ナナベキ : 7の冪乗数と戯れる

はじめに

はじめにまとめ

本稿では、$7^2$、$7^3$などの$7$ の非負整数羃の面白いと思った性質について述べる。
なお、以降、$7$ の非負整数羃を「ナナベキ」と呼ぶことにする。

さっそく、まとめ。

• ナナベキの下 $2$ 桁は $01$、 $07$、$49$、$43$ の $4$ 種類しかない。
  • $7^4=24\underset{―}{01},7^5=168\underset{―}{07},7^6=1176\underset{―}{49},7^7=8235\underset{―}{43},7^8=57648\underset{―}{01},\cdots$
• 連続する四つのナナベキの和は $100$ で割り切れる。
  • 例えば、$\sum _{k=0}^3{7}^k=7^0+7^1+7^2+7^3=400,\sum _{k=4}^7{7}^k=7^4+7^5+7^6+7^7=960400$。
• ナナベキは、下 $2$ 桁だけでなく下 $3,4,5$ 桁の種類も少ない。

ナナベキの下 2 桁

ナナベキの下 2 桁は 4 種類しかない

ナナベキを順に計算してみる。

$$\begin{array}{r}\begin{array}{lcr}{7}^0& =& 1\\ 7^1& =& 7\\ 7^2& =& 49\\ 7^3& =& 343\\ 7^4& =& 2401& \equiv & 1(\mathrm{mod}100)\end{array}\end{array}$$
このことから次の命題が成立する。

平たく言うと、$7$ の $2$ 乗、$3$ 乗、... と $7$ の自然数乗を見ていったときに、下 $2$ 桁は $01$、 $07$、$49$、$43$ のいずれか、ということである。

連続する4ナナベキの和の下 2 桁

命題1より、次の命題もすぐに導かれる。

たとえば、
$$\begin{array}{lclcr}{7}^0+7^1+7^2+7^3& =& 1+7+49+343& =& 400,\\ 7^1+7^2+7^3+7^4& =& 7+49+343+2401& =& 2800,\\ 7^4+7^5+7^6+7^7& =& 2401+16807+117649+823543& =& 60400,\end{array}$$
など。

「位数」あるいは「下 $k$ 桁の種類数」

位数

(自然数 $m$ に素な) 自然数 $a$ の羃を $m$ で割ったときの余りは循環するが、一周回ってくるまでどれくらいか、という値を「$m$ を法とする $a$ の位数」と呼ぶ。

$m$ 進数表示の下 $m$ 桁

$a$ を $m$ で割ったときの余りは、$a$ を $m$ 進数表示したときの最終桁、とも言える。
$a$ を $m^2$ で割ったときの余りは、$\alpha m+\beta$ という形をとり、これは、$a$ を $m$ 進数表示したときの下$2$桁、とも言える。
同様に、$a$ を $m^k$ で割ったときの余りは、$a$ を $m$ 進数表示したときの下$k$桁、と言える。

そうすると、$m^k$ を法とする $a$ の位数${\mathrm{ord}}_{m^k}(a)$ は「$a$ の冪乗数を $m$ 進数表示したときの下 $k$ 桁」が何種類あるのかを表している、と言える。

$7$の位数 ($m=10,100$)

命題1 を位数の観点から捉えると、次のことが言える。

この $4$ という値が、一般的な位数よりどれくらい小さいのか、ということを見ていく。

オイラーの定理とトーシェント関数

トーシェント関数 $\phi (m)$ を用いると、$m$と互いに素な $a$ に対して、次のオイラーの定理が成り立つ。

位数の定義から、${\mathrm{ord}}_m(a)\le \phi (m)$、より詳しく言うと ${\mathrm{ord}}_m(a)$ は$\phi (m)$ の約数、すなわち
${\mathrm{ord}}_m(a)\mid \phi (m)$ である。

一般的なトーシェント関数についての値は割愛するが、$10$ の冪乗についてのトーシェント関数は、$k$ を自然数として、次式で与えられる。
$$\phi ({10}^k)=2^{k+1}\cdot 5^{k-1}=4\cdot {10}^{k-1}.$$
これとオイラーの定理を合わせると、次の命題が成り立つ。

すなわち、$a$ の冪乗数の下 $k$ 桁はたかだか $4\cdot {10}^{k-1}$ 種類以下、正確には$4\cdot {10}^{k-1}$ の約数である ${\mathrm{ord}}_{{10}^k}(a)$ 種類の下 $k$ 桁が出現する、ということである。
たとえば、$a=3$ の場合、${\mathrm{ord}}_{10}(3)=4,{\mathrm{ord}}_{100}(3)=40$ である。

