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位相空間における連続、無限小の近傍、座標の回転

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位相空間における連続、無限小の近傍

命題

$(X, C_x), (Y, C_y)$を位相空間、$f:X\to Y$を写像とする。
$x∈X, f(x)=y$とする時、
$y$の任意の近傍(つまり、無限小に取れる)$U$に対し$x$の近傍$V$があり$f(V)⊂U$となる時、$f$$x$で連続であるという。$f$が全ての点で連続なら、$f$は連続であるという。

公理

無限個の点を集めると線になる。

この公理から成り立つ命題

点の大きさは$0$、または無限小のどちらでもよく、
しかも、無限小と$0$が等しいと考えても、無限小の方が大きいと考えてもよい。

結論

$x$$y$の対応関係があり、線が繋がっていることと、連続であることは同値である。


こうぼくん「???」
こうぼくんが困ってしまった……。
かわぐちさん「たまねぎくん、教えてあげてね」
たまねぎくん「うん。任せてね」

たまねぎくんの解説

$x$を表した直線(空間、なおかつユークリッド空間)のある点$a$$y$を表した直線(空間、なおかつユークリッド空間)という一対一対応した(無限個の元を含む群として見た時に準同型、つまり全ての$x$を含む集合$X$と、全ての$y$を含む集合$Y$が、同じ個数の元を含むすなわち準同型である)ある点$b$があり、その$a$の近傍(近く)にある点$a'$があると、$b$の近傍にもある点$b'$がある。近傍にも点があるのは当たり前だ。
今、この近傍を、極限を取る操作で限りなく0の幅にしても点が存在する、というのが連続であることと同値であるという意味である。


たまねぎくん(ネギネギ)「分かった?」

$y=1/x$$x=0$の場所も連続なの?

連続と考えるよりない。
連続でない、今までの理論で決して連続でないとされてきた座標であるが、簡単な操作で連続になる。

座標の微小量の回転

どちらかに回転させると、途端に連続になる。右回り(時計回り)に回転させると多価関数になってしまうが、多価関数でも連続には違いない。(定義を無視しているが。両方の値に対して同じことが成り立てば連続と見なせる。)

自由な座標の回転、解けない微分方程式の座標の回転

$\sqrt{x^2+y^2}=d$とする。
座標が$(x=dcosθ, y=dsinθ)$の時、座標を$90$度半時計回りに回転させる。$θ$$90$度引く。
これで微分可能になるはず。(ならない場合も当然ある。)
任意の角度の回転も可能だ。

投稿日:2023426

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のんびりしようね。

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