Askey-Wilson積分の証明
Askey-Wilson積分
\begin{align}
\frac 1{2\pi i}\int_{C}\frac{(t^2,1/t^2;q)_{\infty}}{(at,a/t,bt,b/t,ct,c/t,dt,d/t;q)_{\infty}}\frac{dt}{t}&=\frac{2(abcd;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}
\end{align}
を示す. ここで, $C$は単位円$|t|=1$とする.
$|a|,|b|,|c|,|d|<1$とするとき,
\begin{align}
\frac 1{2\pi i}\int_{C}\frac{(t^2,1/t^2;q)_{\infty}}{(at,a/t,bt,b/t,ct,c/t,dt,d/t;q)_{\infty}}\frac{dt}{t}&=\frac{2(abcd;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
h(x;a):=\prod_{n=0}^{\infty}(1-2axq^n+a^2q^{2n})=(ae^{i\theta},ae^{-i\theta};q)_{\infty},\qquad x=\cos\theta
\end{align}
として, $h(x;a_1,\dots,a_r):=h(x;a_1)\cdots h(x;a_r)$とすると,
\begin{align}
&h(x;1,-1,\sqrt q,-\sqrt q)\\
&=(e^{i\theta},e^{-i\theta},-e^{i\theta},-e^{-i\theta},e^{i\theta}\sqrt q,e^{-i\theta}\sqrt q,-e^{i\theta}\sqrt q,-e^{-\theta}\sqrt q;q)_{\infty}\\
&=(e^{2i\theta},e^{-2i\theta},e^{2i\theta}q,e^{-2i\theta}q;q^2)_{\infty}\\
&=(e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
\frac 1{2\pi i}\int_{C}\frac{(t^2,1/t^2;q)_{\infty}}{(at,a/t,bt,b/t,ct,c/t,dt,d/t;q)_{\infty}}\frac{dt}{t}&=\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi }\frac{h(x;1,-1,\sqrt q,-\sqrt q)}{h(x;a,b,c,d)}\,d\theta\\
&=\frac 1{\pi}\int_0^{\pi }\frac{h(x;1,-1,\sqrt q,-\sqrt q)}{h(x;a,b,c,d)}\,d\theta\\
&=\frac 1{\pi}\int_{-1}^{1}\frac{h(x;1,-1,\sqrt q,-\sqrt q)}{h(x;a,b,c,d)}\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\\
\end{align}
を用いて, Askey-Wilson積分は
\begin{align}
\int_{-1}^{1}\frac{h(x;1,-1,\sqrt q,-\sqrt q)}{h(x;a,b,c,d)}\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&=\frac{2\pi (abcd;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}
\end{align}
という実積分に変形できる. 以下はGasper-Rahmanの本, Basic Hypergeometric Seriesに書かれている証明である.
まず, $q$積分を
\begin{align}
\int_a^bf(t)\,d_qt&:=\sum_{0\leq n}(bq^nf(bq^n)-aq^nf(aq^n))
\end{align}
とすると,
前回の記事
で示したAl-Salam-Verma積分
\begin{align}
\int_a^b\frac{(tq/a,tq/b,ct;q)_{\infty}}{(dt,et,ft;q)_{\infty}}d_qt&=(b-a)\frac{(aq/b,bq/a,c/d,c/e,c/f,q;q)_{\infty}}{(ad,ae,af,bd,be,bf;q)_{\infty}},\qquad (c=abdef)
\end{align}
を用いて,
\begin{align}
\frac{h(x;1)}{h(x;a,b)}&=\frac{(1/a,1/b;q)_{\infty}}{(b-a)(q,aq/b,bq/a,ab;q)_{\infty}}\int_a^b\frac{(uq/a,uq/b,u;q)_{\infty}}{(u/ab;q)_{\infty}}\frac{d_qu}{h(x;u)}\\
