近畿大学数学コンテスト2025A-2, A-3答案

この記事は 日曜数学 Advent Calendar 2025 の11日目の記事です.

去る2025/11/3, 第27回近畿大学数学コンテスト が行われました. この記事では私が当日解いたうちの2問（A-2とA-3）の答案を書きたいと思います.
問題は ここ から閲覧・ダウンロードできますが, 当記事中にも転写をします（A-2については元の問題文がやや冗長なので要約のみ）.

A-3

順番が前後しますがまずA-3について書きます.

2変数なら大学受験等でありそう（いわゆる"解の配置"の問題）なタイプの問題ですが, 3変数なので真正面から取り組むのは結構大変そうです.
近大数コンのA問題は高校までの数学で解ける問題ということになっていますが, 私は悪い大人なので大学以降の数学を使って殴りたいと思います.

解 $x = a + b + c, y = ab + bc + ca, z = abc$ とおく. 条件をみたす3次元領域を$D = \{(x, y ,z)\}\subset\mathbb R^3$とする. 対称性より, はじめから$-1 \le a\le b\le c \le1$ としてよい. このとき組$(x, y, z)$と$(a, b, c)$は一対一に対応する（$\because$三次方程式の解と係数の関係）. このとき求めたい体積は,

\begin{align} \int_D1\,dxdydz&=\int_{-1\le a\le b\le c\le1}\left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(a, b, c)}\right|dadbdc\\ &=\int_{-1\le a\le b\le c\le1}(b-a)(c-a)(c-b)dadbdc\\ &=\frac{16}{45}. \end{align}

A-2

解
(1) $a\equiv b$を$a\equiv b$(mod 3)の意味で用いる. $\{x, y, z\}$から$\{x, y, x+y-z\}$に変換したとき, 3つの数の和は,

\begin{align} x+ y+ z\mapsto x + y+(x+y-z)\equiv2(x+ y+ z), \end{align}
より, 変換により2倍になる. よって3つの数の和を３で割った剰余は,

• $0\to0\to0\to0\to\cdots$
• $(1\to)2\to1\to2\to\cdots$
  のどちらかになる. 特にいま$\{3, 4, 8\}$に対して$3 + 4 + 8\equiv0$であるから, これに操作を繰り返して$a + b+ c=113\equiv2$となる$\{a, b, c\}$にすることはできない.

(2)
$\{x, y, z\}$に対してこの操作をするとき,
\begin{align} f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx, \end{align}
が不変量となる. 実際,
\begin{align} f(x, y, x+y-z)&=x^2+y^2+(x+y-z)^2-xy-y(x+y-z)-(x+y-z)x\\ &=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\\ &=f(x, y, z), \end{align}
である. よって$\{x, y, z\}$に操作を何度か施して$\{x+1, y, z\}$になったとすると,
\begin{align} x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=(x+1)^2+y^2+z^2-(x+1)y-yz-z(x+1). \end{align}
これを整理して,
\begin{align} z=2x+1-y. \end{align}
これは必要条件であるが, 逆にこのとき, $\{x, y, z=2x+1-y\}$の$x$を$y+z-x$に変換することで$\{x+1, y ,z\}$に遷移できる. よって求めるものは, $\{x, y, 2x+1-y\}$($x, y$は任意の整数).

終わりに

近畿大学数学コンテストは高校生以下だけでなく大学生以上や社会人（プロの数学者の参加者もいる）も参加できる事実上の数学の全国大会です. 問題の質も高く, 単に競技としての問題のための問題というだけでなく, 数学的に面白い背景がある問題も多いです（試験終了後に解説タイムが設けられ, 一部の問題が解説される）. 毎年11/3（文化の日, 近畿大学生駒祭）に開催されているので俺より強い人以外は奮って参加してみましょう!