「代数学の基本定理」の証明

$f(K)$が有界閉集合であることを示せばよい．

$f(K)$が有界でないなら，点列$\{z_n\}\in K(n=1,2,\cdots )$で，$|f(z_n)|\to \mathrm{\infty }$となるものが存在する．$K$は有界なので，Bolzano-Weierstrassの定理から，部分列$\{z_n\}$が存在して，ある$z_0\in \mathbb{C}$に収束する．$K$は閉集合ゆえ，$z_0\in K$である．関数$f$は連続ゆえ，$|f(z_{n_k})|\to |f(z_0)|$となるが，これは$\{z_n\}$の取り方に反する．ゆえに，$f(K)$は有界集合である．

また，$w_0\in \mathrm{Cl}(f(K))$として，$f(z_n)\to w_0$となる点列$z_n\in K$をとる．$f$は連続ゆえ，ある$\alpha \in \mathbb{C}$ が存在して，$z_n\to \alpha ，f(\alpha )=w_0$となる．$K$は閉集合ゆえ，$\alpha \in K$だから，$w_0=f(\alpha )\in f(K)$．したがって，$f(K)$は閉集合である．

$\left|f\right|$の像$\left|f\right|(K)$は$\mathbb{R}$に含まれる有界閉集合である．したがって，$a_0:=inf\left|f\right|(K),b_0:=sup\left|f\right|(K)$はともに有限値であり，しかも$\left|f\right|(K)$に属する．明らかに，$a_0$が$\left|f\right|$の最小値，$b_0$が$\left|f\right|$の最大値である．

$P(z)$が定数のときは明らか．$n\ge 1$とし，$P(z)=a_n{z}^n+\cdots +a_{1}z+a_0(a_n\ne 0)$とおく。$z\ne 0$のとき，
$$\begin{array}{rl}|P(z)|& =\left|z^n\right||a_n+{\displaystyle \frac{a_{n-1}}{z}+\cdots {\displaystyle \frac{a_1}{z^{n-1}}+{\displaystyle \frac{a_0}{z^n}}}}|\\ & \ge {\left|z\right|}^n(\left|a_n\right|-\frac{\left|a_{n-1}\right|}{\left|z\right|}-\cdots -\frac{\left|a_0\right|}{{\left|z\right|}^n})\end{array}$$
であるから，$z\to \mathrm{\infty }$として，$|P(z)|\to \mathrm{\infty }$を得る．ゆえに，
$$\begin{array}{c}\mathrm{\exists }L>0\mathrm{s}.\mathrm{t}.\left|z\right|>L⟹|P(z)|>|P(0)|．\end{array}$$
集合$\{z\in \mathbb{C}:\left|z\right|\le 1\}$は有界閉集合，すなわちコンパクト集合なので，補題2より$|P(z)|$はこの集合上で最小値$m$をもち，$m\le |P(0)|$であるから，この$m$は$\mathbb{C}$全体における$|P(z)|$の最小値である．

$P(z)$が$\mathbb{C}$で$0$にならないと仮定する．このとき，補題3により，$|P(z)|$はある$a\in \mathbb{C}$で正の最小値をもつ．

さて，$Q(z):={\displaystyle \frac{P(z+a)}{P(a)}}$とおくと，$|Q(z)|$は$z=0$で最小値$1$をもつ．

ここで，$Q(z)=1+b{z}^k+$(高次の項)$(0\ne b\in \mathbb{C})$とする．$-{\displaystyle \frac{1}{b}}$の$k$乗根を1個選んで$\omega$とする．$Q(t\omega )$ $(t\in \mathbb{R})$を考えると，$Q(t\omega )=1-t^k+o(t^k)$ $(t\to 0)$となるので，
$$\begin{array}{rl}\underset{t\to +0}{lim}\frac{1-|Q(t\omega )|}{t^k}& =\underset{t\to +0}{lim}\frac{1-(1-t^k+o(t^k))\overline{(1-t^k+o(t^k))}}{t^k(1+|Q(t\omega )|)}\\ & =\underset{t\to +0}{lim}\frac{2t^k+o(t^k)}{t^k(1+|Q(t\omega )|)}\\ & =\underset{t\to +0}{lim}\frac{2+o(1)}{1+|Q(t\omega )|}\\ & =\frac{2}{1+1}\\ & =1.\end{array}$$
ゆえに$t$が十分小のとき，$1-|Q(t\omega )|>0$，すなわち$|Q(t\omega )|<1$である．これは，$|Q(z)|$の最小値が$1$であることに矛盾する．

したがって，任意の$n$次多項式$P(z)$（ただし$n\ge 1$）は$\mathbb{C}$に根をもち，$P(\alpha )=0$となる$\alpha \in \mathbb{C}$があることがわかる．因数定理より$P(z)=(z-\alpha )R(z)$と書けることがわかり，$(n-1)$次の多項式$R(z)$に再び今の議論を適用する．そしてこの議論を繰り返して次数を下げていくことにより，$P(z)$が，重複も込めて，ちょうど$n$個の根をもつことがわかる．