阪大情報基礎数学院試過去問解答例(2007-4)
ここでは大阪大情報科学研究科情報基礎数学専攻の修士課程の院試の2027-4の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
$n$を正整数とする。等式
$$
\det\begin{pmatrix}
1+x_1^2&x_1x_2&x_1x_3&\dots&x_1x_n\\
x_2x_1&1+x_2^2&x_2x_3&\dots&x_2x_n\\
x_3x_1&x_3x_2&1+x_3^2&\dots&x_2x_n\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
x_nx_1&x_nx_2&x_nx_3&\dots&1+x_n^2
\end{pmatrix}=1+x_1^2+\cdots+x_n^2
$$
を示しなさい。
数学的帰納法で示す。初めに$m=1$の場合に示すことは何もない。次に$m=n-1$の場合には正しいと仮定する。このとき
$$
\begin{split}
\det(A)=&\det\begin{pmatrix}
1&x_1x_2&x_1x_3&\dots&x_1x_n\\
-\frac{x_1}{x_2}&1+x_2^2&x_2x_3&\dots&x_2x_n\\
0&x_3x_2&1+x_3^2&\dots&x_2x_n\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&x_nx_2&x_nx_3&\dots&1+x_n^2
\end{pmatrix}\\
=&1+x_2^2+\cdots+x_n^2\\
&+x_1^2\det\begin{pmatrix}
1&x_3&x_4&\dots&x_n\\
x_3&1+x_3^2&x_3x_4&\dots&x_3x_n\\
x_4&x_4x_3&1+x_4^2&\dots&x_4x_n\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
x_n&x_nx_3&x_nx_4&\dots&1+x_n^2\\
\end{pmatrix}\\
=&1+x_2^2+\cdots+x_n^2\\
&+x_1^2\det\begin{pmatrix}
1&0&0&\dots&0\\
x_3&1&0&\dots&0\\
x_4&0&1&\dots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
x_n&0&0&\dots&1\\
\end{pmatrix}\\
=&1+x_1^2+\cdots+x_n^2
\end{split}
$$
であるから、$m=n$の場合にも所望の結果が得られる。以上で主張が示せた。
