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スペクトラム上の加群に付随する層について

$\S .0$【環のスペクトラムの構造層とその具体例】で，可換環$R$から$\spec(R)$上の可換環の層$\mathcal{O}$を作った．同様に$R$加群から$\spec(R)$上の$\mathcal{O}$加群の層を作る．
$M$を$R$加群とする．

開集合$U\subset \spec(R)$に対し，集合$\widetilde{M} (U)$を次の条件(※)を満たす写像$s:U \rightarrow \bigsqcup_{ \mathfrak{p} \in U} M_\mathfrak{p}$の集まりとする．ここで，$M_\mathfrak{p} $は$M$の$\mathfrak{p}$による局所化である．
(※)　各$\mathfrak{p}\in U$に対し，$U$に含まれる$\mathfrak{p}$の開近傍$V$と元$m\in M$，$f\in R$が存在して，任意の$\mathfrak{q}\in V$について$f\not \in \mathfrak{q}$かつ$s(\mathfrak{q})=m/f\in M_\mathfrak{q}$を満たす．
自然な制限写像により，$\widetilde{M} $は$\mathcal{O}$加群の層となる．

前回$\S .1$の定理$1$と同様に，$\widetilde{M} $が$\mathcal{O}$加群の層を示すことができる．また，$\S .1$の定理$4$と同様に次のことを示せる．

各$\mathfrak{p}\in \spec(R)$に対し，茎$\widetilde{M}_\mathfrak{p}$は$M_\mathfrak{p} $と同型である．
各$f\in R$に対し，$R_f$加群$\widetilde{M} (D(f))$は$M_f$と同型である．

定理1．(1)

$ \psi :\widetilde{M}_\mathfrak{p}\to M_\mathfrak{p};s_\mathfrak{p}\mapsto s(\mathfrak{p})$として写像を定める．ここで，$s$は$s_\mathfrak{p}$に対する$\mathfrak{p}$の近傍での切断である．この定め方から明らかにwell-defindeな準同型写像である．
$\psi$が全射であること:$m/f\in M_\mathfrak{p}$を取る．ここで，$m\in M$，$f\in R\setminus\mathfrak{p}$である．各$ \mathfrak{q} \in D(f)$はイデアル$(f)$を含まないので，$f\not\in\mathfrak{q}$となる．なので写像$s:D(f)\to \bigsqcup_{ \mathfrak{p} \in D(f)} M_\mathfrak{p}; \mathfrak{q}\mapsto m/f$は(※)を満たす．あとは$D(f)$が$\mathfrak{p}$の近傍であることに注意すると，$s$の芽$s_\mathfrak{p}$は$\widetilde{M}_\mathfrak{p}$の元である．
$\psi$が単射であること:$s(\mathfrak{p}),t(\mathfrak{p})\in M_\mathfrak{p}$は$s(\mathfrak{p})=t(\mathfrak{p})$を満たすとする．$s(\mathfrak{p})=m/f$，$t(\mathfrak{p})=m'/g$と書ける．ここで，$m,m'\in M$，$f,g\in R\setminus\mathfrak{p}$である．ゆえにある$h\in R\setminus \mathfrak{p}$が存在して，$h(gm-fm')=0$が成立する．
$U=D(f)\cap D(g)\cap D(h)$とおくと，任意の$\mathfrak{q}\in U$に対し$h(gm-fm')=0$，$h,g,f\not\in \mathfrak{q}$が成立する．ゆえに各局所化$M_\mathfrak{q}$で$m/f=m'/g$である．$U$は$\mathfrak{p}$の近傍であることに注意すると，$s_\mathfrak{p}=t_\mathfrak{p}$.
以上より$\widetilde{M}_\mathfrak{p}$と$M_\mathfrak{p} $は同型である．

