「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、代数の練習問題その1

「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、代数の練習問題その1

前置き

分かりやすいように中括弧をわざと用いた。
真似してもよいが、あまりよい書き方でない可能性がある。自己責任でどうぞ。

問題

解答（本には載ってません）

$f(y)=s$
$sf(sx)=f(x+y)$
$f(sx)=\frac{1}{s}f(x+y)$
$x$が$1$変化した時
$f(s(x+1))=\frac{1}{s}f(x+y+1)$
この式は、左辺の入力の変数がs変化した時に、右辺の$f(x+y)$が$f(x+y+1)$に変化した時の変化量が
$f(x+y+1)-f(x+y)$の$1/s$倍であることを示している。
同じように、$f(s(x+n+1))-f(s(x+n))=\frac{1}{s}\lbrace f(x+y+n+1)-f(x+y+n)\rbrace$

これは入力、出力共に非負実数であり、（それは関係ないが）$x$が$s$という一定の値変化する度に、$\frac{1}{s}\lbrace f(a+1)-f(a)\rbrace$という、$\frac{1}{s}$された$f(a)$が出てくる。
つまり、$y=\frac{1}{s}x$という関数で、
$y$を$s$変化させると、$\frac{1}{s}x$が必ず$1$変化するようなものである。
要するに、(既出の$y$ではないが)
$y$が定数変化した時に右辺の$x$が定数変化する式というのは、$x$と$y$の式では一次式しか存在しない。
更に、
$f(sx)=\frac{1}{s}f(x+y)$
（再掲）
この式は微分できる。
$s$は$x$に関して定数なので、外に出せる。$x$で微分して
$sf'(x)=\frac{1}{s}f'(x+y)$
$sb=\frac{1}{s}c $s^2b=c$ $x$で積分する。その時に、左辺の$bx$を$f(x)$と置いてもよい。 $\therefore f(x)=cx+C$（$C$は積分定数） ##訂正風解説 左辺は$f(x)$なので$f(x)$に戻したが、この方法は左辺に全ての項を持ってきて $f(x)=0$とできてしまう。 計算を省略するためなら何でもやるのが数学者だし、省略するに如（し）くはない（した方がいい）。一次式ならこれでよいかもしれない。これが具体的、数学的にどういう意味があるのか、考えた方がいいかもしれない。 もっと丁寧にやるなら、 $bx=cx+C$ $dx=C$ $x=C/d$ あれ？　$x$が定数になってしまった。 この結果が数学的にどのような意味を持つのか、私には分からない。いや、多分分かった。 丁寧に解いたというより、方程式には二つの変数が必要なのに、微分方程式を簡単に解こうとしすぎて、変数を消滅させてしまった。 というか、もっと微分方程式をちゃんと書いた方がいいようだ。諸兄はどう書くか分かっていることだろう。 わざわざ難しく書く気が起きない。怠惰な私。 間違いに気付くことは容易にできた。諸兄はこんな間違いをしないように。 微分って難しいんだな、というのが感想だ。 ##収束 (b)の条件より $f(2)=2c=0$ $\therefore C=2c$ $f(x)=c(x+2)$ しかし、$f(y)$は綺麗な式にならない。 「$f(y)$は$f(x)$より求まる。」 と書いて、証明は終わった。 Q. E. D. ■