文献あり

Askey-Wilson多項式の射影公式と再生核

直交多項式 $p_{n}, q_{n}$ に対して,
$\begin{array}{r} q_{n} (x) = \int p_{n} (x) d ν_{x} (y) \end{array}$
という形の公式は射影公式と呼ばれている. Askey-Wilson多項式と重み関数を以下のように定義する. 前回の記事とは定義が若干違うことに注意.
$\begin{aligned} p_{n} (x; a, b, c, d) & :=_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} q^{- n}, a b c d q^{n - 1}, a e^{i θ}, a e^{- i θ} \\ a b, a c, a d \end{array}; q] \\ w (x; a, b, c, d) & := \frac{h (x, 1) h (x, - 1) h (x, \sqrt{q}) h (x, - \sqrt{q})}{\sqrt{1 - x^{2}} h (x, a) h (x, b) h (x, c) h (x, d)} \\ h (x, a) & := \prod_{k = 0}^{\infty} (1 - 2 a x q^{k} + a^{2} q^{2 k}) \end{aligned}$
Askey-Wilson積分は
$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} w (x; a, b, c, d) d x & = \frac{2 π (a b c d; q)_{\infty}}{(a b, a c, a d, b c, b d, c d, q; q)_{\infty}} \end{aligned}$
と表される. 以下はAskey-Wilson多項式の射影公式である.

Nassrallah-Rahman(1985)

$x = \cos θ$ として,
$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} p_{n} (y; a, b, c, d) w (y; a, b, μ e^{i θ}, μ e^{- i θ}) d y \\ = \frac{2 π (a b μ^{2}; q)_{\infty}}{(q, a b, μ^{2}; q)_{\infty} | (a μ e^{i θ}, b μ e^{i θ}; q)_{\infty} |^{2}} p_{n} (x; a μ, b μ, c / μ, d / μ) \\ \int_{- 1}^{1} w (y; μ e^{i θ}, μ e^{- i θ}, c, d) p_{n} (y; a, b, c, d) \\ = \frac{2 π (c d μ^{2}; q)_{\infty}}{(q, c d, μ^{2}; q)_{\infty} | (c μ e^{i θ}, d μ e^{i θ}) |^{2}} \frac{(c d, a b / μ^{2}; q)_{n}}{(a b, c d μ^{2}; q)_{n}} μ^{2 n} p_{n} (x; a / μ, b / μ, c μ, d μ) \end{aligned}$
が成り立つ.

$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} p_{n} (y; a, b, c^{'}, d^{'}) w (y; a, b, c, d) d y & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}, a b c^{'} d^{'} q^{n - 1}; q)_{k}}{(q, a b, a c^{'}, a d^{'}; q)_{k}} q^{k} \int_{- 1}^{1} (a e^{i ϕ}, a e^{- i ϕ}; q)_{k} w (y; a, b, c, d) d y, y = \cos ϕ \end{aligned}$
Askey-Wilson積分より,
$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} (a e^{i ϕ}, a e^{- i ϕ}; q)_{k} w (y; a, b, c, d) d y \\ = \int_{- 1}^{1} w (y; a q^{k}, b, c, d) d y \\ = \frac{2 π (a b c d q^{k}; q)_{\infty}}{(a b q^{k}, a c q^{k}, a d q^{k}, b c, b d, c d, q; q)_{\infty}} \\ = κ \frac{(a b, a c, a d; q)_{k}}{(a b c d; q)_{k}}, κ := \frac{2 π (a b c d; q)_{\infty}}{(a b, a c, a d, b c, b d, c d, q; q)_{\infty}} \end{aligned}$
よって,
$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} p_{n} (y; a, b, c^{'}, d^{'}) w (y; a, b, c, d) d y & = κ_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} q^{- n}, a b c^{'} d^{'} q^{n - 1}, a c, a d \\ a c^{'}, a d^{'}, a b c d \end{array}; q] \end{aligned}$
を得る. $c = μ e^{i θ}, d = μ e^{- i θ}$ とした後, $c, d$ を $c^{'}, d^{'}$ に置き換えると,
$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} p_{n} (y; a, b, c, d) w (y; a, b, μ e^{i θ}, μ e^{- i θ}) d y & = \frac{2 π (a b μ^{2}; q)_{\infty}}{(q, a b, μ^{2}; q)_{\infty} | (a μ e^{i θ}, b μ e^{i θ}; q)_{\infty} |^{2}} p_{n} (x; a μ, b μ, c / μ, d / μ) \end{aligned}$
を得る. Askey-Wilson多項式の対称性から
$\begin{aligned} p_{n} (x; a μ, b μ, c / μ, d / μ) & = \frac{(b c, c d / μ^{2}; q)_{n}}{(a d, a b μ^{2}; q)_{n}} {(\frac{a μ^{2}}{c})}^{n} p_{n} (x; c / μ, d / μ, a μ, b μ) \end{aligned}$
これを代入して $c, d$ と $a, b$ を入れ替えれば2つ目の等式を得る.

