初投稿

だいたいmathlogは$LATEX$と同じように書けるんだって．じゃあ書いていこうね．今日解く問題はこちら．

　元の問題はLINEのオープンチャットに投げられていた問題なので，もしどこかの大学で出された問題ならすいません．黙って消します．とりあえずどうしようか，$\text{Ker}g=\text{Im}f$を満たすような$g$を頑張って構成すればいいらしい．完全性だぁ～．でもこれは線形代数だしもっと素直に解いてあげようね．行列$B$の定める線形写像$g$が$\text{Ker}g=\text{Im}f$を満たすと仮定したときに，$B$が具体的にどう書けなければならないか，ということを考えてみる．

　まず行列$A$を行基本変形してその$\text{rank}$を求めてあげる．できたものがこちら．
$$\begin{array}{r}A\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& -3\\ 0& 1& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$

　なんか数式が全体的に左に偏ってる．思想？違うか……．とりあえず$\dim \text{Im}f=2$になる．$\text{Im}f$の基底は$A$の列ベクトルを適当に二つ選んであげればいいけれど，あとでどうせ「$\text{Im}f$の基底を$B$で送って$0$になる」という条件を使って計算することになるから，なるべく基底は簡単な方がいいね．$A$を列基本変形してより簡単な$\text{Im}f$の基底を構成します．変形したものがこちら．

$$\begin{array}{r}A\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 3& 1& 0& 0\\ 4& 1& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$

　だから$\text{Im}f$の基底として$(1,0,3,4){}^t,(0,-1,1,1){}^t$が取れてくれる．いま$\text{Ker}g=\text{Im}f$って仮定してたから$\text{Ker}g$の次元も2になってくれて，次元定理から$\text{Im}g=2$となる．つまり行列$B$は「$\text{rank}$が2であって${\mathbb{R}}^4$の元$(1,0,3,4){}^t,(0,-1,1,1){}^t$を左から作用させて$0$にするようなもの」を考えてあげればよいと分かる．うお，これならいけそう．行列$B$の第$1$行目の成分を$(b_1,b_2,b_3,b_4)$とおくと，$b_1,b_2,b_3,b_4$は次の連立方程式を満たす必要がある．
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{b}_1+3b_3+4b_4=0\\ -b_2+b_3+b_4=0\end{array}\end{array}$$

　$s,t$を実数として，$b_3=s,b_4=t$とおけば$b_1=-3s-4t,b_2=s+t$となるから，結局行列$B$は$s_i,t_i\in \mathbb{R}(i=1,2,3,4)$を用いて次のように書けなければならない．
$$\begin{array}{r}B=\left(\begin{array}{cccc}-3s_1-4t_1& s_1+t_1& s_1& t_1\\ -3s_2-4t_2& s_2+t_2& s_2& t_2\\ -3s_3-4t_3& s_3+t_3& s_3& t_3\\ -3s_4-4t_4& s_4+t_4& s_4& t_4\end{array}\right)\end{array}$$

　ここまでが「${\mathbb{R}}^4$の元$(1,0,3,4){}^t,(0,-1,1,1){}^t$を左から作用させて$0$にするようなもの」という条件から出てくる行列$B$の条件．あとは行列$B$の$\text{rank}$が2という条件を使ってあげよう！　ぶっちゃけここまで来たら適当に数字入れてあげればいいし，そんな難しくない．例えば
$$\begin{array}{r}(s_1,s_2,s_3,s_4)=(1,2,0,0),(t_1,t_2,t_3,t_4)=(2,1,0,0)\end{array}$$
っておけば
$$\begin{array}{r}B=\left(\begin{array}{cccc}-11& 3& 1& 2\\ -10& 3& 2& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$
ってなる．この行列の$\text{rank}$が$2$になることはすぐ分かるし，まぁ良さそう．じゃああとは本当に$\text{Ker}g=\text{Im}f$となるかどうかだけど，$B$の定め方から$g\circ f=0$になるので$\text{Im}f\subset \text{Ker}g$が成り立って，$\dim \text{Ker}g=\dim \text{Im}f=2$だから逆の包含も分かる．えら～い．