いじってたら出てきた式

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注意

この記事には多少、いや大いに厳密さを欠いている部分があります(収束性？ﾅﾆｿﾚ)。あと、どうやらその系統の括りがあるらしいです。

出てきた式

$\sum_{i = - \infty}^{\infty} (- 1)^{i} q^{i^{2}} = \prod_{i = 1}^{\infty} \frac{1 + q^{i}}{1 + q^{i}}$
左辺を見て気づく人もいると思いますが、この式はヤコビの3重積に由来するものです。ヤコビの三重積というのは
$\sum_{i = - \infty}^{\infty} z^{i} q^{i^{2}} = \prod_{i = 1}^{\infty} (1 - q^{2 i}) (1 + q^{2 i - 1} z) (1 + q^{2 i - 1} z^{- 1})$
という式です。ヤコビの三重積の説明については便利さんがしていたのでそちらを見てください。
便利さんの「ヤコビの三重積」
これによって
$\sum_{i = - \infty}^{\infty} (- 1)^{i} q^{i^{2}} = \prod_{i = 1}^{\infty} (1 - q^{2 i}) (1 - q^{2 i - 1}) (1 - q^{2 i - 1})$
と別の表示をすることができます。正直ここまで来ればあとはフイッとできてしまいます。

とどめ

$\prod_{i = 1}^{\infty} (1 - q^{2 i}) (1 - q^{2 i - 1})$
の部分はiが正整数で動く時、2i、2i-1は正整数全てを動くので
$\prod_{i = 1}^{\infty} (1 - q^{i})$
ともかくことができます。
ここでちょっと重要な変形を示しておきます。

ちょっと重要な奴

$\frac{1}{1 - z} = \prod_{i = 0}^{\infty} (1 + z^{2^{i}})$

この等式はここに書いてありました。もちろんこの等式は収束などに条件があるのですが、それはここでは置いておきます。
これを使うと、余った
$\prod_{i = 1}^{\infty} (1 - q^{2 i - 1})$
の部分は
$\prod_{i = 1}^{\infty} (\frac{1}{1 - q^{2 i - 1}})^{- 1}$ とかけるので、
$(\prod_{i = 1}^{\infty} \prod_{j = 0}^{\infty} (1 + q^{2^{j} (2 i - 1)}))^{- 1}$
と書けます。ここでiが正整数、jが非負整数を動くと、 $2^{j} (2 i - 1)$ は全ての正整数を動きます。つまり
$\prod_{i = 1}^{\infty} (1 - q^{2 i - 1}) = \prod_{i = 1}^{\infty} (\frac{1}{1 - q^{2 i - 1}})^{- 1} = (\prod_{i = 1}^{\infty} \prod_{j = 0}^{\infty} (1 + q^{2^{j} (2 i - 1)}))^{- 1} = \prod_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + q^{i}}$ となります。
よって、さっきの式と合わせることで、
$\sum_{i = - \infty}^{\infty} (- 1)^{i} q^{i^{2}} = \prod_{i = 1}^{\infty} \frac{1 + q^{i}}{1 + q^{i}}$ が導けます。