二項係数の3乗が入った級数その1

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この記事では, 二項係数の3乗が入った級数
$\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{6 n}}{n^{3} {(\binom{2 n}{n})}^{3}} \sum_{m = 0}^{n - 1} \frac{{(\binom{2 m}{m})}^{3}}{2^{6 m}} = \frac{π^{5}}{3 Γ {(\frac{3}{4})}^{8}} \end{array}$
に証明を与える.

$\begin{array}{r} κ (x) := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2}}{2^{4 n}} x^{n} \end{array}$

とする. 以下2つは, Ramanujan's Notebooks Part IIIのChapter 17, Entry 9にある.

$\begin{array}{r} π \frac{d}{d x} \frac{κ (1 - x)}{κ (x)} = - \frac{1}{x (1 - x) κ (x)^{2}} \end{array}$

Ramanujanの公式

$\begin{aligned} \int_{0 < s < t < x} s^{n - 1} κ (s) d s \frac{d t}{t (1 - t) κ (t)^{2}} & = \frac{2^{4 n}}{κ (x) n^{2} {(\binom{2 n}{n})}^{2}} \sum_{n \leq m} \frac{{(\binom{2 m}{m})}^{2}}{2^{4 m}} x^{m} \\ \int_{0 < s < t < x} s^{n - \frac{1}{2}} κ (s) d s \frac{d t}{t (1 - t) κ (t)^{2}} & = \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2}}{κ (x) 2^{4 n}} \sum_{n \leq m} \frac{2^{4 m}}{{(m + \frac{1}{2})}^{2} {(\binom{2 m}{m})}^{2}} x^{m + \frac{1}{2}} \end{aligned}$

$x \to 1$ とすることによって以下を得る.

$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} s^{n - 1} κ (1 - s) = \frac{2^{4 n}}{π n^{2} {(\binom{2 n}{n})}^{2}} \end{array}$

これらを用いることによって,
$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{6 n}}{n^{3} {(\binom{2 n}{n})}^{3}} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{{(\binom{2 k}{k})}^{3}}{2^{6 k}} & = \int_{0 < s < t < u < 1} \frac{κ (s) d s}{\sqrt{s (1 - s)}} \frac{d t}{t (1 - t) κ (t)^{2}} \frac{κ (u) d u}{\sqrt{u (1 - u)}} \\ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{6 n}}{n^{3} {(\binom{2 n}{n})}^{3}} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{{(\binom{2 k}{k})}^{3}}{2^{6 k}} & = π \int_{0 < s < u < 1} \frac{κ (s) d s}{\sqrt{s (1 - s)}} \frac{κ (1 - u) d u}{\sqrt{u (1 - u)}} \end{aligned}$
という2通りの表示を得ることができる.

$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} \frac{κ (x)}{\sqrt{x (1 - x)}} d x = \frac{π^{2}}{Γ {(\frac{3}{4})}^{4}} \end{array}$

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{κ (x)}{\sqrt{x (1 - x)}} d x & = π \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{3}}{2^{6 n}} \end{aligned}$
また, Dixonの恒等式より,
$\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{3}}{2^{6 n}} = \frac{π}{Γ {(\frac{3}{4})}^{4}} \end{array}$
である.

$\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{6 n}}{n^{3} {(\binom{2 n}{n})}^{3}} \sum_{m = 0}^{n - 1} \frac{{(\binom{2 m}{m})}^{3}}{2^{6 m}} = \frac{π^{5}}{3 Γ {(\frac{3}{4})}^{8}} \end{array}$

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{6 n}}{n^{3} {(\binom{2 n}{n})}^{3}} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{{(\binom{2 k}{k})}^{3}}{2^{6 k}} & = \int_{0 < s < t < u < 1} \frac{κ (s) d s}{\sqrt{s (1 - s)}} \frac{d t}{t (1 - t) κ (t)^{2}} \frac{κ (u) d u}{\sqrt{u (1 - u)}} \\ = π \int_{0 < s < u < 1} \frac{κ (1 - s) κ (u) - κ (s) κ (1 - u)}{\sqrt{s (1 - s) u (1 - u)}} d s d u \\ = π (\int_{0}^{1} \frac{κ (s)}{\sqrt{s (1 - s)}} d s \int_{0}^{1} \frac{κ (1 - u)}{\sqrt{u (1 - u)}} d u - 2 \int_{0 < s < u < 1} \frac{κ (s) κ (1 - u)}{\sqrt{s (1 - s) u (1 - u)}} d s d u) \\ = \frac{π^{5}}{Γ {(\frac{3}{4})}^{8}} - 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{6 n}}{n^{3} {(\binom{2 n}{n})}^{3}} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{{(\binom{2 k}{k})}^{3}}{2^{6 k}} \end{aligned}$
であるから,
$\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{6 n}}{n^{3} {(\binom{2 n}{n})}^{3}} \sum_{m = 0}^{n - 1} \frac{{(\binom{2 m}{m})}^{3}}{2^{6 m}} = \frac{π^{5}}{3 Γ {(\frac{3}{4})}^{8}} \end{array}$
が示される.

投稿日：2023年8月11日

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Wataru

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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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