Askey-Wilson多項式の直交性

前の記事でAskey-Wilson積分
$\begin{aligned} \frac{1}{2 π i} \int_{| t | = 1} \frac{(t^{2}, 1 / t^{2}; q)_{\infty}}{(a t, a / t, b t, b / t, c t, c / t, d t, d / t; q)_{\infty}} \frac{d t}{t} & = \frac{2 (a b c d; q)_{\infty}}{(q, a b, a c, a d, b c, b d, c d; q)_{\infty}} \end{aligned}$
を示した. これは $t = e^{i θ}$ とすると,
$\begin{aligned} \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} \frac{(e^{2 i θ}, e^{- 2 i θ}; q)_{\infty}}{(a e^{i θ}, a e^{- i θ}, b e^{i θ}, b e^{- i θ}, c e^{i θ}, c e^{- i θ}, d e^{i θ}, d e^{- i θ}; q)_{\infty}} d θ & = \frac{(a b c d; q)_{\infty}}{(q, a b, a c, a d, b c, b d, c d; q)_{\infty}} \end{aligned}$
と書き換えられる. よって,
$\begin{array}{r} w (\cos θ) := w (\cos θ; a, b, c, d | q) := \frac{1}{2 π \sin θ} \frac{(e^{2 i θ}, e^{- 2 i θ}; q)_{\infty}}{(a e^{i θ}, a e^{- i θ}, b e^{i θ}, b e^{- i θ}, c e^{i θ}, c e^{- i θ}, d e^{i θ}, d e^{- i θ}; q)_{\infty}} \end{array}$
とすれば,
$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} w (x) d x & = \frac{(a b c d; q)_{\infty}}{(q, a b, a c, a d, b c, b d, c d; q)_{\infty}} \end{aligned}$
である.

Askey-Wilson多項式

$x = \cos θ$ として,
$\begin{array}{r} p_{n} (x) := p_{n} (x; a, b, c, d | q) := a^{- n} (a b, a c, a d; q)_{n}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} q^{- n}, a b c d q^{n - 1}, a e^{i θ}, a e^{- i θ} \\ a b, a c, a d \end{array}; q] \end{array}$
によって定義する.

$\begin{array}{r} (a e^{i θ}, a e^{- i θ}; q)_{n} \end{array}$
の $x$ に関する最高次の項は $(- 2 a x)^{n}$ であり, 定義から $p_{n} (x)$ の最高次の係数は
$\begin{array}{r} (- 2)^{n} \frac{(q^{- n}, a b c d q^{n - 1}; q)_{n}}{(q; q)_{n}} q^{n} = 2^{n} q^{- \frac{n (n - 1)}{2}} (a b c d q^{n - 1}; q)_{n} \end{array}$
である. Askey-Wilson多項式は以下のように直交多項式となる.

Askey-Wilson多項式の直交性

$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} p_{n} (x) p_{m} (x) w (x) d x & = δ_{n, m} \frac{(1 - a b c d q^{n - 1}) (a b c d q^{n}; q)_{\infty}}{(1 - a b c d q^{2 n - 1}) (q^{n + 1}, a b q^{n}, a c q^{n}, a d q^{n}, b c q^{n}, b d q^{n}, c d q^{n}; q)_{\infty}} \end{aligned}$

