large\varUpsilon}_k^n s$を定義する。

${\large\varUpsilon}_k^n s$は、10進数表記したときに、$2^ns$のうしろに $k-1$ 個の $0$ と最後に $1$ をつけた数と言ってもよい。$s$ は素因数として $2$ も $5$ も含まないので、$2^ns$の末尾が $0$ になることはない。すなわち、${\large\varUpsilon}_k^n s - 1$の末尾に付く $0$ の個数はちょうど $k$ 個で 下 $k+1$ 桁目は $0$ でない。
また、定義より${\large\varUpsilon}_k^n s \equiv 1 \pmod{10^k}$ もあきらか。

ちなみに、
$$ 7^4= 2401 = 24\cdot100+1 = 2^3\cdot3\times10^2+1 = {\large\varUpsilon}_2^3 3, $$
である。

ここで、$({\large\varUpsilon}_k^n s)^c$ を計算してみる。
二項定理より、
$$ ({\large\varUpsilon}_k^n s)^c = (2^ns\cdot10^k+1)^c \equiv c(2^ns\cdot10^k)+1 \pmod{10^{k+1}}\;.\\ $$
$s$は$5$を素因数に含まないので、
$$ ({\large\varUpsilon}_k^n s)^c \equiv c(2^ns\cdot10^k)+1 \equiv \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2^ncs\cdot10^k+1 & \not\equiv 1 \pmod{10^{k+1}} &\dots\; c < 5 \\ 5s\cdot10^{k}+1 & \not\equiv 1 \pmod{10^{k+1}} &\dots\; c = 5 \, \land\, n = 0 \\ 2^{n-1}s\cdot10^{k+1}+1 &\equiv 1 \pmod{10^{k+1}} &\dots\; c = 5 \, \land\, n \geq 1 \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} \;\;. $$
つまり、次の性質が成り立つ。

$n\geq 1$ のときの $({\large\varUpsilon}_k^n s)^5 $を計算してみる。
$$ \begin{array}{l} ({\large\varUpsilon}_k^n s)^5 &= (2^ns\cdot10^k+1)^5\\ &= (2^ns\cdot10^k)^5 + 5\cdot(2^ns\cdot10^k)^4 + 10\cdot(2^ns\cdot10^k)^3 + 10\cdot(2^ns\cdot10^k)^2 + 5\cdot(2^ns\cdot10^k) + 1\\ &= 2^{5n}s^5\cdot10^{5k} + 2^{4n-1}s^4\cdot10^{4k+1} + 2^{3n}s^3\cdot10^{3k+1} + 2^{2n}s^{2s}\cdot10^{2k+1} + 2^{n-1}s\cdot10^{k+1} + 1\\ &= 2^{n-1}( 2^{4n+1}s^4\cdot10^{4k-1} + 2^{3n}s^3\cdot10^{3k} + 2^{2n+1}s^2\cdot10^{2k} + 2^{n+1}s\cdot10^{2k+1} + 1)s\cdot10^{k+1} + 1\\ &= 2^{n-1}{\large\varGamma}_k^ns + 1.\\ \end{array} $$
ここで、${\large\varGamma}_k^ns$ は、便宜的に次のように定義したものである。
$$ {\large\varGamma}_k^ns \overset{\text{def}}{\;=\;} 2^{4n+1}s^4\cdot10^{4k-1} + 2^{3n}s^3\cdot10^{3k} + 2^{2n+1}s^2\cdot10^{2k} + 2^{n+1}s\cdot10^{2k+1} + 1. $$
この定義から ${\large\varGamma}_k^ns \equiv 1 \pmod{2} \;\land\; {\large\varGamma}_k^ns \equiv 1 \pmod{5} $ が言えるので、
$$ ({\large\varUpsilon}_k^n s)^5 = 2^{n-1}{\large\varGamma}_k^ns + 1 = {\large\varUpsilon}_{k+1}^{n-1} {\large\varGamma}_k^ns. $$
$7^k$ について適用してみると、$7^4= {\large\varUpsilon}_2^3 3 \;\land\;\mathrm{ord}_{10^2}(7) = 4 $であったから、命題7より、$n>0$の間は
$$ \begin{array}{l} \mathrm{ord}_{10^2}(7) = 4 &\land& 7^4 = {\large\varUpsilon}_2^3 3, \\ \mathrm{ord}_{10^3}(7) = 5\cdot\mathrm{ord}_{10^2}(7) = 20 &\land& 7^{20} = (7^4)^5 = ({\large\varUpsilon}_2^3 3)^5 = {\large\varUpsilon}_{3}^{2} {\large\varGamma}_2^3 3, \\ \mathrm{ord}_{10^4}(7) = 5\cdot\mathrm{ord}_{10^3}(7) = 100 &\land& 7^{100} = (7^{20})^5 = ( {\large\varUpsilon}_{3}^{2} {\large\varGamma}_2^3 3)^5 = {\large\varUpsilon}_{4}^{1} {\large\varGamma}_{3}^{2} {\large\varGamma}_2^3 3, \\ \mathrm{ord}_{10^5}(7) = 5\cdot\mathrm{ord}_{10^4}(7) = 500 &\land& 7^{500} = (7^{100})^5 = ({\large\varUpsilon}_{4}^{1} {\large\varGamma}_{3}^{2} {\large\varGamma}_2^3 3)^5 = {\large\varUpsilon}_{5}^{0} {\large\varGamma}_{4}^{1} {\large\varGamma}_{3}^{2} {\large\varGamma}_2^3 3, \\ \end{array} $$
となり、ここで $n=0$ となるので、$\mathrm{ord}_{10^6}(7) = 10\cdot\mathrm{ord}_{10^5}(7) = 5000$となる。

前節の結果と合わせてまとめると、次表のようになる。

表の見かたであるが、たとえば、$k=4$ で言えば、$2$や$5$を素因数に含まない自然数の羃の下4桁は、$4000$種類あるのが普通だが、ナナベキに関しては $100$ 種類しか現れない、ということである。