\frac{h(x;-1)}{h(x;c,d)}&=\frac{(-1/c,-1/d;q)_{\infty}}{(d-c)(q,cq/d,dq/c,cd;q)_{\infty}}\int_c^d\frac{(vq/c,vq/d,-v;q)_{\infty}}{(-v/cd;q)_{\infty}}\frac{d_qv}{h(x;v)}\\
\frac{h(x;-\sqrt q)}{h(x;u,v)}&=\frac{\sqrt q(-\sqrt q/u,-\sqrt q/v;q)_{\infty}}{(v-u)(q,uq/v,vq/u,uv;q)_{\infty}}\int_{u/\sqrt q}^{v/\sqrt q}\frac{(tq^{\frac 32}/u,tq^{\frac 32}/v,-tq;q)_{\infty}}{(-tq/uv;q)_{\infty}}\frac{d_qt}{h(x;t\sqrt q)}
\end{align}
が成り立つ. また,
\begin{align}
\frac 12\int_{-\pi}^{\pi}\frac{h(x;\sqrt q)}{h(x;tq^{\frac 12})}d\theta&=\frac 12\int_{-\pi}^{\pi}\frac{(e^{i\theta}\sqrt q,e^{-i\theta}\sqrt q;q)_{\infty}}{(te^{i\theta}\sqrt q,te^{-i\theta}\sqrt q;q)_{\infty}}\,d\theta\\
&=\frac 12\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{0\leq n,m}\frac{(1/t;q)_n(1/t;q)_m}{(q;q)_n(q;q)_m}(t\sqrt q)^{n+m}e^{i(n-m)}\,d\theta\\
&=\pi\sum_{0\leq n}\frac{(1/t,1/t;q)_n}{(q;q)_n^2}(t^2q)^n\\
&=\pi\frac{(tq,tq;q)_{\infty}}{(q,t^2q;q)_{\infty}}\\
&=\pi\frac{(tq,tq;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}(t\sqrt q,-t\sqrt q,tq,-tq;q)_{\infty}}\\
&=\frac{\pi(tq;q)_{\infty}}{(q,t\sqrt q,-t\sqrt q,-tq;q)_{\infty}}
\end{align}
である. よって, Al-Salam-Verma積分を反復して適用することによって,
\begin{align}
&\frac 1{2}\int_{-\pi}^{\pi }\frac{h(x;1,-1,\sqrt q,-\sqrt q)}{h(x;a,b,c,d)}\,d\theta\\
&=\frac{(1/a,1/b,-1/c,-1/d;q)_{\infty}}{2(b-a)(d-c)(q,q,aq/b,bq/a,ab,cq/d,dq/c,cd;q)_{\infty}}\int_{-\pi}^{\pi}h(x;\sqrt q,-\sqrt q)\,dx\\
&\qquad \cdot \int_a^b\frac{(uq/a,uq/b,u;q)_{\infty}}{(u/ab;q)_{\infty}}\frac{d_qu}{h(x;u)}\int_c^d\frac{(vq/c,vq/d,-v;q)_{\infty}}{(-v/cd;q)_{\infty}}\frac{d_qv}{h(x;v)}\\
&=\frac{(1/a,1/b,-1/c,-1/d;q)_{\infty}}{2(b-a)(d-c)(q,q,aq/b,bq/a,ab,cq/d,dq/c,cd;q)_{\infty}}\int_{-\pi}^{\pi}\,dx\\
&\qquad \cdot \int_a^b\frac{(uq/a,uq/b,u;q)_{\infty}}{(u/ab;q)_{\infty}}d_qu\int_c^d\frac{(vq/c,vq/d,-v;q)_{\infty}}{(-v/cd;q)_{\infty}}d_qv\\
&\qquad\qquad \cdot\frac{\sqrt q(-\sqrt q/u,-\sqrt q/v;q)_{\infty}}{(v-u)(q,uq/v,vq/u,uv;q)_{\infty}}\int_{u/\sqrt q}^{v/\sqrt q}\frac{(tq^{\frac 32}/u,tq^{\frac 32}/v,-tq;q)_{\infty}}{(-tq/uv;q)_{\infty}}\frac{h(x;\sqrt q)d_qt}{h(x;t\sqrt q)}\\
&=\frac{(1/a,1/b,-1/c,-1/d;q)_{\infty}}{(b-a)(d-c)(q,q,aq/b,bq/a,ab,cq/d,dq/c,cd;q)_{\infty}}\\
&\qquad \cdot \int_a^b\frac{(uq/a,uq/b,u;q)_{\infty}}{(u/ab;q)_{\infty}}d_qu\int_c^d\frac{(vq/c,vq/d,-v;q)_{\infty}}{(-v/cd;q)_{\infty}}d_qv\\