(2)の証明の前に次の事実を確かめる．

任意の$f\in R$に対し$D(f)$は準コンパクト．すなわち任意の開被覆は有限被覆をもつ．

任意に開被覆$D(f)\subset\bigcup D(g_\lambda )$を取る．これは$V((f)) \supset \bigcap D((g_\lambda))=D(\sum(g_\lambda))$と同値．すなわち$ \sqrt{(f)} \subset \sqrt{\sum(g_\lambda)} $であることに同値なので，ある$n$に対し$f^n\in\sum(g_\lambda)$となる．これは$f^n$は有限個の和で表されることを意味する．よって有限個の$D(g_{\lambda_k})$で被覆される．

定理1．(2)

写像$\varphi: M_f\rightarrow\widetilde{M} (D(f))$を$ \varphi(m/f^k ):D(f)\ni \mathfrak{p}\mapsto m/f^k\in M_\mathfrak{p}$として定める．この定め方から明らかにwell-defindeな準同型写像である．
$\varphi$が単射であること:$\varphi(m/f^k )=\varphi(m'/f^j )$ とする．イデアル$I=\{h\in R\mid h(f^jm-f^km')=0\}$とおくと，各$ \mathfrak{p}\in D(f)$に対して$M_\mathfrak{p}$上$ m/f^k =m'/f^j $なので，$h(f^jm-f^km')=0$となる$h\in R\setminus\mathfrak{p}$が存在する．すなわち$I\not \subset\mathfrak{p}$．特に$V(I)\cap D(f)= \varnothing $である．
$I$を含む全ての素イデアルは$D(f)$に含まれない．すなわちそのような素イデアルは$V((f))$に含まれる．よって$f\in \sqrt{I} $．なので，ある自然数$l$が存在して，$ f^l(f^jm-f^km')=0$．これは$M_f$上$m/f^k =m'/f^j$を意味する．
$\varphi$が全射であること:$s\in \widetilde{M} (D(f))$を取る．定義から$D(f)$の開被覆$D(h_i)$で$m_i\in M$，$g_i\in R$が存在して，任意の$\mathfrak{q}\in D(h_i)$に対し$g_i\not\in\mathfrak{q}$，$s(\mathfrak{q})=m_i/g_i\in M_\mathfrak{q}$となる．$D(h_i)\subset D(g_i)$であるから$ \sqrt{(h_i)}\subset\sqrt{(g_i)} $となり，ある自然数$n$と$c\in R$で$h_i^n=cg_i$と書ける．$D(h_i)=D(h_i^n)$から$h_i^n$を$h_i$，$cm_i$を$m_i$と置き換えることで$D(h_i)$上$s=m_i/h_i$と書けているとしてよい．また，定理2から$D(f)$は有限個の$D(h_1),\cdots,D(h_r)$で被覆される．
$D(h_i)\cap D(h_j)=D(h_ih_j)$上$\varphi(m_i/h_i )=\varphi(m_j/h_j )$なので，$\varphi$の単射性から$m_i/h_i =m_j/h_j \in M_{h_ih_j}$．よってある$k$が存在して，$(h_ih_j)^k(h_jm_i-h_im_j)=0$と書ける．全ての$i,j\in \{1,\dots ,r\}$に対し最大の$k$を取とれば全ての$i,j$で$h_i^k h_j^{k+1} m_i=h_i^{k+1} h_j^k m_j$を満たす．
ある$n$，$a_i\in R$があって，$f^n=\sum a_ih_i^{k+1}$と書ける．$m=\sum a_ih_i^k m_i$とおくと，各$j$で
$$h_j^{k+1}m=\sum_i h_j^{k+1} a_i h_i^k m_i= \sum_i h_j^{k} a_i h_i^{k+1} m_j=f^n h_j^{k} m_j$$
となる．すなわち$m/f^n=h_j^{k} m_j/h_j^{k+1}=m_j/h_j\in M_\mathfrak{q}$がすべての$\mathfrak{q}\in D(h_j)$で成り立つ．よって$\varphi(m/f^n)=s$．