Franel数の漸化式
Franel数は
\begin{align}
a_n:=\sum_{k=0}^n\binom nk^3\qquad n\geq0
\end{align}
によって定義される数列である. 今回はこの数列が以下の漸化式を満たすことを示す.
$n\geq 0$に対し,
\begin{align}
(n+1)^2a_{n+1}-(7n^2+7n+2)a_n-8n^2a_{n-1}=0
\end{align}
が成り立つ. ただし形式的に$a_{-1}=0$とする.
今回はこの漸化式を${}_3F_2$の隣接関係式を用いて導きたいと思う. 1つ補題を用意する.
\begin{align} &\frac{c(d-e)(d-f)}{1+c-d}\left(\F32{b,c+1,d-1}{e,f}{1}-\F32{b,c,d}{e,f}1\right)\\ &-\frac{d(b-e)(b-f)}{1+d-b}\left(\F32{b-1,c,d+1}{1,1}1-\F32{b,c,d}{e,f}1\right)\\ &+c(b-d)\F32{b,c,d}{e,f}1=0 \end{align}
前の記事 の補題2の両辺を$g$で割ってから$a,g$を固定して$g\to\infty$とすればよい.
$a_n$は${}_3F_2$を用いて
\begin{align}
a_n=\F32{-n,-n,-n}{1,1}{-1}
\end{align}
と表すことができる. ここで,
前の記事
の系2において, $a=b=c=-n$とすると,
\begin{align}
a_n=\F32{-n,-n,-n}{1,1}{-1}=2^n\F32{n+1,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,1}{1}
\end{align}
を得る. よって, 補題2に$b=\frac{1-n}2,c=-\frac n2,d=n+1,e=f=1$とすると,
\begin{align}
\frac{n^2}3(2^{1-n}a_{n-1}-2^{-n}a_n)-\frac{(n+1)^2}{6}(2^{-n-1}a_{n+1}-2^{-n}a_n)+\frac{n(3n+1)}42^{-n}a_n=0
\end{align}
を得る. これを整理すると,
\begin{align}
0&=8n^2a_{n-1}-(n+1)^2a_{n+1}-(4n^2-3n(3n+1)-2(n+1)^2)a_n\\
&=-((n+1)^2a_{n+1}-(7n^2+7n+2)a_n-8n^2a_{n-1})
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
証明の過程で用いたFranel数の表示
\begin{align}
a_n=2^n\F32{n+1,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,1}{1}
\end{align}
は
Almkvist-Zudilin数
の表示
\begin{align}
3^n\F43{n+1,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{1,1,1}1
\end{align}
と似ているという意味ではAlmkvist-Zudilin数はFranel数の類似と言えるかもしれない.
