前の記事 でAskey-Wilson積分12πi∫|t|=1(t2,1/t2;q)∞(at,a/t,bt,b/t,ct,c/t,dt,d/t;q)∞dtt=2(abcd;q)∞(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)∞を示した. これはt=eiθとすると,12π∫0π(e2iθ,e−2iθ;q)∞(aeiθ,ae−iθ,beiθ,be−iθ,ceiθ,ce−iθ,deiθ,de−iθ;q)∞dθ=(abcd;q)∞(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)∞と書き換えられる. よって,w(cosθ):=w(cosθ;a,b,c,d|q):=12πsinθ(e2iθ,e−2iθ;q)∞(aeiθ,ae−iθ,beiθ,be−iθ,ceiθ,ce−iθ,deiθ,de−iθ;q)∞とすれば,∫−11w(x)dx=(abcd;q)∞(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)∞である.
x=cosθとして,pn(x):=pn(x;a,b,c,d|q):=a−n(ab,ac,ad;q)n4ϕ3[q−n,abcdqn−1,aeiθ,ae−iθab,ac,ad;q]によって定義する.
(aeiθ,ae−iθ;q)nのxに関する最高次の項は(−2ax)nであり, 定義からpn(x)の最高次の係数は(−2)n(q−n,abcdqn−1;q)n(q;q)nqn=2nq−n(n−1)2(abcdqn−1;q)nである. Askey-Wilson多項式は以下のように直交多項式となる.
∫−11pn(x)pm(x)w(x)dx=δn,m(1−abcdqn−1)(abcdqn;q)∞(1−abcdq2n−1)(qn+1,abqn,acqn,adqn,bcqn,bdqn,cdqn;q)∞
Askey-Wilson積分より,∫−11pm(x)(beiθ,be−iθ;q)lw(x)dx=a−n(ab,ac,ad;q)n∑0≤k(q−m,abcdqm−1;q)k(ab,ac,ad,q;q)kqk∫−11(aeiθ,ae−iθ;q)k(beiθ,be−iθ;q)lw(x)dx=a−n(ab,ac,ad;q)n∑0≤k(q−m,abcdqm−1;q)k(ab,ac,ad,q;q)kqk∫−11w(x;aqk,bql,c,d|q)dx=a−n(ab,ac,ad;q)n∑0≤k(q−m,abcdqm−1;q)k(ab,ac,ad,q;q)kqk(abcdqk+l;q)∞(q,abqk+l,acqk,adqk,bcql,bdql,cd;q)∞=a−n(ab,ac,ad;q)n(abcdql;q)∞(q,abql,ac,ad,bcql,bdql,cd;q)∞∑0≤k(q−m,abcdqm−1,abql;q)k(ab,abcdql,q;q)kqkここで, q-Saalschützの和公式より,∑0≤k(q−m,abcdqm−1,abql;q)k(ab,abcdql,q;q)kqk=(q−l,cd;q)m(ab,abcdql;q)m(abql)mである. これはm>lのとき, 0である. pn(x)はpn(x)=(−b)−nq−n(n−1)2(abcdqn−1;q)n(beiθ,be−iθ;q)n+∑l=0n−1Al(beiθ,be−iθ;q)lと表されるから, n≤mのとき,∫−11pm(x)pn(x)w(x)dx=δn,m(−b)−nq−n(n−1)2(abcdqn−1;q)na−n(ab,ac,ad;q)n⋅(abcdqn;q)∞(q,abqn,ac,ad,bcqn,bdqn,cd;q)∞(q−n,cd;q)n(ab,abcdqn;q)n(abqn)n=δn,m(1−abcdqn−1)(abcdqn;q)∞(1−abcdq2n−1)(qn+1,abqn,acqn,adqn,bcqn,bdqn,cdqn;q)∞となる. これは対称性からn≥mの場合にも成り立つ.
pn(x;a,b,c,d|q)はa,b,c,dに関して対称である.
系1はq超幾何級数の関係式としては, Searsの変換公式 と同値である.
重み関数がa,b,c,dに関して対称であることと, 同じ重み関数の直交多項式は定数倍を除いて一意に定まる. よって, 最高次の係数が等しいことからそれらは一致する.
Askey-Wilson多項式の古典極限はWilson多項式であり, 以下のように定義される.Wn(x2):=Wn(x2;a,b,c,d):=(a+b,a+c,a+d)n4F3[−n,a+b+c+d+n−1,a−ix,a+ixa+b,a+c,a+d;1]定理1において, q→1として, 直交性は以下のようになる.
12π∫0∞Wm(s2)Wn(s2)Γ(a−is)Γ(a+is)Γ(b−is)Γ(b+is)Γ(c−is)Γ(c+is)Γ(d−is)Γ(d+is)Γ(2is)Γ(−2is)ds=δn,ma+b+c+d+n−1a+b+c+d+2n−1n!Γ(a+b+n)Γ(a+c+n)Γ(a+d+n)Γ(b+c+n)Γ(b+d+n)Γ(c+d+n)Γ(a+b+c+d+n)
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