${10}^k$ を法とした $7$ の位数

$k>2$ の場合の${10}^k$ を法とした $7$ の位数を求めてみる。

$m^k$ を法とした位数がわかっているときの $m^{k+1}$ を法とした位数

$w_k$を、$m^k$ を法としたときの $a$ の位数とする。すなわち、$w_k={\mathrm{ord}}_{m^k}(a)$。
このとき、$m^{k+1}$ を法とした合同を考えると、$0\le b<m$ なる整数 $b$ を用いて、
$$a^{w_k}\equiv b{m}^k+1(\mathrm{mod}{m}^{k+1}),$$
と表すことができる。
位数の定義より、$v<w$ ならば、$a^v\not\equiv 1(\mathrm{mod}{m}^k)$ なので、自然数 $c$ を用いると、
$$\begin{array}{ll}& a^{c{w}_k+v}=(a^{w_k}{)}^c\cdot a^v\equiv 1^c\cdot a^v\equiv a^v\not\equiv 1(\mathrm{mod}{m}^k),\\ \therefore & a^{c{w}_k+v}\not\equiv 1(\mathrm{mod}{m}^{k+1}).\end{array}$$
つまり、$m^{k+1}$ を法とした位数 $w_{k+1}$ は、$m^k$ を法とした位数 $w_k$ の倍数になるはずである。
また、
$$a^{c{w}_k}=(a^{w_k}{)}^c\equiv (b{m}^k+1{)}^c(\mathrm{mod}{m}^{k+1}),$$
二項展開を用いて
$$a^{c{w}_k}\equiv (b{m}^k+1{)}^c\equiv cb{m}_k+1(\mathrm{mod}{m}^{k+1}).$$
したがって、$a^{c{w}_k}$ が $m^{k+1}$ を法として $1$ と合同になるには、$cb{m}_k$ が $0$ と合同である必要がある。
$b$ の値によらず、$c=m$ ならば$cb{m}_k\equiv 0(\mathrm{mod}{m}^{k+1})$ なので、 $m^{k+1}$ を法とした位数 $w_{k+1}={\mathrm{ord}}_{m^{k+1}}(a)$は $c{w}_k$ 以下である。

まとめると、次のようになる。

このことから、$w_k={\mathrm{ord}}_{m^k}(a)$ がわかっているときには、自然数 $c$ を $1$ から順に試し、$(a^{w_k}{)}^c\equiv 1(\mathrm{mod}{m}^{k+1})$ となるものとして ${\mathrm{ord}}_{m^{k+1}}(a)$ を求めることができることがわかる。

高次ナナベキ

$k>2$のときの ${\mathrm{ord}}_{{10}^k}(7)$を計算するために、次の${{\rm Y}}_k^{n}s$を定義する。

${{\rm Y}}_k^{n}s$は、10進数表記したときに、$2^{n}s$のうしろに $k-1$ 個の $0$ と最後に $1$ をつけた数と言ってもよい。$s$ は素因数として $2$ も $5$ も含まないので、$2^{n}s$の末尾が $0$ になることはない。すなわち、${{\rm Y}}_k^{n}s-1$の末尾に付く $0$ の個数はちょうど $k$ 個で 下 $k+1$ 桁目は $0$ でない。
また、定義より${{\rm Y}}_k^{n}s\equiv 1(\mathrm{mod}{10}^k)$ もあきらか。

ちなみに、
$$7^4=2401=24\cdot 100+1=2^3\cdot 3\times {10}^2+1={{\rm Y}}_2^{3}3,$$
である。

ここで、$({{\rm Y}}_k^{n}s{)}^c$ を計算してみる。
二項定理より、
$$({{\rm Y}}_k^{n}s{)}^c=(2^{n}s\cdot {10}^k+1{)}^c\equiv c(2^{n}s\cdot {10}^k)+1(\mathrm{mod}{10}^{k+1}).$$
$s$は$5$を素因数に含まないので、
$$({{\rm Y}}_k^{n}s{)}^c\equiv c(2^{n}s\cdot {10}^k)+1\equiv \begin{array}{r}\{\begin{array}{lll}{2}^{n}cs\cdot {10}^k+1& \not\equiv 1(\mathrm{mod}{10}^{k+1})& \dots c<5\\ 5s\cdot {10}^k+1& \not\equiv 1(\mathrm{mod}{10}^{k+1})& \dots c=5\wedge n=0\\ 2^{n-1}s\cdot {10}^{k+1}+1& \equiv 1(\mathrm{mod}{10}^{k+1})& \dots c=5\wedge n\ge 1\end{array}\end{array}.$$
つまり、次の性質が成り立つ。

