複二次式のガロア群の分類

あぶすと

$a,b$を自然数としよう．例えば二重根号$\sqrt{a+\sqrt{b}}$を$\mathbb{Q}$に添加した体$\mathbb{Q}\left(\sqrt{a+\sqrt{b}}\right)$の$\mathbb{Q}$上のガロア閉包$M$におけるガロア群$\text{Gal}\left(M/\mathbb{Q}\right)$を求める，みたいな問題はよくあって，解き方さえ知っていればだいたい流れで分かるよね．という話をまとめてみる．基本的な体論の用語，あるいはガロア理論は既知とします．

$\sqrt{a+\sqrt{b}}$の$\mathbb{Q}$上の最小多項式．

基本的に，$\sqrt{a+\sqrt{b}}$の$\mathbb{Q}$上の最小多項式$F_{\alpha }(x)$を求めるときは，$\alpha =\sqrt{a+\sqrt{b}}$とおいて両辺を二乗すれば
$$\begin{array}{rl}{\alpha }^2& =a+\sqrt{b}\\ {\alpha }^2-a& =\sqrt{b}\end{array}$$
と変形して，もう一度二乗して式を整理すれば
$$\begin{array}{r}{\alpha }^4-2a{\alpha }^2+a^2-b=0\end{array}$$
となる．係数はすべて整数だから，特に$F(x)=x^4-2a{x}^2+a^2-b\in \mathbb{Q}[x]$なる多項式は$\alpha =\sqrt{a+\sqrt{b}}$を根に持つ．よって$F_{\alpha }(x)$は$f(x)$を割り切って，もし$F(x)$が$\mathbb{Q}$上既約なら$F(x)=F_{\alpha }(x)$となるのだから，$F(x)$の既約性の判定がすぐにできたら嬉しい．そして実は$a,b$の値だけから判定ができる．

証明自体は，愚直に既約性を確認するときと全く同様．だから難しくない．

この命題から，$\alpha =\sqrt{a+\sqrt{b}}$を根に持つ複二次式$F(x)=x^4-2a{x}^2+a^2-b$の$\mathbb{Q}$上での可約性と条件

1. $(-2a{)}^2-4(a^2-b)=4b$は平方数になる．
2. $a^2-b$は平方数で，かつ$2\sqrt{a^2-b}-(-2a)=2\sqrt{a^2-b}+2a$が平方数になる．

のうちいづれかを満たすことは同値になることが分かる．1.は$b$が平方数となることと同値だから，

1'. $b$は平方数になる．
2. $a^2-b$は平方数で，かつ$2\sqrt{a^2-b}-(-2a)=2\sqrt{a^2-b}+2a$が平方数になる．

が$F(x)$の$\mathbb{Q}$上での可約性の判定法となる．翻ってこの否定を取れば，$F(x)$の$\mathbb{Q}$上での既約性は

1'. $b$は平方数でない．
2. $a^2-b$は平方数でない．または$a^2-b$は平方数だが$2\sqrt{a^2-b}+2a$が平方数でない．
の両方を満たすことと同値になる．

$\mathbb{Q}\left(\sqrt{a+\sqrt{b}}\right)/\mathbb{Q}$の拡大次数．

まず$\mathbb{Q}\left(\sqrt{a+\sqrt{b}}\right)/\mathbb{Q}$の拡大次数$[\mathbb{Q}\left(\sqrt{a+\sqrt{b}}\right):\mathbb{Q}]$は$\sqrt{a+\sqrt{b}}$の$\mathbb{Q}$上の最小多項式の次数に一致するから，前節を使って考えてあげればいい．2条件

1'. $b$は平方数でない．
2. $a^2-b$は平方数でない．または$a^2-b$は平方数だが$2\sqrt{a^2-b}+2a$が平方数でない．

を満たす場合は$F(x)=x^4-2a{x}^2+a^2-b$が欲しい最小多項式になるから，$[\mathbb{Q}\left(\sqrt{a+\sqrt{b}}\right):\mathbb{Q}]=4$となる．

次に$F(x)$が$\mathbb{Q}$上可約である場合を考える．このとき

1'. $b$は平方数になる．
2. $a^2-b$は平方数で，かつ$2\sqrt{a^2-b}+2a$が平方数になる．

のいづれかが成り立つ．1'.が成り立つとして，$b=n^2(n\in \mathbb{Z})$とおくと$\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{a+n}$となる．もし$a+n$が平方数でないなら$\sqrt{a+n}$の$\mathbb{Q}$上の最小多項式が$x^2-(a+n)$になるので，$[\mathbb{Q}\left(\sqrt{a+\sqrt{b}}\right):\mathbb{Q}]=2$である．そうでないなら$[\mathbb{Q}\left(\sqrt{a+\sqrt{b}}\right):\mathbb{Q}]=1$となる．

