Askey-Wilson多項式の射影公式と再生核
直交多項式$p_n,q_n$に対して,
\begin{align}
q_n(x)=\int p_n(x)d\nu_x(y)
\end{align}
という形の公式は射影公式と呼ばれている. Askey-Wilson多項式と重み関数を以下のように定義する.
前回の記事
とは定義が若干違うことに注意.
\begin{align}
p_n(x;a,b,c,d)&:=\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}q\\
w(x;a,b,c,d)&:=\frac{h(x,1)h(x,-1)h(x,\sqrt q)h(x,-\sqrt q)}{\sqrt{1-x^2}h(x,a)h(x,b)h(x,c)h(x,d)}\\
h(x,a)&:=\prod_{k=0}^{\infty}(1-2axq^k+a^2q^{2k})
\end{align}
Askey-Wilson積分は
\begin{align}
\int_{-1}^1w(x;a,b,c,d)\,dx&=\frac{2\pi(abcd;q)_{\infty}}{(ab,ac,ad,bc,bd,cd,q;q)_{\infty}}
\end{align}
と表される. 以下はAskey-Wilson多項式の射影公式である.
$x=\cos\theta$として,
\begin{align}
&\int_{-1}^1p_n(y;a,b,c,d)w(y;a,b,\mu e^{i\theta},\mu e^{-i\theta})\,dy\\
&=\frac{2\pi(ab\mu^2;q)_{\infty}}{(q,ab,\mu^2;q)_{\infty}|(a\mu e^{i\theta},b\mu e^{i\theta};q)_{\infty}|^2}p_n(x;a\mu,b\mu,c/\mu,d/\mu)\\
&\int_{-1}^1w(y;\mu e^{i\theta},\mu e^{-i\theta},c,d)p_n(y;a,b,c,d)\\
&=\frac{2\pi(cd\mu^2;q)_{\infty}}{(q,cd,\mu^2;q)_{\infty}|(c\mu e^{i\theta},d\mu e^{i\theta})|^2}\frac{(cd,ab/\mu^2;q)_n}{(ab,cd\mu^2;q)_n}\mu^{2n}p_n(x;a/\mu,b/\mu,c\mu,d\mu)
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\int_{-1}^1p_n(y;a,b,c',d')w(y;a,b,c,d)\,dy&=\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},abc'd'q^{n-1};q)_k}{(q,ab,ac',ad';q)_k}q^k\int_{-1}^1(ae^{i\phi},ae^{-i\phi};q)_kw(y;a,b,c,d)\,dy,\qquad y=\cos\phi
\end{align}
Askey-Wilson積分より,
\begin{align}
&\int_{-1}^1(ae^{i\phi},ae^{-i\phi};q)_kw(y;a,b,c,d)\,dy\\
&=\int_{-1}^1w(y;aq^k,b,c,d)\,dy\\
&=\frac{2\pi(abcdq^k;q)_{\infty}}{(abq^k,acq^k,adq^k,bc,bd,cd,q;q)_{\infty}}\\
&=\kappa\frac{(ab,ac,ad;q)_k}{(abcd;q)_k},\qquad \kappa:=\frac{2\pi(abcd;q)_{\infty}}{(ab,ac,ad,bc,bd,cd,q;q)_{\infty}}
\end{align}
よって,
\begin{align}
\int_{-1}^1p_n(y;a,b,c',d')w(y;a,b,c,d)\,dy&=\kappa\Q43{q^{-n},abc'd'q^{n-1},ac,ad}{ac',ad',abcd}{q}
\end{align}
を得る. $c=\mu e^{i\theta}, d=\mu e^{-i\theta}$とした後, $c,d$を$c',d'$に置き換えると,
\begin{align}
\int_{-1}^1p_n(y;a,b,c,d)w(y;a,b,\mu e^{i\theta},\mu e^{-i\theta})\,dy&=\frac{2\pi(ab\mu^2;q)_{\infty}}{(q,ab,\mu^2;q)_{\infty}|(a\mu e^{i\theta},b\mu e^{i\theta};q)_{\infty}|^2}p_n(x;a\mu,b\mu,c/\mu,d/\mu)
\end{align}
を得る. Askey-Wilson多項式の対称性から
\begin{align}
p_n(x;a\mu,b\mu,c/\mu,d/\mu)&=\frac{(bc,cd/\mu^2;q)_n}{(ad,ab\mu^2;q)_n}\left(\frac{a\mu^2}{c}\right)^np_n(x;c/\mu,d/\mu,a\mu,b\mu)
\end{align}
これを代入して$c,d$と$a,b$を入れ替えれば2つ目の等式を得る.
