Ramanujanの2つの公式のBaileyによる一般化
前回の記事で示した2つの等式は, Baileyによってさらに一般化されている.
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\left(\frac{aq^n}{(1-aq^n)^2}-\frac{bq^n}{(1-bq^n)^2}\right)&=a\frac{(ab,q/ab,b/a,aq/b;q)_{\infty}(q;q)_{\infty}^4}{(a,q/a,b,q/b;q)_{\infty}^2} \end{align}
Baileyの${}_6\psi_6$和公式
より,
\begin{align}
\frac{(abq,bq/a,aq/b,q,q,q,q,q/ab;q)_{\infty}}{(bq,bq,aq,aq,q/a,q/a,q/b,q/b;q)_{\infty}}&=\BQ66{\sqrt{ab}q,-\sqrt{ab}q,a,a,b,b}{\sqrt{ab},-\sqrt{ab},bq,bq,aq,aq}{q}\\
&=\frac{(1-a)^2(1-b)^2}{1-ab}\sum_{n\in\ZZ}\frac{1-abq^{2n}}{(1-aq^n)^2(1-bq^n)^2}q^n\\
&=\frac{(1-a)^2(1-b)^2}{(a-b)(1-ab)}\sum_{n\in\ZZ}\left(\frac{aq^n}{(1-aq^n)^2}-\frac{bq^n}{(1-bq^n)^2}\right)
\end{align}
より,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\left(\frac{aq^n}{(1-aq^n)^2}-\frac{bq^n}{(1-bq^n)^2}\right)&=a\frac{(ab,q/ab,b/a,aq/b;q)_{\infty}(q;q)_{\infty}^4}{(a,q/a,b,q/b;q)_{\infty}^2}
\end{align}
を得る.
実は上の等式は, 本質的にWeierstrassの楕円関数に関する等式
\begin{align}
\wp(v)-\wp(u)&=\frac{\sigma(u-v)\sigma(u+v)}{\sigma(u)^2\sigma(v)^2}
\end{align}
と同値である. このような等式が楕円関数論によらずに示されるのは興味深いかもしれない.
定理1において, $a\mapsto q,b\mapsto q^2,q\mapsto q^5$とすることによって以下を得る.
\begin{align} q\frac{(q^5;q^5)_{\infty}^5}{(q;q)_{\infty}}&=\sum_{0\leq n}\left(\frac{q^{5n+1}}{(1-q^{5n+1})^2}-\frac{q^{5n+2}}{(1-q^{5n+2})^2}-\frac{q^{5n+3}}{(1-q^{5n+3})^2}+\frac{q^{5n+4}}{(1-q^{5n+4})^2}\right) \end{align}
また, 定理1において, $\omega:=e^{\frac{2\pi i}5}$として, $a\mapsto \omega, b\mapsto \omega^2$とすると,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{aq^n}{(1-aq^n)^2}&=\frac{a}{(1-a)^2}+\sum_{0< n}\left(\frac{aq^n}{(1-aq^n)^2}+\frac{a^{-1}q^n}{(1-a^{-1}q^n)^2}\right)\\
&=\frac{a}{(1-a)^2}+\sum_{0< n,m}m(a^m+a^{-m})q^{mn}\\
&=\frac{a}{(1-a)^2}+\sum_{m=1}\frac{m(a^m+a^{-m})q^m}{1-q^m}
\end{align}
となることから,
\begin{align}
&\frac{\omega(1-\omega^3)(1-\omega)}{(1-\omega)^2(1-\omega^2)^2}\prod_{0< n}\frac{(1-q^n)^5}{1-q^{5n}}\\
&=\frac{\omega}{(1-\omega)^2}-\frac{\omega^2}{(1-\omega^2)^2}+\sum_{0< m}\frac{mq^m}{1-q^m}(\omega^m+\omega^{4m}-\omega^{2m}-\omega^{3m})\\
&=\frac{\omega(1-\omega^2)(1-\omega)}{(1-\omega)^2(1-\omega^2)^2}+\sum_{0< m}\frac{mq^m \omega^m(1-\omega^m)(1-\omega^{2m})}{1-q^m}
\end{align}
ここで, $A:=\omega(1-\omega)(1-\omega^2)$とすると, $\omega^m(1-\omega^m)(1-\omega^{2m})$は$m$が$5n,5n+1,5n+2,5n+3,5n+4$のとき,
\begin{align}
0,A,-A,-A,A
\end{align}
となる. よってこれを整理すれば以下を得る.
\begin{align} \frac{(q;q)^5}{(q^5;q^5)_{\infty}}&=1-5\sum_{0\leq n}\left(\frac{(5n+1)q^{5n+1}}{1-q^{5n+1}}-\frac{(5n+2)q^{5n+2}}{1-q^{5n+2}}-\frac{(5n+3)q^{5n+3}}{1-q^{5n+3}}+\frac{(5n+4)q^{5n+4}}{1-q^{5n+4}}\right) \end{align}
両辺を$b-a$で割って, $b\mapsto a$の極限を考えることによって, 以下の系が得られる.
\begin{align} \frac{a(1+a)}{(1-a)^3}+\sum_{0< n}\frac{n^2q^n}{1-q^n}(a^n-a^{-n})&=a\frac{(a^2,q/a^2;q)_{\infty}(q;q)_{\infty}^6}{(a,q/a;q)_{\infty}^4} \end{align}