次に2.が成り立つとして，このもとで$a^2-b=n^2,2\sqrt{a^2-b}+2a=m^2(n,m\in \mathbb{Z})$とおいて，$a,b$について解けば
$$\{\begin{array}{ll}a& =\frac{m^2}{2}-n\\ b& =\frac{m^2}{4}(m^2-4n)\end{array}$$
となる．$2(n+a)=m^2$ゆえ$m^2$は$4$の倍数だから，$m^2-4n$が平方数であることと$b$が平方数となることは同値．この場合は1'.に帰着すればいいから，$m^2-4n$は平方数でないとしてよい．一方で
$$\begin{array}{rl}f(x)& =(x^2+mx+n)(x^2-mx+n)\end{array}$$
と因数分解できたから，$\sqrt{a+\sqrt{b}}$は$x^2+mx+n,x^2-mx+n$の少なくとも一方の根となる．ところでこの二つの二次式の判別式は$m^2-4n$で，これは平方数でないとしているからこれらは有理数根を持たない．つまり$x^2+mx+n,x^2-mx+n$は$\mathbb{Q}$上既約で，$[\mathbb{Q}\left(\sqrt{a+\sqrt{b}}\right):\mathbb{Q}]=2$となる．以上をまとめれば次を得る．

一般に$\mathbb{Q}$上の1次，2次拡大は代数拡大は常にガロア拡大になるから，考えるべきは1.の場合に限る．

$F(x)$のガロア群．

すぐに分かるように$F(x)=x^4-2a{x}^2+a^2-b$の根は
$$\begin{array}{r}\sqrt{a+\sqrt{b}},-\sqrt{a+\sqrt{b}},\sqrt{a-\sqrt{b}},-\sqrt{a-\sqrt{b}}\end{array}$$
で尽くされる．$\alpha =\sqrt{a+\sqrt{b}},\beta =\sqrt{a-\sqrt{b}}$とおくと，$F(x)$の$\mathbb{Q}$上の最小分解体は$\mathbb{Q}(\alpha ,\beta )$となり，これが$\mathbb{Q}(\alpha )/\mathbb{Q}$のガロア閉包になる．

$F(x)=x^4-2a{x}^2+a^2-b$は$\mathbb{Q}$上既約であるとしよう．この場合，

1. $b$が平方数でなく，かつ$a^2-b$が平方数でない．
2. $b$が平方数でなく，かつ$a^2-b$は平方数だが$2\sqrt{a^2-b}+2a$が平方数でない．

のどちらか一方が成り立つ．2.から調べることとして，仮定から$\alpha \beta \in \mathbb{Q}$だから$\beta \in \mathbb{Q}(\alpha )$となる．つまり$\mathbb{Q}(\alpha )=\mathbb{Q}(\alpha ,\beta )$となるから$\mathbb{Q}(\alpha )/\mathbb{Q}$はガロア拡大で，$\varphi ,\psi \in \text{Gal}(\mathbb{Q}(\alpha )/\mathbb{Q})$をそれぞれ
$$\begin{array}{r}\varphi (\alpha )=-\alpha ,\psi (\alpha )=\beta \end{array}$$
とおけば，
$$\begin{array}{rl}{\varphi }^2(\alpha )& =\varphi (-\alpha )=-\varphi (\alpha )=\alpha ,\\ {\psi }^2(\alpha )& =\psi (\beta )=\sqrt{a^2-b}\psi (\alpha {)}^{-1}=\alpha ,\\ \varphi \psi \varphi \psi (\alpha )& =\varphi \psi \varphi (\sqrt{a^2-b}{\alpha }^{-1})=\varphi \psi (\sqrt{a^2-b}\varphi (\alpha {)}^{-1})=\varphi \psi (\sqrt{a^2-b}(-\alpha {)}^{-1})=\varphi (-\sqrt{a^2-b}\psi (\alpha {)}^{-1})=\varphi (-\alpha )=\alpha \end{array}$$
なので，$\text{Gal}(\mathbb{Q}(\alpha )/\mathbb{Q})$は部分群として$⟨\varphi ,\psi |{\varphi }^2,{\psi }^2,\varphi \psi \varphi \psi ⟩\cong C_2\times C_2$をもち，また$|\text{Gal}(\mathbb{Q}(\alpha )/\mathbb{Q})|=4$だから$\text{Gal}(\mathbb{Q}(\alpha )/\mathbb{Q})\cong C_2\times C_2$となる．ただし$C_2$は2次巡回群のことを表す．

ここまでをまとめておく．

残りは$b$が平方数でなく，かつ$a^2-b$が平方数でない場合である．

$a^2-b<0$の場合.

