ここでは東大数理の修士課程の院試の2022B08の解答例を解説していきます(ただし解説の都合で問題を少し改変しています)。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
正の整数$m,n$について$\mathbb{C}^2$の部分位相空間
$$
X_{m,n}:=\{(x,y)\in\mathbb{C}^2|x^m=y^n\}
$$
を考える。
(1) $X_{m,n}$が位相多様体になることと$\mathrm{gcd}(m,n)=1$が同値であることを示せ。
(2) $Y=X_{m,n}\backslash\{(0,0)\}$の整係数ホモロジー群$H_\ast(Y,\mathbb{Z})$を求めよ。