初投稿

だいたいmathlogは$\LaTeX$と同じように書けるんだって．じゃあ書いていこうね．今日解く問題はこちら．

　元の問題はLINEのオープンチャットに投げられていた問題なので，もしどこかの大学で出された問題ならすいません．黙って消します．とりあえずどうしようか，$\ker g=\Ima f$を満たすような$g$を頑張って構成すればいいらしい．完全性だぁ～．でもこれは線形代数だしもっと素直に解いてあげようね．行列$B$の定める線形写像$g$が$\ker g=\Ima f$を満たすと仮定したときに，$B$が具体的にどう書けなければならないか，ということを考えてみる．

　まず行列$A$を行基本変形してその$\rank$を求めてあげる．できたものがこちら．
\begin{align*} A\to \left(\begin{array}{cccc} 1&0&-1&-3\\ 0&1&1&2\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array}\right) \end{align*}

　なんか数式が全体的に左に偏ってる．思想？違うか……．とりあえず$\dim \Ima f=2$になる．$\Ima f$の基底は$A$の列ベクトルを適当に二つ選んであげればいいけれど，あとでどうせ「$\Ima f$の基底を$B$で送って$0$になる」という条件を使って計算することになるから，なるべく基底は簡単な方がいいね．$A$を列基本変形してより簡単な$\Ima f$の基底を構成します．変形したものがこちら．

\begin{align*} A\to \left(\begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 3&1&0&0\\ 4&1&0&0 \end{array}\right) \end{align*}

　だから$\Ima f$の基底として$(1,0,3,4){}^t,(0,-1,1,1){}^t$が取れてくれる．いま$\ker g=\Ima f$って仮定してたから$\ker g$の次元も2になってくれて，次元定理から$\Ima g=2$となる．つまり行列$B$は「$\rank$が2であって$\mathbb{R}^4$の元$(1,0,3,4){}^t,(0,-1,1,1){}^t$を左から作用させて$0$にするようなもの」を考えてあげればよいと分かる．うお，これならいけそう．行列$B$の第$1$行目の成分を$(b_1,b_2,b_3,b_4)$とおくと，$b_1,b_2,b_3,b_4$は次の連立方程式を満たす必要がある．
\begin{align*} \begin{cases} b_{1}+3b_{3}+4b_{4}=0\\ -b_{2}+b_{3}+b_{4}=0 \end{cases} \end{align*}

　$s,t$を実数として，$b_3=s,b_4=t$とおけば$b_1=-3s-4t,b_2=s+t$となるから，結局行列$B$は$s_i,t_i\in \mathbb{R}\ (i=1,2,3,4)$を用いて次のように書けなければならない．
\begin{align*} B=\left(\begin{array}{cccc} -3s_1-4t_1&s_1+t_1&s_1&t_1\\ -3s_2-4t_2&s_2+t_2&s_2&t_2\\ -3s_3-4t_3&s_3+t_3&s_3&t_3\\ -3s_4-4t_4&s_4+t_4&s_4&t_4 \end{array}\right) \end{align*}

　ここまでが「$\mathbb{R}^4$の元$(1,0,3,4){}^t,(0,-1,1,1){}^t$を左から作用させて$0$にするようなもの」という条件から出てくる行列$B$の条件．あとは行列$B$の$\rank$が2という条件を使ってあげよう！　ぶっちゃけここまで来たら適当に数字入れてあげればいいし，そんな難しくない．例えば
\begin{align*} (s_1,s_2,s_3,s_4)=(1,2,0,0),(t_1,t_2,t_3,t_4)=(2,1,0,0) \end{align*}
っておけば
\begin{align*} B=\left(\begin{array}{cccc} -11&3&1&2\\ -10&3&2&1\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array}\right) \end{align*}
ってなる．この行列の$\rank$が$2$になることはすぐ分かるし，まぁ良さそう．じゃああとは本当に$\ker g=\Ima f$となるかどうかだけど，$B$の定め方から$g\circ f=0$になるので$\Ima f\subset \ker g$が成り立って，$\dim \ker g=\dim \Ima f=2$だから逆の包含も分かる．えら～い．