【量子情報理論】フォンノイマンエントロピーとシャノンエントロピーの関係

量子情報,物理,情報理論

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はじめに

フォン・ノイマンエントロピーとシャノンエントロピー関係について説明する。まずはじめにそれぞれの定義をおさらいしよう。

それぞれの定義

フォン・ノイマンエントロピー（von Neumannエントロピー）

フォン・ノイマンエントロピー $H (ρ)$ は密度演算子 $ρ$ を用いて以下で定義される。
$H (ρ) := - Tr ρ \log ρ$

シャノン・エントロピー（Shannonエントロピー）

シャノン・エントロピーとは確率変数 $X$ における確率を $p_{i}$ としたとき以下で定義される。

$H (X) := - \sum_{i} p_{i} \log p_{i}$

それぞれの関係

フォンノイマンエントロピーは量子状態におけるシャノンエントロピーである。実際に密度演算子を固有値分解することでシャノンエントロピーの形式に戻すことができる。

導出過程の確認の前準備(必要な定義や定理の確認)

導出過程に必要な定義や公式について整理する。

密度演算子

密度演算子とは以下を満たす演算子のことである
$ρ > 0, Tr ρ = 1$

この密度演算子を固有値分解してあげた形が以下である。

密度演算子(固有値分解した形で表現したもの)

$ρ = \sum_{i} p_{i} | ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} |$

演算子の関数

正規演算子 $A = \sum_{k = i}^{d} a_{k} | ϕ_{k} ⟩ ⟨ ϕ_{k} |$ としたとき $f (A)$ は
$f (A) := \sum_{k = 1}^{d} f (a_{k}) | ϕ_{k} ⟩ ⟨ ϕ_{k} |$
になる。

これのイメージとしては関数は固有値にしか反応しないことを意味する。
この演算子の関数より
$\log ρ = \sum_{k = 1}^{d} \log (p_{i}) | ϕ_{k} ⟩ ⟨ ϕ_{k} |$ であることに注意する。

トレースの性質

トレースの性質としていかが成り立つ。
$Tr (| ψ ⟩ ⟨ ϕ |) = ⟨ ϕ | ψ ⟩$

導出過程

$\begin{aligned} H (ρ) & := - Tr ρ \log ρ \\ = - Tr \sum_{i = 1}^{d} p_{i} | ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} | (\sum_{k = 1}^{d} \log (p_{k}) | ψ_{k} ⟩ ⟨ ψ_{k} |) \\ = - Tr \sum_{i = 1}^{d} \sum_{k = 1}^{d} p_{i} \log (p_{k}) | ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} | | ψ_{k} ⟩ ⟨ ψ_{k} | \\ = - Tr \sum_{i = 1}^{d} \sum_{k = 1}^{d} p_{i} \log (p_{k}) | ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} | ψ_{k} ⟩ ⟨ ψ_{k} | \\ = - Tr \sum_{i = 1}^{d} p_{i} \log (p_{i}) | ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} | \\ = - \sum_{i = k}^{d} p_{i} \log (p_{i}) Tr | ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} | \\ = - \sum_{i = 1}^{d} p_{i} \log (p_{i}) ⟨ ψ_{i} | ψ_{i} ⟩ \\ = - \sum_{i = 1}^{d} p_{i} \log (p_{i}) \\ = H (X) \end{aligned}$
したがって、フォンノイマンエントロピーからシャノンエントロピーを導出できた。