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【図形】相加相乗平均と台形

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はじめに

二つの数の平均を求める方法には、算術平均、調和平均、幾何平均などがあります。この中で算術平均は相加平均、幾何平均は相乗平均とも呼ばれ、この2つの平均には大小関係が成り立ちます。相加平均は一般に平均といわれて思い浮かべる足し算を使った平均の求め方ですね。

相加平均と相乗平均

相加平均(2変数の場合)

a+b2

相乗平均(2変数の場合)

ab (a0,b0)

相加平均と相乗平均には次のような大小関係が成り立ちます。

相加相乗平均の大小関係

a+b2ab (a0,b0)

台形に現れる相加相乗平均

図形の中で相加平均、相乗平均の値を探すことで、視覚的に相加相乗平均の大小関係を見ることができます。例えば円の中にも相加相乗平均を見つけることができます。
【図でわかる】相加相乗平均と円

台形と相加平均

台形を用いて、相加平均、相乗平均を探してみましょう。
台形と相加平均 台形と相加平均
上図のようなAB//DCの台形ABCDを考えます。線分ABの長さをa、線分DCの長さをbとします。点E、点Fをそれぞれ線分AD、線分BCの中点とすると、青い線分EFa+b2となります。実際に確認してみましょう。

台形と相加平均 台形と相加平均

Cを通り線分ADと並行な直線と線分ABの交点をKとし、線分CKと線分EFの交点をGとします。するとKBの長さはabとなります。CKBCGFCB:CF=2:1より、GFの長さはab2となります。一方で四角形EGCDは平行四辺形なので線分EGの長さはbです。なので線分EG=EG+GF=b+ab2=a+b2となります。

台形と相乗平均

結論から書くとABIHHICDとなるような線分HIの長さがabになります。線分IHの長さをxとおくと、ABIHHICDよりAB:IH=IH:DCよりa:x=x:bなのでx2=ab、すなわちx=abとなります。

台形と相乗平均 台形と相乗平均

ABIHHICDAB:HI=a:bなので、台形の面積の相似比はa:b、高さの比はa:bとなります。

まとめ

青い線分EFの長さが相加平均、緑の線分HIの長さが相乗平均です。
このように台形の中に現れる相加相乗平均を見つけることによって、大小関係を視覚的に見ることができました。

相加相乗平均と台形 相加相乗平均と台形

投稿日:2023525
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くっく
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