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Askey-Wilson多項式の直交性

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前の記事 でAskey-Wilson積分
12πi|t|=1(t2,1/t2;q)(at,a/t,bt,b/t,ct,c/t,dt,d/t;q)dtt=2(abcd;q)(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)
を示した. これはt=eiθとすると,
12π0π(e2iθ,e2iθ;q)(aeiθ,aeiθ,beiθ,beiθ,ceiθ,ceiθ,deiθ,deiθ;q)dθ=(abcd;q)(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)
と書き換えられる. よって,
w(cosθ):=w(cosθ;a,b,c,d|q):=12πsinθ(e2iθ,e2iθ;q)(aeiθ,aeiθ,beiθ,beiθ,ceiθ,ceiθ,deiθ,deiθ;q)
とすれば,
11w(x)dx=(abcd;q)(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)
である.

Askey-Wilson多項式

x=cosθとして,
pn(x):=pn(x;a,b,c,d|q):=an(ab,ac,ad;q)n4ϕ3[qn,abcdqn1,aeiθ,aeiθab,ac,ad;q]
によって定義する.

(aeiθ,aeiθ;q)n
xに関する最高次の項は(2ax)nであり, 定義からpn(x)の最高次の係数は
(2)n(qn,abcdqn1;q)n(q;q)nqn=2nqn(n1)2(abcdqn1;q)n
である. Askey-Wilson多項式は以下のように直交多項式となる.

Askey-Wilson多項式の直交性

11pn(x)pm(x)w(x)dx=δn,m(1abcdqn1)(abcdqn;q)(1abcdq2n1)(qn+1,abqn,acqn,adqn,bcqn,bdqn,cdqn;q)

Askey-Wilson積分より,
11pm(x)(beiθ,beiθ;q)lw(x)dx=an(ab,ac,ad;q)n0k(qm,abcdqm1;q)k(ab,ac,ad,q;q)kqk11(aeiθ,aeiθ;q)k(beiθ,beiθ;q)lw(x)dx=an(ab,ac,ad;q)n0k(qm,abcdqm1;q)k(ab,ac,ad,q;q)kqk11w(x;aqk,bql,c,d|q)dx=an(ab,ac,ad;q)n0k(qm,abcdqm1;q)k(ab,ac,ad,q;q)kqk(abcdqk+l;q)(q,abqk+l,acqk,adqk,bcql,bdql,cd;q)=an(ab,ac,ad;q)n(abcdql;q)(q,abql,ac,ad,bcql,bdql,cd;q)0k(qm,abcdqm1,abql;q)k(ab,abcdql,q;q)kqk
ここで, q-Saalschützの和公式より,
0k(qm,abcdqm1,abql;q)k(ab,abcdql,q;q)kqk=(ql,cd;q)m(ab,abcdql;q)m(abql)m
である. これはm>lのとき, 0である. pn(x)
pn(x)=(b)nqn(n1)2(abcdqn1;q)n(beiθ,beiθ;q)n+l=0n1Al(beiθ,beiθ;q)l
と表されるから, nmのとき,
11pm(x)pn(x)w(x)dx=δn,m(b)nqn(n1)2(abcdqn1;q)nan(ab,ac,ad;q)n(abcdqn;q)(q,abqn,ac,ad,bcqn,bdqn,cd;q)(qn,cd;q)n(ab,abcdqn;q)n(abqn)n=δn,m(1abcdqn1)(abcdqn;q)(1abcdq2n1)(qn+1,abqn,acqn,adqn,bcqn,bdqn,cdqn;q)
となる. これは対称性からnmの場合にも成り立つ.

pn(x;a,b,c,d|q)a,b,c,dに関して対称である.

系1はq超幾何級数の関係式としては, Searsの変換公式 と同値である.

重み関数がa,b,c,dに関して対称であることと, 同じ重み関数の直交多項式は定数倍を除いて一意に定まる. よって, 最高次の係数が等しいことからそれらは一致する.

古典極限

Askey-Wilson多項式の古典極限はWilson多項式であり, 以下のように定義される.
Wn(x2):=Wn(x2;a,b,c,d):=(a+b,a+c,a+d)n4F3[n,a+b+c+d+n1,aix,a+ixa+b,a+c,a+d;1]
定理1において, q1として, 直交性は以下のようになる.

12π0Wm(s2)Wn(s2)Γ(ais)Γ(a+is)Γ(bis)Γ(b+is)Γ(cis)Γ(c+is)Γ(dis)Γ(d+is)Γ(2is)Γ(2is)ds=δn,ma+b+c+d+n1a+b+c+d+2n1n!Γ(a+b+n)Γ(a+c+n)Γ(a+d+n)Γ(b+c+n)Γ(b+d+n)Γ(c+d+n)Γ(a+b+c+d+n)

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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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