2F1の不定積分に関するRamanujanの公式
$a+b+1=c+d$とするとき,
\begin{align}
\frac{d}{dx}\frac{\F21{a,b}{d}{1-x}}{\F21{a,b}{c}{x}}&=-\frac{\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\frac{1}{x^c(1-x)^d\F21{a,b}{c}{x}^2}
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\F21{a,b}{d}{1-x},\F21{a,b}{c}{x}
\end{align}
はGaussの微分方程式
\begin{align}
x(1-x)y''+(c-(a+b+1)x)y'-aby=0
\end{align}
の解であるから,
Abelの公式
よりWronskian
\begin{align}
W\left(\F21{a,b}{c}{x},\F21{a,b}{d}{1-x}\right)
\end{align}
は
\begin{align}
\exp\left(-\int\frac{c-(a+b+1)x}{x(1-x)} \,dx\right)=\frac{C}{x^c(1-x)^d}
\end{align}
と表される. 定数$C$はEulerの変換公式
\begin{align}
\F21{a,b}{c}{x}&=(1-x)^{1-d}\F21{c-a,c-b}{c}{x}
\end{align}
を用いて,
\begin{align}
\frac{C}{x^c}&=(1-x)^{d}W\left(\F21{a,b}{c}{x},\F21{a,b}{d}{1-x}\right)\\
&=(1-x)^{d}\left(\F21{a,b}{c}{x}\frac{d}{dx}\left(\F21{a,b}{d}{1-x}\right)-\F21{a,b}{d}{1-x}\frac{d}{dx}\left(\F21{a,b}{c}x\right)\right)\\
&=(1-x)\F21{c-a,c-b}{c}{x}\frac{d}{dx}\left(\F21{a,b}{d}{1-x}\right)-\F21{a,b}{d}{1-x}\frac{ab}{c}\F21{c-a,c-b}{c+1}x
\end{align}
$d$を十分大きくとっておけば, $x\to 1$としたとき, Gaussの超幾何定理より,
\begin{align}
C&=-\frac{ab}c\F21{c-a,c-b}{c+1}1\\
&=-\frac{ab}{c}\frac{\Gamma(c+1)\Gamma(a+b-c+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(b+1)}\\
&=-\frac{\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}
\end{align}
を得る. 一般の場合も解析接続によって成り立つことが分かる. よって,
\begin{align}
W\left(\F21{a,b}{c}{x},\F21{a,b}{d}{1-x}\right)&=-\frac{\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\frac 1{x^c(1-x)^d}
\end{align}
が得られる. これを用いると,
\begin{align}
\frac{d}{dx}\frac{\F21{a,b}{d}{1-x}}{\F21{a,b}{c}{x}}&=\frac{\F21{a,b}{c}{x}\frac{d}{dx}\left(\F21{a,b}{d}{1-x}\right)-\F21{a,b}{d}{1-x}\frac{d}{dx}\left(\F21{a,b}{c}{x}\right)}{\F21{a,b}{c}{x}^2}\\
&=\frac{W\left(\F21{a,b}{c}{x},\F21{a,b}{d}{1-x}\right)}{\F21{a,b}{c}{x}^2}\\
&=-\frac{\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\frac 1{x^c(1-x)^d\F21{a,b}{c}{x}^2}
\end{align}
と示される.
