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現代数学解説
文献あり

Askey-Wilson多項式の射影公式と再生核

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$$\newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{BQ}[5]{{}_{#1}\psi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{calA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{calS}[0]{\mathcal{S}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{F}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{inv}[0]{\mathrm{inv}} \newcommand{maj}[0]{\mathrm{maj}} \newcommand{ol}[0]{\overline} \newcommand{Q}[5]{{}_{#1}\phi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$

直交多項式$p_n,q_n$に対して,
\begin{align} q_n(x)=\int p_n(x)d\nu_x(y) \end{align}
という形の公式は射影公式と呼ばれている. Askey-Wilson多項式と重み関数を以下のように定義する. 前回の記事 とは定義が若干違うことに注意.
\begin{align} p_n(x;a,b,c,d)&:=\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}q\\ w(x;a,b,c,d)&:=\frac{h(x,1)h(x,-1)h(x,\sqrt q)h(x,-\sqrt q)}{\sqrt{1-x^2}h(x,a)h(x,b)h(x,c)h(x,d)}\\ h(x,a)&:=\prod_{k=0}^{\infty}(1-2axq^k+a^2q^{2k}) \end{align}
Askey-Wilson積分は
\begin{align} \int_{-1}^1w(x;a,b,c,d)\,dx&=\frac{2\pi(abcd;q)_{\infty}}{(ab,ac,ad,bc,bd,cd,q;q)_{\infty}} \end{align}
と表される. 以下はAskey-Wilson多項式の射影公式である.

Nassrallah-Rahman(1985)

$x=\cos\theta$として,
\begin{align} &\int_{-1}^1p_n(y;a,b,c,d)w(y;a,b,\mu e^{i\theta},\mu e^{-i\theta})\,dy\\ &=\frac{2\pi(ab\mu^2;q)_{\infty}}{(q,ab,\mu^2;q)_{\infty}|(a\mu e^{i\theta},b\mu e^{i\theta};q)_{\infty}|^2}p_n(x;a\mu,b\mu,c/\mu,d/\mu)\\ &\int_{-1}^1w(y;\mu e^{i\theta},\mu e^{-i\theta},c,d)p_n(y;a,b,c,d)\\ &=\frac{2\pi(cd\mu^2;q)_{\infty}}{(q,cd,\mu^2;q)_{\infty}|(c\mu e^{i\theta},d\mu e^{i\theta})|^2}\frac{(cd,ab/\mu^2;q)_n}{(ab,cd\mu^2;q)_n}\mu^{2n}p_n(x;a/\mu,b/\mu,c\mu,d\mu) \end{align}
が成り立つ.

\begin{align} \int_{-1}^1p_n(y;a,b,c',d')w(y;a,b,c,d)\,dy&=\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},abc'd'q^{n-1};q)_k}{(q,ab,ac',ad';q)_k}q^k\int_{-1}^1(ae^{i\phi},ae^{-i\phi};q)_kw(y;a,b,c,d)\,dy,\qquad y=\cos\phi \end{align}
Askey-Wilson積分より,
\begin{align} &\int_{-1}^1(ae^{i\phi},ae^{-i\phi};q)_kw(y;a,b,c,d)\,dy\\ &=\int_{-1}^1w(y;aq^k,b,c,d)\,dy\\ &=\frac{2\pi(abcdq^k;q)_{\infty}}{(abq^k,acq^k,adq^k,bc,bd,cd,q;q)_{\infty}}\\ &=\kappa\frac{(ab,ac,ad;q)_k}{(abcd;q)_k},\qquad \kappa:=\frac{2\pi(abcd;q)_{\infty}}{(ab,ac,ad,bc,bd,cd,q;q)_{\infty}} \end{align}
よって,
\begin{align} \int_{-1}^1p_n(y;a,b,c',d')w(y;a,b,c,d)\,dy&=\kappa\Q43{q^{-n},abc'd'q^{n-1},ac,ad}{ac',ad',abcd}{q} \end{align}
を得る. $c=\mu e^{i\theta}, d=\mu e^{-i\theta}$とした後, $c,d$$c',d'$に置き換えると,
\begin{align} \int_{-1}^1p_n(y;a,b,c,d)w(y;a,b,\mu e^{i\theta},\mu e^{-i\theta})\,dy&=\frac{2\pi(ab\mu^2;q)_{\infty}}{(q,ab,\mu^2;q)_{\infty}|(a\mu e^{i\theta},b\mu e^{i\theta};q)_{\infty}|^2}p_n(x;a\mu,b\mu,c/\mu,d/\mu) \end{align}
を得る. Askey-Wilson多項式の対称性から
\begin{align} p_n(x;a\mu,b\mu,c/\mu,d/\mu)&=\frac{(bc,cd/\mu^2;q)_n}{(ad,ab\mu^2;q)_n}\left(\frac{a\mu^2}{c}\right)^np_n(x;c/\mu,d/\mu,a\mu,b\mu) \end{align}
これを代入して$c,d$$a,b$を入れ替えれば2つ目の等式を得る.