以下は, Askey-Wilson多項式の再生核を与えている.
\begin{align}
\int_{-1}^1K_{\mu}(x,y;q)p_n(y;a,b,c,d)\,dy&=\frac{(ab,cd/\mu^2;q)_n}{(cd,ab\mu^2;q)_n}\mu^{2n}p_n(x;a,b,c,d)
\end{align}
が成り立つ. ここで, 再生核$K_{\mu}(x,y;q)$は
\begin{align}
&K_{\mu}(x,y;q)\\
&:=\frac{(ab,cd/\mu^2;q)_{\infty}}{(cd,ab\mu^2;q)_{\infty}}\left|\frac{(q,\mu^2,ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}{2\pi}\right|^2\\
&\qquad\cdot\int_{-1}^1w(z;c/\mu,d/\mu,\mu e^{i\theta},\mu e^{-i\theta})w(y;a,b,\mu e^{i\psi},\mu e^{-i\psi})|(a\mu e^{i\psi},b\mu e^{i\psi})_{\infty}|^2\,dz,\qquad z=\cos\psi
\end{align}
で与えられる.
$z=\cos\psi$として, 定理1の一つ目の等式
\begin{align}
&\int_{-1}^1p_n(y;a,b,c,d)w(y;a,b,\mu e^{i\psi},\mu e^{-i\psi})\,dy\\
&=\frac{2\pi(ab\mu^2;q)_{\infty}}{(q,ab,\mu^2;q)_{\infty}|(a\mu e^{i\psi},b\mu e^{i\psi};q)_{\infty}|^2}p_n(z;a\mu,b\mu,c/\mu,d/\mu)
\end{align}
の両辺に
\begin{align}
w(z;c/\mu,d/\mu,\mu e^{i\theta},\mu e^{-i\theta})|(a\mu e^{i\psi},b\mu e^{i\psi};q)_{\infty}|^2
\end{align}
を掛けて積分し, 定理1の2つ目の式を用いると,
\begin{align}
&\int_{-1}^1\,dz\,w(z;c/\mu,d/\mu,\mu e^{i\theta},\mu e^{-i\theta})|(a\mu e^{i\psi},b\mu e^{i\psi};q)_{\infty}|^2\\
&\qquad\cdot\int_{-1}^1p_n(y;a,b,c,d)w(y;a,b,\mu e^{i\psi},\mu e^{-i\psi})\,dy\\
&=\frac{2\pi(ab\mu^2;q)_{\infty}}{(q,ab,\mu^2;q)_{\infty}}\int_{-1}^1\,dz\,w(z;c/\mu,d/\mu,\mu e^{i\theta},\mu e^{-i\theta})p_n(z;a\mu,b\mu,c/\mu,d/\mu)\\
&=\frac{2\pi(ab\mu^2;q)_{\infty}}{(q,ab,\mu^2;q)_{\infty}}\frac{2\pi(cd;q)_{\infty}}{(q,cd/\mu^2,\mu^2;q)_{\infty}|(c e^{i\theta},d e^{i\theta})|^2}\frac{(cd/\mu^2,ab;q)_n}{(ab\mu^2,cd;q)_n}\mu^{2n}p_n(x;a,b,c,d)\\
&=\left(\frac{(ab,cd/\mu^2;q)_{\infty}}{(cd,ab\mu^2;q)_{\infty}}\left|\frac{(q,\mu^2,ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}{2\pi}\right|^2\right)^{-1}\frac{(cd/\mu^2,ab;q)_n}{(ab\mu^2,cd;q)_n}\mu^{2n}p_n(x;a,b,c,d)
\end{align}
となって定理を得る.
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