$a+b+1=c+d$とするとき,
\begin{align}
&\F21{a,b}{c}{x}\int_{0< s< t< x}s^{w-1}\F21{a,b}{c}{s}\,ds\frac{dt}{t^c(1-t)^d\F21{a,b}{c}{t}^2}\\
&=(1-x)^{1-d}\sum_{0\leq k}\frac{(1-a+w,1-b+w)_k}{(w,1-c+w)_{k+1}}x^{k+1-c+w}
\end{align}
Eulerの公式
\begin{align}
\F21{a,b}{c}{x}&=(1-x)^{1-d}\F21{c-a,c-b}{c}{x}
\end{align}
を用いると, 示すべき等式は
\begin{align}
&\F21{c-a,c-b}{c}{x}\int_{0< s< t< x}s^{w-1}(1-s)^{1-d}\F21{c-a,c-b}{c}{s}\,ds\frac{dt}{t^c(1-t)^{2-d}\F21{c-a,c-b}{c}{t}^2}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(1-a+w,1-b+w)_k}{(w,1-c+w)_{k+1}}x^{k+1-c+w}
\end{align}
と書き換えられる. $c-a,c-b,2-d$を改めて$a,b,d$と置くことによって, $a+b+1=c+d$のとき
\begin{align}
&\F21{a,b}{c}{x}\int_{0< s< t< x}s^{w-1}(1-s)^{d-1}\F21{a,b}{c}{s}\,ds\frac{dt}{t^c(1-t)^d\F21{a,b}{c}{t}^2}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a+1-c+w,b+1-c+w)_k}{(w,1-c+w)_{k+1}}x^{k+1-c+w}
\end{align}
を示せばよい. $\theta:=x\frac d{dx}$とすると,
\begin{align}
&(\theta(\theta+c-1)-x(\theta+a)(\theta+b))\sum_{0\leq k}\frac{(a+1-c+w,b+1-c+w)_k}{(w,1-c+w)_{k+1}}x^{k+1-c+w}\\
&=\sum_{0\leq k}\left(\frac{(a+1-c+w,b+1-c+w)_k}{(w,1-c+w)_{k}}x^{k+1-c+w}-\frac{(a+1-c+w,b+1-c+w)_{k+1}}{(w,1-c+w)_{k+1}}x^{k+2-c+w}\right)\\
&=x^{1-c+w}
\end{align}
一方, $\theta(\theta+c-1)-x(\theta+a)(\theta+b)=x^2(1-x)\frac{d^2}{dx^2}+\cdots$と書けるので,
定数変化法
より,
\begin{align}
(\theta(\theta+c-1)-x(\theta+a)(\theta+b))y&=x^{1-c+w}
\end{align}
の解として
\begin{align}
&\int_0^x\frac{s^{w-1-c}}{1-s}\frac{\left|\begin{matrix}\F21{a,b}{c}{s}&\F21{a,b}{d}{1-s}\\\F21{a,b}{c}{x}&\F21{a,b}{d}{1-x}\end{matrix}\right|}{W\left(\F21{a,b}{c}{s},\F21{a,b}{d}{1-s}\right)}\,ds\\
&=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(c)\Gamma(d)}\int_0^xs^{w-1}(1-s)^{d-1}\left(\F21{a,b}{c}{x}\F21{a,b}{d}{1-s}-\F21{a,b}{c}{s}\F21{a,b}{d}{1-x}\right)\,ds\\
&=\F21{a,b}{c}{x}\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(c)\Gamma(d)}\int_0^xs^{w-1}(1-s)^{d-1}\F21{a,b}{c}{s}\left(\frac{\F21{a,b}{d}{1-s}}{\F21{a,b}{c}s}-\frac{\F21{a,b}{d}{1-x}}{\F21{a,b}c{x}}\right)\,ds\\
&=\F21{a,b}{c}{x}\int_{0< s< t< x}s^{w-1}(1-s)^{d-1}\F21{a,b}{c}{s}\,ds\frac{dt}{t^c(1-t)^d\F21{a,b}{c}{t}^2}
\end{align}
も得られる. $x\to 0$における挙動を考えると,
\begin{align}
&\F21{a,b}{c}{x}\int_{0< s< t< x}s^{w-1}(1-s)^{d-1}\F21{a,b}{c}{s}\,ds\frac{dt}{t^c(1-t)^d\F21{a,b}{c}{t}^2}\\
&=\sum_{0\leq n}A_nx^{n+1-c+w}
\end{align}
の形に展開されることが分かる. よって, $w$は任意だから,
\begin{align}
&\F21{a,b}{c}{x}\int_{0< s< t< x}s^{w-1}(1-s)^{d-1}\F21{a,b}{c}{s}\,ds\frac{dt}{t^c(1-t)^d\F21{a,b}{c}{t}^2}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a+1-c+w,b+1-c+w)_k}{(w,1-c+w)_{k+1}}x^{k+1-c+w}
\end{align}
とならなければならない. これが示すべき式であった.
例として, $a=b=\frac 12, c=1$とすると,
\begin{align}
\kappa(x)\int_{0< s< t< x}s^{w-1}\kappa(s)\,ds\frac{dt}{t(1-t)\kappa(t)^2}&=\sum_{0\leq k}\frac{\left(w+\frac 12\right)_k^2}{(w)_{k+1}^2}x^{k+w}\\
\kappa(x)&:=\F21{\frac 12,\frac 12}{1}x
\end{align}
が得られる. この等式の$w$が半整数の場合は
前の記事
で
\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{6n}}{n^3\binom{2n}n^3}\sum_{m=0}^{n-1}\frac{\binom{2m}m^3}{2^{6m}}&=\frac{\pi^5}{3\Gamma\left(\frac 34\right)^8}
\end{align}
を示す過程で用いたものである.