以下は, Askey-Wilson多項式の再生核を与えている.

Nassrallah-Rahman(1985)

$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} K_{μ} (x, y; q) p_{n} (y; a, b, c, d) d y & = \frac{(a b, c d / μ^{2}; q)_{n}}{(c d, a b μ^{2}; q)_{n}} μ^{2 n} p_{n} (x; a, b, c, d) \end{aligned}$
が成り立つ. ここで, 再生核 $K_{μ} (x, y; q)$ は
$\begin{aligned} K_{μ} (x, y; q) \\ := \frac{(a b, c d / μ^{2}; q)_{\infty}}{(c d, a b μ^{2}; q)_{\infty}} {| \frac{(q, μ^{2}, c e^{i θ}, d e^{i θ}; q)_{\infty}}{2 π} |}^{2} \\ \cdot \int_{- 1}^{1} w (z; c / μ, d / μ, μ e^{i θ}, μ e^{- i θ}) w (y; a, b, μ e^{i ψ}, μ e^{- i ψ}) | (a μ e^{i ψ}, b μ e^{i ψ})_{\infty} |^{2} d z, z = \cos ψ \end{aligned}$
で与えられる.

$z = \cos ψ$ として, 定理1の一つ目の等式
$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} p_{n} (y; a, b, c, d) w (y; a, b, μ e^{i ψ}, μ e^{- i ψ}) d y \\ = \frac{2 π (a b μ^{2}; q)_{\infty}}{(q, a b, μ^{2}; q)_{\infty} | (a μ e^{i ψ}, b μ e^{i ψ}; q)_{\infty} |^{2}} p_{n} (z; a μ, b μ, c / μ, d / μ) \end{aligned}$
の両辺に
$\begin{array}{r} w (z; c / μ, d / μ, μ e^{i θ}, μ e^{- i θ}) | (a μ e^{i ψ}, b μ e^{i ψ}; q)_{\infty} |^{2} \end{array}$
を掛けて積分し, 定理1の2つ目の式を用いると,
$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} d z w (z; c / μ, d / μ, μ e^{i θ}, μ e^{- i θ}) | (a μ e^{i ψ}, b μ e^{i ψ}; q)_{\infty} |^{2} \\ \cdot \int_{- 1}^{1} p_{n} (y; a, b, c, d) w (y; a, b, μ e^{i ψ}, μ e^{- i ψ}) d y \\ = \frac{2 π (a b μ^{2}; q)_{\infty}}{(q, a b, μ^{2}; q)_{\infty}} \int_{- 1}^{1} d z w (z; c / μ, d / μ, μ e^{i θ}, μ e^{- i θ}) p_{n} (z; a μ, b μ, c / μ, d / μ) \\ = \frac{2 π (a b μ^{2}; q)_{\infty}}{(q, a b, μ^{2}; q)_{\infty}} \frac{2 π (c d; q)_{\infty}}{(q, c d / μ^{2}, μ^{2}; q)_{\infty} | (c e^{i θ}, d e^{i θ}) |^{2}} \frac{(c d / μ^{2}, a b; q)_{n}}{(a b μ^{2}, c d; q)_{n}} μ^{2 n} p_{n} (x; a, b, c, d) \\ = {(\frac{(a b, c d / μ^{2}; q)_{\infty}}{(c d, a b μ^{2}; q)_{\infty}} {| \frac{(q, μ^{2}, c e^{i θ}, d e^{i θ}; q)_{\infty}}{2 π} |}^{2})}^{- 1} \frac{(c d / μ^{2}, a b; q)_{n}}{(a b μ^{2}, c d; q)_{n}} μ^{2 n} p_{n} (x; a, b, c, d) \end{aligned}$
となって定理を得る.

参考文献

[1]

B. Nassrallah, M. Rahman, Projection formulas, a reproducing kernel and a generating function for $q$-Wilson polynomials., SIAM J. Math. Anal. , 1985, 186-197

投稿日：4月21日