まず$a^2-b<0$の場合から考えてみる．

したがって真の拡大$\mathbb{Q}(\alpha )\subset \mathbb{Q}(\alpha ,\beta )=M$が得られる．よって$[M:\mathbb{Q}]=[M:\mathbb{Q}(\alpha )][\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=4[\mathbb{Q}(\alpha ,\beta ):\mathbb{Q}(\alpha )]>4$だから$[M:\mathbb{Q}]\ge 8$となる．また$\varphi \in \text{Gal}(M/\mathbb{Q})$は$\alpha ,\beta$の対応先を定めれば決まって，具体的には$\alpha ,-\alpha ,\beta ,-\beta$のいづれかで，特に全単射になるような$\varphi$の候補は
$$\begin{array}{rl}\varphi :& \alpha \mapsto \alpha ,\beta \mapsto \beta ,\\ & \alpha \mapsto \alpha ,\beta \mapsto -\beta ,\\ & \alpha \mapsto -\alpha ,\beta \mapsto \beta ,\\ & \alpha \mapsto -\alpha ,\beta \mapsto -\beta ,\\ & \alpha \mapsto \beta ,\beta \mapsto \alpha ,\\ & \alpha \mapsto \beta ,\beta \mapsto -\alpha ,\\ & \alpha \mapsto -\beta ,\beta \mapsto \alpha ,\\ & \alpha \mapsto -\beta ,\beta \mapsto -\alpha ,\end{array}$$
の8通り．したがって$[M:\mathbb{Q}]=8$となる．ところで$\text{Gal}(M/\mathbb{Q})$は$4$次対称群$S_4$の部分群と同型になるわけだが，シローの定理から$S_4$のシロー2部分群は$4$次二面体群$D_4$にすべて共役だから(不安なら具体的に群の表示を計算しても良い)，$\text{Gal}(M/\mathbb{Q})\cong D_4$となる．

$a^2-b>0$の場合．

$a^2-b=b{k}^2(k\in \mathbb{Z})$なる形なら，${\alpha }^2=a+\sqrt{b}$なので，$\sqrt{b}\in \mathbb{Q}(\alpha )$となるので，この場合は$\beta =k\sqrt{b}{\alpha }^{-1}$だから$\mathbb{Q}(\alpha ,\beta )=\mathbb{Q}(\alpha )$となる．この場合は$\text{Gal}(M/\mathbb{Q})$は位数4の群で，また$\varphi \in \text{Gal}(M/\mathbb{Q})$を$\varphi (\alpha )=\beta$で与えると，
$$\begin{array}{rl}a-\sqrt{b}& ={\beta }^2=\varphi ({\alpha }^2)=a+\varphi (\sqrt{b})\end{array}$$
ゆえ$\varphi (\sqrt{b})=-\sqrt{b}$となって，
$$\begin{array}{rl}{\varphi }^2(\alpha )& =\varphi (\beta )=\varphi (k\sqrt{b}{\alpha }^{-1})=k\varphi (\sqrt{b})\varphi (\alpha {)}^{-1}=-k\sqrt{b}(k\sqrt{b}{)}^{-1}\alpha =-\alpha ,\\ {\varphi }^4(\alpha )& ={\varphi }^2(-\alpha )=\alpha \end{array}$$
ゆえ，$\varphi$は位数4の元となって，$\text{Gal}(M/\mathbb{Q})\cong C_4$であると分かる．

そうでない場合は$\beta$が$\mathbb{Q}(\alpha )$に含まれているかどうかはすぐに分からない(いまから示すが，(たぶん)含まれない)．まず，$\alpha =\sqrt{a+\sqrt{b}},\beta =\sqrt{a-\sqrt{b}}$とおいて
$$\begin{array}{r}\frac{1}{\alpha }=\frac{\beta }{\alpha \beta }=\frac{\beta }{\sqrt{a^2-b}}\end{array}$$
だから，$\beta \in \mathbb{Q}(\alpha )$と$\sqrt{a^2-b}\in \mathbb{Q}(\alpha )$は同値である．以降，$b,a^2-b$は平方数でなく，$a^2-b>0$で，$a^2-b=b{k}^2(k\in \mathbb{Z})$なる形で表せないとする．