Askey-Wilson積分より,
$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} p_{m} (x) (b e^{i θ}, b e^{- i θ}; q)_{l} w (x) d x \\ = a^{- n} (a b, a c, a d; q)_{n} \sum_{0 \leq k} \frac{(q^{- m}, a b c d q^{m - 1}; q)_{k}}{(a b, a c, a d, q; q)_{k}} q^{k} \int_{- 1}^{1} (a e^{i θ}, a e^{- i θ}; q)_{k} (b e^{i θ}, b e^{- i θ}; q)_{l} w (x) d x \\ = a^{- n} (a b, a c, a d; q)_{n} \sum_{0 \leq k} \frac{(q^{- m}, a b c d q^{m - 1}; q)_{k}}{(a b, a c, a d, q; q)_{k}} q^{k} \int_{- 1}^{1} w (x; a q^{k}, b q^{l}, c, d | q) d x \\ = a^{- n} (a b, a c, a d; q)_{n} \sum_{0 \leq k} \frac{(q^{- m}, a b c d q^{m - 1}; q)_{k}}{(a b, a c, a d, q; q)_{k}} q^{k} \frac{(a b c d q^{k + l}; q)_{\infty}}{(q, a b q^{k + l}, a c q^{k}, a d q^{k}, b c q^{l}, b d q^{l}, c d; q)_{\infty}} \\ = a^{- n} (a b, a c, a d; q)_{n} \frac{(a b c d q^{l}; q)_{\infty}}{(q, a b q^{l}, a c, a d, b c q^{l}, b d q^{l}, c d; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{(q^{- m}, a b c d q^{m - 1}, a b q^{l}; q)_{k}}{(a b, a b c d q^{l}, q; q)_{k}} q^{k} \end{aligned}$
ここで, $q$ -Saalschützの和公式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(q^{- m}, a b c d q^{m - 1}, a b q^{l}; q)_{k}}{(a b, a b c d q^{l}, q; q)_{k}} q^{k} & = \frac{(q^{- l}, c d; q)_{m}}{(a b, a b c d q^{l}; q)_{m}} (a b q^{l})^{m} \end{aligned}$
である. これは $m > l$ のとき, $0$ である. $p_{n} (x)$ は
$\begin{aligned} p_{n} (x) & = (- b)^{- n} q^{- \frac{n (n - 1)}{2}} (a b c d q^{n - 1}; q)_{n} (b e^{i θ}, b e^{- i θ}; q)_{n} + \sum_{l = 0}^{n - 1} A_{l} (b e^{i θ}, b e^{- i θ}; q)_{l} \end{aligned}$
と表されるから, $n \leq m$ のとき,
$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} p_{m} (x) p_{n} (x) w (x) d x \\ = δ_{n, m} (- b)^{- n} q^{- \frac{n (n - 1)}{2}} (a b c d q^{n - 1}; q)_{n} a^{- n} (a b, a c, a d; q)_{n} \\ \cdot \frac{(a b c d q^{n}; q)_{\infty}}{(q, a b q^{n}, a c, a d, b c q^{n}, b d q^{n}, c d; q)_{\infty}} \frac{(q^{- n}, c d; q)_{n}}{(a b, a b c d q^{n}; q)_{n}} (a b q^{n})^{n} \\ = δ_{n, m} \frac{(1 - a b c d q^{n - 1}) (a b c d q^{n}; q)_{\infty}}{(1 - a b c d q^{2 n - 1}) (q^{n + 1}, a b q^{n}, a c q^{n}, a d q^{n}, b c q^{n}, b d q^{n}, c d q^{n}; q)_{\infty}} \end{aligned}$
となる. これは対称性から $n \geq m$ の場合にも成り立つ.

$p_{n} (x; a, b, c, d | q)$ は $a, b, c, d$ に関して対称である.

系1は $q$ 超幾何級数の関係式としては, Searsの変換公式と同値である.

重み関数が $a, b, c, d$ に関して対称であることと, 同じ重み関数の直交多項式は定数倍を除いて一意に定まる. よって, 最高次の係数が等しいことからそれらは一致する.

古典極限

Askey-Wilson多項式の古典極限はWilson多項式であり, 以下のように定義される.
$\begin{array}{r} W_{n} (x^{2}) := W_{n} (x^{2}; a, b, c, d) := (a + b, a + c, a + d)_{n}_{4} F_{3} [\begin{array}{c} - n, a + b + c + d + n - 1, a - i x, a + i x \\ a + b, a + c, a + d \end{array}; 1] \end{array}$
定理1において, $q \to 1$ として, 直交性は以下のようになる.

$\begin{aligned} \frac{1}{2 π} \int_{0}^{\infty} W_{m} (s^{2}) W_{n} (s^{2}) \frac{Γ (a - i s) Γ (a + i s) Γ (b - i s) Γ (b + i s) Γ (c - i s) Γ (c + i s) Γ (d - i s) Γ (d + i s)}{Γ (2 i s) Γ (- 2 i s)} d s \\ = δ_{n, m} \frac{a + b + c + d + n - 1}{a + b + c + d + 2 n - 1} \frac{n! Γ (a + b + n) Γ (a + c + n) Γ (a + d + n) Γ (b + c + n) Γ (b + d + n) Γ (c + d + n)}{Γ (a + b + c + d + n)} \end{aligned}$