順序について

順序に関する定義についてのまとめ．
プリオーダー集合 $（ X, ⪯ ）$ ，順序集合 $（ X, ⪯ ）$ ，全順序集合 $（ X, ⪯ ）$ の定義．

順序に関わる関係の定義

（任意の2つの元に関係が定まる）任意の $x, y \in X$ に対して， $x ⪯ y$ 又は $y ⪯ x$ ．
（反射律）すべての $x \in X$ に対して， $x ⪯ x$ ．
（推移律） $x, y, z \in X$ に対して， $x ⪯ y$ かつ $y ⪯ z$ なら $x ⪯ z$ ．
（反対称律） $x, y \in X$ に対して， $x ⪯ y$ かつ $y ⪯ x$ なら， $x = y$ ．

プリオーダー，順序，全順序の定義

(2)，(3)が成立するのがプリオーダー集合．
(2)，(3)，(4) が成立するのが順序集合．
(1)，(2)，(3)，(4) のすべてが成立するのが全順序集合（線形順序集合）．

半径aの2次元球面

S_{a}^{2}

における順序

$S_{a}^{2} = {x \in R^{3} ∣ ‖ x ‖ = a}$
$x, y \in S_{a}^{2}$ に対して極座標表示をし， $x = (a \sin θ_{x} \cos ϕ, a \sin θ_{x} \sin ϕ, a \cos θ_{x}), y = (a \sin θ_{y} \cos ϕ, a \sin θ_{y} \sin ϕ, a \cos θ_{y})$ とする． $x ⪯ y :\Leftrightarrow θ_{x} ≦ θ_{y}$
と定義すると， $(S_{a}^{2}, ⪯)$ はプリオーダー集合である． $S_{a}^{2}$ の任意の2点に関して順序の関係は定まっているが，反対称律は満たしていないので順序集合でも全順序集合でもない．

集合

X

の冪集合

P (X)

における順序

$X$ を空でない集合とし，冪集合 $P (X)$ を考える． $A, B \in P (X)$ に対し $A ⪯ B :\Leftrightarrow A \subset B$
と定義すると， $(P (X), ⪯)$ は順序集合である． $P (X)$ の任意の2つの元に対しては，順序の関係は定まっていないので，全順序集合ではない．