Askey-Wilson多項式の直交性
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でAskey-Wilson積分
\begin{align}
\frac 1{2\pi i}\int_{|t|=1}\frac{(t^2,1/t^2;q)_{\infty}}{(at,a/t,bt,b/t,ct,c/t,dt,d/t;q)_{\infty}}\frac{dt}t&=\frac{2(abcd;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}
\end{align}
を示した. これは$t=e^{i\theta}$とすると,
\begin{align}
\frac 1{2\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta},ce^{i\theta},ce^{-i\theta},de^{i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}\,d\theta&=\frac{(abcd;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}
\end{align}
と書き換えられる. よって,
\begin{align}
w(\cos\theta):=w(\cos\theta;a,b,c,d|q):=\frac 1{2\pi\sin\theta}\frac{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta},ce^{i\theta},ce^{-i\theta},de^{i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}
\end{align}
とすれば,
\begin{align}
\int_{-1}^1w(x)\,dx&=\frac{(abcd;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}
\end{align}
である.
$x=\cos\theta$として,
\begin{align}
p_n(x):=p_n(x;a,b,c,d|q):=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}{q}
\end{align}
によって定義する.
\begin{align}
(ae^{i\theta},ae^{-i\theta};q)_n
\end{align}
の$x$に関する最高次の項は$(-2ax)^n$であり, 定義から$p_n(x)$の最高次の係数は
\begin{align}
(-2)^n\frac{(q^{-n},abcdq^{n-1};q)_n}{(q;q)_n}q^n=2^nq^{-\frac{n(n-1)}2}(abcdq^{n-1};q)_n
\end{align}
である. Askey-Wilson多項式は以下のように直交多項式となる.
\begin{align} \int_{-1}^1p_n(x)p_m(x)w(x)\,dx&=\delta_{n,m}\frac{(1-abcdq^{n-1})(abcdq^n;q)_{\infty}}{(1-abcdq^{2n-1})(q^{n+1},abq^n,acq^n,adq^n,bcq^n,bdq^n,cdq^n;q)_{\infty}} \end{align}
Askey-Wilson積分より,
\begin{align}
&\int_{-1}^1p_m(x)(be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_lw(x)\,dx\\
&=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-m},abcdq^{m-1};q)_k}{(ab,ac,ad,q;q)_k}q^k\int_{-1}^1(ae^{i\theta},ae^{-i\theta};q)_k(be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_lw(x)\,dx\\
&=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-m},abcdq^{m-1};q)_k}{(ab,ac,ad,q;q)_k}q^k\int_{-1}^1w(x;aq^k,bq^l,c,d|q)\,dx\\
&=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-m},abcdq^{m-1};q)_k}{(ab,ac,ad,q;q)_k}q^k\frac{(abcdq^{k+l};q)_{\infty}}{(q,abq^{k+l},acq^k,adq^k,bcq^l,bdq^l,cd;q)_{\infty}}\\
&=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\frac{(abcdq^{l};q)_{\infty}}{(q,abq^{l},ac,ad,bcq^l,bdq^l,cd;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-m},abcdq^{m-1},abq^l;q)_k}{(ab,abcdq^l,q;q)_k}q^k
\end{align}
ここで, $q$-Saalschützの和公式より,
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-m},abcdq^{m-1},abq^l;q)_k}{(ab,abcdq^l,q;q)_k}q^k&=\frac{(q^{-l},cd;q)_m}{(ab,abcdq^l;q)_m}(abq^l)^m
\end{align}
である. これは$m>l$のとき, $0$である. $p_n(x)$は
\begin{align}
p_n(x)&=(-b)^{-n}q^{-\frac{n(n-1)}2}(abcdq^{n-1};q)_n(be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_n+\sum_{l=0}^{n-1}A_l(be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_l
\end{align}
と表されるから, $n\leq m$のとき,
\begin{align}
&\int_{-1}^1p_m(x)p_n(x)w(x)\,dx\\
&=\delta_{n,m}(-b)^{-n}q^{-\frac{n(n-1)}2}(abcdq^{n-1};q)_na^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\\
&\qquad\cdot\frac{(abcdq^{n};q)_{\infty}}{(q,abq^{n},ac,ad,bcq^n,bdq^n,cd;q)_{\infty}}\frac{(q^{-n},cd;q)_n}{(ab,abcdq^n;q)_n}(abq^n)^n\\
&=\delta_{n,m}\frac{(1-abcdq^{n-1})(abcdq^{n};q)_{\infty}}{(1-abcdq^{2n-1})(q^{n+1},abq^{n},acq^n,adq^n,bcq^n,bdq^n,cdq^n;q)_{\infty}}\\
\end{align}
となる. これは対称性から$n\geq m$の場合にも成り立つ.
$p_n(x;a,b,c,d|q)$は$a,b,c,d$に関して対称である.
系1は$q$超幾何級数の関係式としては, Searsの変換公式 と同値である.
重み関数が$a,b,c,d$に関して対称であることと, 同じ重み関数の直交多項式は定数倍を除いて一意に定まる. よって, 最高次の係数が等しいことからそれらは一致する.
古典極限
Askey-Wilson多項式の古典極限はWilson多項式であり, 以下のように定義される.
\begin{align}
W_n(x^2):=W_n(x^2;a,b,c,d):=(a+b,a+c,a+d)_n\F43{-n,a+b+c+d+n-1,a-ix,a+ix}{a+b,a+c,a+d}{1}
\end{align}
定理1において, $q\to 1$として, 直交性は以下のようになる.
\begin{align} &\frac 1{2\pi}\int_0^{\infty}W_m(s^2)W_n(s^2)\frac{\Gamma(a-is)\Gamma(a+is)\Gamma(b-is)\Gamma(b+is)\Gamma(c-is)\Gamma(c+is)\Gamma(d-is)\Gamma(d+is)}{\Gamma(2is)\Gamma(-2is)}\,ds\\ &=\delta_{n,m}\frac{a+b+c+d+n-1}{a+b+c+d+2n-1}\frac{n!\Gamma(a+b+n)\Gamma(a+c+n)\Gamma(a+d+n)\Gamma(b+c+n)\Gamma(b+d+n)\Gamma(c+d+n)}{\Gamma(a+b+c+d+n)} \end{align}
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