位相空間における連続、無限小の近傍、座標の回転

位相空間における連続、無限小の近傍

命題

$(X, C_x), (Y, C_y)$を位相空間、$f:X\to Y$を写像とする。
$x∈X, f(x)=y$とする時、
$y$の任意の近傍（つまり、無限小に取れる）$U$に対し$x$の近傍$V$があり$f(V)⊂U$となる時、$f$は$x$で連続であるという。$f$が全ての点で連続なら、$f$は連続であるという。

公理

無限個の点を集めると線になる。

この公理から成り立つ命題

点の大きさは$0$、または無限小のどちらでもよく、
しかも、無限小と$0$が等しいと考えても、無限小の方が大きいと考えてもよい。

結論

$x$と$y$の対応関係があり、線が繋がっていることと、連続であることは同値である。


こうぼくん「？？？」
こうぼくんが困ってしまった……。
かわぐちさん「たまねぎくん、教えてあげてね」
たまねぎくん「うん。任せてね」

たまねぎくんの解説

$x$を表した直線（空間、なおかつユークリッド空間）のある点$a$が$y$を表した直線（空間、なおかつユークリッド空間）という一対一対応した（無限個の元を含む群として見た時に準同型、つまり全ての$x$を含む集合$X$と、全ての$y$を含む集合$Y$が、同じ個数の元を含むすなわち準同型である）ある点$b$があり、その$a$の近傍（近く）にある点$a'$があると、$b$の近傍にもある点$b'$がある。近傍にも点があるのは当たり前だ。
今、この近傍を、極限を取る操作で限りなく0の幅にしても点が存在する、というのが連続であることと同値であるという意味である。


たまねぎくん（ネギネギ）「分かった？」

$y=1/x$の$x=0$の場所も連続なの？

連続と考えるよりない。
連続でない、今までの理論で決して連続でないとされてきた座標であるが、簡単な操作で連続になる。

座標の微小量の回転

どちらかに回転させると、途端に連続になる。右回り（時計回り）に回転させると多価関数になってしまうが、多価関数でも連続には違いない。（定義を無視しているが。両方の値に対して同じことが成り立てば連続と見なせる。）

自由な座標の回転、解けない微分方程式の座標の回転

$\sqrt{x^2+y^2}=d$とする。
座標が$(x=dcosθ, y=dsinθ)$の時、座標を$90$度半時計回りに回転させる。$θ$を$90$度引く。
これで微分可能になるはず。（ならない場合も当然ある。）
任意の角度の回転も可能だ。