&\qquad\qquad \cdot\frac{\sqrt q(-\sqrt q/u,-\sqrt q/v;q)_{\infty}}{(v-u)(q,uq/v,vq/u,uv;q)_{\infty}}\int_{u/\sqrt q}^{v/\sqrt q}\frac{(tq^{\frac 32}/u,tq^{\frac 32}/v,-tq;q)_{\infty}}{(-tq/uv;q)_{\infty}}\,d_qt\frac{\pi(tq;q)_{\infty}}{(q,t\sqrt q,-t\sqrt q,-tq;q)_{\infty}}\\
&=\frac{\pi(1/a,1/b,-1/c,-1/d;q)_{\infty}}{(b-a)(d-c)(q,q,aq/b,bq/a,ab,cq/d,dq/c,cd;q)_{\infty}}\\
&\qquad \cdot \int_a^b\frac{(uq/a,uq/b,u;q)_{\infty}}{(u/ab;q)_{\infty}}d_qu\int_c^d\frac{(vq/c,vq/d,-v;q)_{\infty}}{(-v/cd;q)_{\infty}}d_qv\\
&\qquad\qquad \cdot\frac{\sqrt q(-\sqrt q/u,-\sqrt q/v;q)_{\infty}}{(v-u)(q,q,uq/v,vq/u,uv;q)_{\infty}}\int_{u/\sqrt q}^{v/\sqrt q}\frac{(tq^{\frac 32}/u,tq^{\frac 32}/v,tq;q)_{\infty}}{(-tq/uv,t\sqrt q,-t\sqrt q;q)_{\infty}}\,d_qt\\
&=\frac{\pi(1/a,1/b,-1/c,-1/d;q)_{\infty}}{(b-a)(d-c)(q,q,aq/b,bq/a,ab,cq/d,dq/c,cd;q)_{\infty}}\\
&\qquad \cdot \int_a^b\frac{(uq/a,uq/b,u;q)_{\infty}}{(u/ab;q)_{\infty}}d_qu\int_c^d\frac{(vq/c,vq/d,-v;q)_{\infty}}{(-v/cd;q)_{\infty}}d_qv\\
&\qquad\qquad \cdot\frac{\sqrt q(-\sqrt q/u,-\sqrt q/v;q)_{\infty}}{(v-u)(q,q,uq/v,vq/u,uv;q)_{\infty}}\frac{(v-u)(uq/v,vq/u,-uv,\sqrt q,-\sqrt q,q;q)_{\infty}}{\sqrt q(-\sqrt q/v,u,-u,-\sqrt q/u,v,-v;q)_{\infty}}\\
&=\frac{\pi(1/a,1/b,-1/c,-1/d,\sqrt q,-\sqrt q;q)_{\infty}}{(b-a)(d-c)(q,q,q,aq/b,bq/a,ab,cq/d,dq/c,cd;q)_{\infty}}\\
&\qquad \cdot \int_a^b\frac{(uq/a,uq/b;q)_{\infty}}{(u/ab,-u;q)_{\infty}}d_qu\int_c^d\frac{(vq/c,vq/d,-uv;q)_{\infty}}{(-v/cd,v,uv;q)_{\infty}}d_qv\\
&=\frac{\pi(1/a,1/b,-1/c,-1/d,\sqrt q,-\sqrt q;q)_{\infty}}{(b-a)(d-c)(q,q,q,aq/b,bq/a,ab,cq/d,dq/c,cd;q)_{\infty}}\\
&\qquad \cdot \int_a^b\frac{(uq/a,uq/b;q)_{\infty}}{(u/ab,-u;q)_{\infty}}d_qu\frac{(d-c)(cq/d,dq/c,cdu,-u,-1,q;q)_{\infty}}{(-1/d,c,cu,-1/c,d,du;q)_{\infty}}\\
&=\frac{\pi(1/a,1/b,\sqrt q,-\sqrt q,-1;q)_{\infty}}{(b-a)(q,q,aq/b,bq/a,ab,cd,c,d;q)_{\infty}}\int_a^b\frac{(uq/a,uq/b,cdu;q)_{\infty}}{(u/ab,cu,du;q)_{\infty}}d_qu\\
&=\frac{\pi(1/a,1/b,\sqrt q,-\sqrt q,-1;q)_{\infty}}{(b-a)(q,q,aq/b,bq/a,ab,cd,c,d;q)_{\infty}}\frac{(b-a)(aq/b,bq/a,abcd,c,d,q;q)_{\infty}}{(1/b,ac,ad,1/a,bc,bd;q)_{\infty}}\\
&=\frac{\pi(\sqrt q,-\sqrt q,-1,abcd;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}\\
&=\frac{2\pi(abcd;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}
\end{align}
となって示される.
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