二項係数の3乗が入った級数その1
この記事では, 二項係数の3乗が入った級数
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{6n}}{n^3\binom{2n}{n}^3}\sum_{m=0}^{n-1}\frac{\binom{2m}{m}^3}{2^{6m}}=\frac{\pi^5}{3\Gamma\left(\frac 34\right)^8}
\end{align*}
に証明を与える.
\begin{align*} \kappa(x):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}n^2}{2^{4n}}x^n \end{align*}
とする. 以下2つは, Ramanujan's Notebooks Part IIIのChapter 17, Entry 9にある.
\begin{align*} \pi\frac{d}{dx}\frac{\kappa(1-x)}{\kappa(x)}=-\frac 1{x(1-x)\kappa(x)^2} \end{align*}
\begin{align*} \int_{0< s< t< x}s^{n-1}\kappa(s)\,ds\frac{dt}{t(1-t)\kappa(t)^2}&=\frac {2^{4n}}{\kappa(x)n^2\binom{2n}n^2}\sum_{n\leq m}\frac{\binom{2m}m^2}{2^{4m}}x^m\\\int_{0< s< t< x}s^{n-\frac 12}\kappa(s)\,ds\frac{dt}{t(1-t)\kappa(t)^2}&=\frac {\binom{2n}n^2}{\kappa(x) 2^{4n}}\sum_{n\leq m}\frac{2^{4m}}{\left(m+\frac 12\right)^2\binom{2m}m^2}x^{m+\frac 12} \end{align*}
$x\to 1$とすることによって以下を得る.
\begin{align*} \int_0^1s^{n-1}\kappa(1-s)=\frac{2^{4n}}{\pi n^2\binom{2n}n^2} \end{align*}
これらを用いることによって,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{6n}}{n^3\binom{2n}n^3}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\binom{2k}k^3}{2^{6k}}&=\int_{0< s< t< u<1}\frac{\kappa(s)\,ds}{\sqrt{s(1-s)}}\frac{dt}{t(1-t)\kappa(t)^2}\frac{\kappa(u)\,du}{\sqrt{u(1-u)}}\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{6n}}{n^3\binom{2n}n^3}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\binom{2k}k^3}{2^{6k}}&=\pi\int_{0< s< u<1}\frac{\kappa(s)ds}{\sqrt{s(1-s)}}\frac{\kappa(1-u)du}{\sqrt{u(1-u)}}
\end{align*}
という2通りの表示を得ることができる.
\begin{align*} \int_0^1\frac{\kappa(x)}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx=\frac{\pi^2}{\Gamma\left(\frac 34\right)^4} \end{align*}
\begin{align*}
\int_0^1\frac{\kappa(x)}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx&=\pi\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}n^3}{2^{6n}}
\end{align*}
また, Dixonの恒等式より,
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}n^3}{2^{6n}}=\frac{\pi}{\Gamma\left(\frac 34\right)^4}
\end{align*}
である.
\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{6n}}{n^3\binom{2n}{n}^3}\sum_{m=0}^{n-1}\frac{\binom{2m}{m}^3}{2^{6m}}=\frac{\pi^5}{3\Gamma\left(\frac 34\right)^8} \end{align*}
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{6n}}{n^3\binom{2n}n^3}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\binom{2k}k^3}{2^{6k}}&=\int_{0< s< t< u<1}\frac{\kappa(s)\,ds}{\sqrt{s(1-s)}}\frac{dt}{t(1-t)\kappa(t)^2}\frac{\kappa(u)\,du}{\sqrt{u(1-u)}}\\
&=\pi\int_{0< s< u<1}\frac{\kappa(1-s)\kappa(u)-\kappa(s)\kappa(1-u)}{\sqrt{s(1-s)u(1-u)}}\,dsdu\\
&=\pi\left(\int_0^1\frac{\kappa(s)}{\sqrt{s(1-s)}}\,ds\int_0^1\frac{\kappa(1-u)}{\sqrt{u(1-u)}}\,du-2\int_{0< s< u<1}\frac{\kappa(s)\kappa(1-u)}{\sqrt{s(1-s)u(1-u)}}\,dsdu\right)\\
&=\frac{\pi^5}{\Gamma\left(\frac 34\right)^8}-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{6n}}{n^3\binom{2n}n^3}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\binom{2k}k^3}{2^{6k}}
\end{align*}
であるから,
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{6n}}{n^3\binom{2n}{n}^3}\sum_{m=0}^{n-1}\frac{\binom{2m}{m}^3}{2^{6m}}=\frac{\pi^5}{3\Gamma\left(\frac 34\right)^8}
\end{align*}
が示される.
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