$n\ge 1$ のときの $({{\rm Y}}_k^{n}s{)}^5$を計算してみる。
$$\begin{array}{ll}({{\rm Y}}_k^{n}s{)}^5& =(2^{n}s\cdot {10}^k+1{)}^5\\ & =(2^{n}s\cdot {10}^k{)}^5+5\cdot (2^{n}s\cdot {10}^k{)}^4+10\cdot (2^{n}s\cdot {10}^k{)}^3+10\cdot (2^{n}s\cdot {10}^k{)}^2+5\cdot (2^{n}s\cdot {10}^k)+1\\ & =2^{5n}{s}^5\cdot {10}^{5k}+2^{4n-1}{s}^4\cdot {10}^{4k+1}+2^{3n}{s}^3\cdot {10}^{3k+1}+2^{2n}{s}^{2s}\cdot {10}^{2k+1}+2^{n-1}s\cdot {10}^{k+1}+1\\ & =2^{n-1}(2^{4n+1}{s}^4\cdot {10}^{4k-1}+2^{3n}{s}^3\cdot {10}^{3k}+2^{2n+1}{s}^2\cdot {10}^{2k}+2^{n+1}s\cdot {10}^{2k+1}+1)s\cdot {10}^{k+1}+1\\ & =2^{n-1}{\Gamma }_k^{n}s+1.\end{array}$$
ここで、${\Gamma }_k^{n}s$ は、便宜的に次のように定義したものである。
$${\Gamma }_k^{n}s\stackrel{\text{def}}{=}{2}^{4n+1}{s}^4\cdot {10}^{4k-1}+2^{3n}{s}^3\cdot {10}^{3k}+2^{2n+1}{s}^2\cdot {10}^{2k}+2^{n+1}s\cdot {10}^{2k+1}+1.$$
この定義から ${\Gamma }_k^{n}s\equiv 1(\mathrm{mod}2)\wedge {\Gamma }_k^{n}s\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ が言えるので、
$$({{\rm Y}}_k^{n}s{)}^5=2^{n-1}{\Gamma }_k^{n}s+1={{\rm Y}}_{k+1}^{n-1}{\Gamma }_k^{n}s.$$
$7^k$ について適用してみると、$7^4={{\rm Y}}_2^{3}3\wedge {\mathrm{ord}}_{{10}^2}(7)=4$であったから、命題7より、$n>0$の間は
$$\begin{array}{lll}{\mathrm{ord}}_{{10}^2}(7)=4& \wedge & 7^4={{\rm Y}}_2^{3}3,\\ {\mathrm{ord}}_{{10}^3}(7)=5\cdot {\mathrm{ord}}_{{10}^2}(7)=20& \wedge & 7^{20}=(7^4{)}^5=({{\rm Y}}_2^{3}3{)}^5={{\rm Y}}_3^2{\Gamma }_2^{3}3,\\ {\mathrm{ord}}_{{10}^4}(7)=5\cdot {\mathrm{ord}}_{{10}^3}(7)=100& \wedge & 7^{100}=(7^{20}{)}^5=({{\rm Y}}_3^2{\Gamma }_2^{3}3{)}^5={{\rm Y}}_4^1{\Gamma }_3^2{\Gamma }_2^{3}3,\\ {\mathrm{ord}}_{{10}^5}(7)=5\cdot {\mathrm{ord}}_{{10}^4}(7)=500& \wedge & 7^{500}=(7^{100}{)}^5=({{\rm Y}}_4^1{\Gamma }_3^2{\Gamma }_2^{3}3{)}^5={{\rm Y}}_5^0{\Gamma }_4^1{\Gamma }_3^2{\Gamma }_2^{3}3,\end{array}$$
となり、ここで $n=0$ となるので、${\mathrm{ord}}_{{10}^6}(7)=10\cdot {\mathrm{ord}}_{{10}^5}(7)=5000$となる。

前節の結果と合わせてまとめると、次表のようになる。

表の見かたであるが、たとえば、$k=4$ で言えば、$2$や$5$を素因数に含まない自然数の羃の下4桁は、$4000$種類あるのが普通だが、ナナベキに関しては $100$ 種類しか現れない、ということである。