頑張って計算してみよう．$\sqrt{a^2-b}\in \mathbb{Q}(\alpha )$を仮定する．このときある有理数$s,t,u,v$を用いて
$$\begin{array}{r}\sqrt{a^2-b}=s+t\sqrt{b}+u\alpha +v\alpha \sqrt{b}\end{array}$$
と表せるから，これを2乗して計算してみると，
$$\begin{array}{rl}{a}^2-b& =(s+t\sqrt{b}+u\alpha +v\alpha \sqrt{b}{)}^2\\ & =s^2+b{t}^2+u^2{\alpha }^2+b{v}^2{\alpha }^2+2st\sqrt{b}+2su\alpha +2sv\alpha \sqrt{b}+2tu\alpha \sqrt{b}+2btv\alpha +2uv{\alpha }^2\sqrt{b}\\ & =s^2+b{t}^2+u^2(a+\sqrt{b})+b{v}^2(a+\sqrt{b})+2st\sqrt{b}+2su\alpha +2sv\alpha \sqrt{b}+2tu\alpha \sqrt{b}+2btv\alpha +2uv(a+\sqrt{b})\sqrt{b}\\ & =(s^2+b{t}^2+u^{2}a+b{v}^{2}a+2uvb)+(u^2+b{v}^2+2st+2uva)\sqrt{b}+(2su+2btv)\alpha +(2sv+2tu)\alpha \sqrt{b}\end{array}$$
となるから，
$$\begin{array}{rl}{a}^2-b& =s^2+b{t}^2+u^{2}a+b{v}^{2}a+2uvb,\\ 0& =u^2+b{v}^2+2st+2uva,\\ 0& =2su+2btv,\\ 0& =2sv+2tu\end{array}$$
が係数を比較することで得られる．$u=0$とすれば
$$\begin{array}{rl}{a}^2-b& =s^2+b{t}^2+b{v}^{2}a,\\ 0& =b{v}^2+2st,\\ 0& =tv,\\ 0& =sv\end{array}$$
が成り立つ．もし$v=0$なら2つ目の式から$st=0$ゆえ，$s,t$のいづれかが0になる．$s=0$なら1つ目の式から$a^2-b=b{t}^2$なる形になる．$t$は有理数だから互いに素な$p,q\in \mathbb{Z}$を用いて$t=p/q$と書けて，したがって$a^2-b=b(p^2/q^2)$となる．左辺は整数だから$b=k{q}^2(k\in \mathbb{N})$と表せて，結局$a^2-b=k{p}^2$となるが，いまはこのような場合は考えていないのだから$s\ne 0$となる．$t=0$なら$a^2-b=s^2$となって，左辺が整数だから右辺もそうで，$a^2-b$が平方数となるからこの場合も矛盾して，結局$v\ne 0$となる．

よって$s=0,t=0$が成り立たなければならないが，この場合は2つ目の式から$b\ne 0$ゆえ$v=0$が成り立ってしまうので，$u\ne 0$となる．すると
$$\begin{array}{r}t=-\frac{v}{u}s\end{array}$$
となるから
$$\begin{array}{rl}0=su-\frac{sb{v}^2}{u}& =\frac{s}{u}(u^2-b{v}^2)\end{array}$$
を得る．このとき$u^2-b{v}^2=0$なら，素因子の個数を数えることで$b$が平方数となって矛盾．したがって$s=0$となるしかなく，したがって$t=0$となる．このとき
$$\begin{array}{rl}{a}^2-b& =u^{2}a+b{v}^{2}a+2uvb,\\ 0& =u^2+b{v}^2+2uva\end{array}$$
となる．2つ目の式から
$$\begin{array}{r}-2uv{a}^2=u^{2}a+b{v}^{2}a\end{array}$$
が成り立つから，これを1つ目の式に代入して
$$\begin{array}{rl}{a}^2-b& =-2uv{a}^2+2uvb＝-2uv(a^2-b)\end{array}$$
となる．仮定から$a^2-b$は$0$でないから，$uv=-1/2$となるので$v=-1/2u$となる．このとき
$$\begin{array}{r}0=u^4-a{u}^2+\frac{b}{4}\end{array}$$
となるので
$$\begin{array}{rl}{u}^2& =\frac{a\pm \sqrt{a^2-b}}{2}>0\end{array}$$
が成り立つ．有理数の平方が無理数になることはないから，$\pm \sqrt{a^2-b}=2u^2-a\in \mathbb{Q}$となる．つまり$a^2-b$は平方数でなければならないが，これは矛盾．やったね！

したがって特に、「$b,a^2-b$は平方数でなく，$a^2-b>0$で，$a^2-b=b{k}^2(k\in \mathbb{Z})$なる形で表せない」場合は，真の拡大$\mathbb{Q}(\alpha )\subset \mathbb{Q}(\alpha ,\beta )$を得て，あとは$a^2-b<0$の場合の議論と同じものを回せばよい．

まとめ

間違ってたらコメントください．