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スペクトラム上の加群に付随する層について

$§ .0$ 【環のスペクトラムの構造層とその具体例】で，可換環 $R$ から $spec (R)$ 上の可換環の層 $O$ を作った．同様に $R$ 加群から $spec (R)$ 上の $O$ 加群の層を作る．
$M$ を $R$ 加群とする．

開集合 $U \subset spec (R)$ に対し，集合 $\tilde{M} (U)$ を次の条件(※)を満たす写像 $s : U \to ⨆_{p \in U} M_{p}$ の集まりとする．ここで， $M_{p}$ は $M$ の $p$ による局所化である．
(※)　各 $p \in U$ に対し， $U$ に含まれる $p$ の開近傍 $V$ と元 $m \in M$ ， $f \in R$ が存在して，任意の $q \in V$ について $f \notin q$ かつ $s (q) = m / f \in M_{q}$ を満たす．
自然な制限写像により， $\tilde{M}$ は $O$ 加群の層となる．

前回 $§ .1$ の定理 $1$ と同様に， $\tilde{M}$ が $O$ 加群の層を示すことができる．また， $§ .1$ の定理 $4$ と同様に次のことを示せる．

各 $p \in spec (R)$ に対し，茎 ${\tilde{M}}_{p}$ は $M_{p}$ と同型である．
各 $f \in R$ に対し， $R_{f}$ 加群 $\tilde{M} (D (f))$ は $M_{f}$ と同型である．

定理1．(1)

$ψ : {\tilde{M}}_{p} \to M_{p}; s_{p} \mapsto s (p)$ として写像を定める．ここで， $s$ は $s_{p}$ に対する $p$ の近傍での切断である．この定め方から明らかにwell-defindeな準同型写像である．
$ψ$ が全射であること: $m / f \in M_{p}$ を取る．ここで， $m \in M$ ， $f \in R ∖ p$ である．各 $q \in D (f)$ はイデアル $(f)$ を含まないので， $f \notin q$ となる．なので写像 $s : D (f) \to ⨆_{p \in D (f)} M_{p}; q \mapsto m / f$ は(※)を満たす．あとは $D (f)$ が $p$ の近傍であることに注意すると， $s$ の芽 $s_{p}$ は ${\tilde{M}}_{p}$ の元である．
$ψ$ が単射であること: $s (p), t (p) \in M_{p}$ は $s (p) = t (p)$ を満たすとする． $s (p) = m / f$ ， $t (p) = m^{'} / g$ と書ける．ここで， $m, m^{'} \in M$ ， $f, g \in R ∖ p$ である．ゆえにある $h \in R ∖ p$ が存在して， $h (g m - f m^{'}) = 0$ が成立する．
$U = D (f) \cap D (g) \cap D (h)$ とおくと，任意の $q \in U$ に対し $h (g m - f m^{'}) = 0$ ， $h, g, f \notin q$ が成立する．ゆえに各局所化 $M_{q}$ で $m / f = m^{'} / g$ である． $U$ は $p$ の近傍であることに注意すると， $s_{p} = t_{p}$ .
以上より ${\tilde{M}}_{p}$ と $M_{p}$ は同型である．

(2)の証明の前に次の事実を確かめる．

任意の $f \in R$ に対し $D (f)$ は準コンパクト．すなわち任意の開被覆は有限被覆をもつ．

任意に開被覆 $D (f) \subset ⋃ D (g_{λ})$ を取る．これは $V ((f)) \supset ⋂ D ((g_{λ})) = D (\sum (g_{λ}))$ と同値．すなわち $\sqrt{(f)} \subset \sqrt{\sum (g_{λ})}$ であることに同値なので，ある $n$ に対し $f^{n} \in \sum (g_{λ})$ となる．これは $f^{n}$ は有限個の和で表されることを意味する．よって有限個の $D (g_{λ_{k}})$ で被覆される．

定理1．(2)

写像 $φ : M_{f} \to \tilde{M} (D (f))$ を $φ (m / f^{k}) : D (f) ∋ p \mapsto m / f^{k} \in M_{p}$ として定める．この定め方から明らかにwell-defindeな準同型写像である．
$φ$ が単射であること: $φ (m / f^{k}) = φ (m^{'} / f^{j})$ とする．イデアル $I = {h \in R ∣ h (f^{j} m - f^{k} m^{'}) = 0}$ とおくと，各 $p \in D (f)$ に対して $M_{p}$ 上 $m / f^{k} = m^{'} / f^{j}$ なので， $h (f^{j} m - f^{k} m^{'}) = 0$ となる $h \in R ∖ p$ が存在する．すなわち $I ⊄ p$ ．特に $V (I) \cap D (f) = \emptyset$ である．
$I$ を含む全ての素イデアルは $D (f)$ に含まれない．すなわちそのような素イデアルは $V ((f))$ に含まれる．よって $f \in \sqrt{I}$ ．なので，ある自然数 $l$ が存在して， $f^{l} (f^{j} m - f^{k} m^{'}) = 0$ ．これは $M_{f}$ 上 $m / f^{k} = m^{'} / f^{j}$ を意味する．
$φ$ が全射であること: $s \in \tilde{M} (D (f))$ を取る．定義から $D (f)$ の開被覆 $D (h_{i})$ で $m_{i} \in M$ ， $g_{i} \in R$ が存在して，任意の $q \in D (h_{i})$ に対し $g_{i} \notin q$ ， $s (q) = m_{i} / g_{i} \in M_{q}$ となる． $D (h_{i}) \subset D (g_{i})$ であるから $\sqrt{(h_{i})} \subset \sqrt{(g_{i})}$ となり，ある自然数 $n$ と $c \in R$ で $h_{i}^{n} = c g_{i}$ と書ける． $D (h_{i}) = D (h_{i}^{n})$ から $h_{i}^{n}$ を $h_{i}$ ， $c m_{i}$ を $m_{i}$ と置き換えることで $D (h_{i})$ 上 $s = m_{i} / h_{i}$ と書けているとしてよい．また，定理2から $D (f)$ は有限個の $D (h_{1}), \dots, D (h_{r})$ で被覆される．
$D (h_{i}) \cap D (h_{j}) = D (h_{i} h_{j})$ 上 $φ (m_{i} / h_{i}) = φ (m_{j} / h_{j})$ なので， $φ$ の単射性から $m_{i} / h_{i} = m_{j} / h_{j} \in M_{h_{i} h_{j}}$ ．よってある $k$ が存在して， $(h_{i} h_{j})^{k} (h_{j} m_{i} - h_{i} m_{j}) = 0$ と書ける．全ての $i, j \in {1, \dots, r}$ に対し最大の $k$ を取とれば全ての $i, j$ で $h_{i}^{k} h_{j}^{k + 1} m_{i} = h_{i}^{k + 1} h_{j}^{k} m_{j}$ を満たす．
ある $n$ ， $a_{i} \in R$ があって， $f^{n} = \sum a_{i} h_{i}^{k + 1}$ と書ける． $m = \sum a_{i} h_{i}^{k} m_{i}$ とおくと，各 $j$ で
$h_{j}^{k + 1} m = \sum_{i} h_{j}^{k + 1} a_{i} h_{i}^{k} m_{i} = \sum_{i} h_{j}^{k} a_{i} h_{i}^{k + 1} m_{j} = f^{n} h_{j}^{k} m_{j}$
となる．すなわち $m / f^{n} = h_{j}^{k} m_{j} / h_{j}^{k + 1} = m_{j} / h_{j} \in M_{q}$ がすべての $q \in D (h_{j})$ で成り立つ．よって $φ (m / f^{n}) = s$ ．