以下は, Askey-Wilson多項式の再生核を与えている.

Nassrallah-Rahman(1985)

\begin{align} \int_{-1}^1K_{\mu}(x,y;q)p_n(y;a,b,c,d)\,dy&=\frac{(ab,cd/\mu^2;q)_n}{(cd,ab\mu^2;q)_n}\mu^{2n}p_n(x;a,b,c,d) \end{align}
が成り立つ. ここで, 再生核$K_{\mu}(x,y;q)$
\begin{align} &K_{\mu}(x,y;q)\\ &:=\frac{(ab,cd/\mu^2;q)_{\infty}}{(cd,ab\mu^2;q)_{\infty}}\left|\frac{(q,\mu^2,ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}{2\pi}\right|^2\\ &\qquad\cdot\int_{-1}^1w(z;c/\mu,d/\mu,\mu e^{i\theta},\mu e^{-i\theta})w(y;a,b,\mu e^{i\psi},\mu e^{-i\psi})|(a\mu e^{i\psi},b\mu e^{i\psi})_{\infty}|^2\,dz,\qquad z=\cos\psi \end{align}
で与えられる.

$z=\cos\psi$として, 定理1の一つ目の等式
\begin{align} &\int_{-1}^1p_n(y;a,b,c,d)w(y;a,b,\mu e^{i\psi},\mu e^{-i\psi})\,dy\\ &=\frac{2\pi(ab\mu^2;q)_{\infty}}{(q,ab,\mu^2;q)_{\infty}|(a\mu e^{i\psi},b\mu e^{i\psi};q)_{\infty}|^2}p_n(z;a\mu,b\mu,c/\mu,d/\mu) \end{align}
の両辺に
\begin{align} w(z;c/\mu,d/\mu,\mu e^{i\theta},\mu e^{-i\theta})|(a\mu e^{i\psi},b\mu e^{i\psi};q)_{\infty}|^2 \end{align}
を掛けて積分し, 定理1の2つ目の式を用いると,
\begin{align} &\int_{-1}^1\,dz\,w(z;c/\mu,d/\mu,\mu e^{i\theta},\mu e^{-i\theta})|(a\mu e^{i\psi},b\mu e^{i\psi};q)_{\infty}|^2\\ &\qquad\cdot\int_{-1}^1p_n(y;a,b,c,d)w(y;a,b,\mu e^{i\psi},\mu e^{-i\psi})\,dy\\ &=\frac{2\pi(ab\mu^2;q)_{\infty}}{(q,ab,\mu^2;q)_{\infty}}\int_{-1}^1\,dz\,w(z;c/\mu,d/\mu,\mu e^{i\theta},\mu e^{-i\theta})p_n(z;a\mu,b\mu,c/\mu,d/\mu)\\ &=\frac{2\pi(ab\mu^2;q)_{\infty}}{(q,ab,\mu^2;q)_{\infty}}\frac{2\pi(cd;q)_{\infty}}{(q,cd/\mu^2,\mu^2;q)_{\infty}|(c e^{i\theta},d e^{i\theta})|^2}\frac{(cd/\mu^2,ab;q)_n}{(ab\mu^2,cd;q)_n}\mu^{2n}p_n(x;a,b,c,d)\\ &=\left(\frac{(ab,cd/\mu^2;q)_{\infty}}{(cd,ab\mu^2;q)_{\infty}}\left|\frac{(q,\mu^2,ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}{2\pi}\right|^2\right)^{-1}\frac{(cd/\mu^2,ab;q)_n}{(ab\mu^2,cd;q)_n}\mu^{2n}p_n(x;a,b,c,d) \end{align}
となって定理を得る.

参考文献

[1]
B. Nassrallah, M. Rahman, Projection formulas, a reproducing kernel and a generating function for $q$-Wilson polynomials., SIAM J. Math. Anal. , 1985, 186-197
投稿日:21日前
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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