東大数理院試過去問解答例(2022B08)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2022B08の解答例を解説していきます(ただし解説の都合で問題を少し改変しています)。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2022B08(改)

正の整数 $m, n$ について $C^{2}$ の部分位相空間
$X_{m, n} := {(x, y) \in C^{2} | x^{m} = y^{n}}$
を考える。
(1) $X_{m, n}$ が位相多様体になることと $\gcd (m, n) = 1$ が同値であることを示せ。
(2) $Y = X_{m, n} ∖ {(0, 0)}$ の整係数ホモロジー群 $H_{*} (Y, Z)$ を求めよ。

まず $\gcd (m, n) = 1$ とし、整数 $a, b$ が $m a + n b = 1$ を満たしているとする。このとき連続写像 $f : C \to X_{m, n}$ を $z \mapsto (z^{n}, z^{m})$ で定義する。次に写像 $g : X_{m, n} \to C$ を
$(s, t) \mapsto {\begin{array}{cc} s^{b} t^{a} & ((s, t) \neq (0, 0)) \\ 0 & ((s, t) = (0, 0)) \end{array}$
で定める。これは $(0, 0)$ 以外では連続である。一方 $(x, y) = (r e^{i α}, s e^{i β}) \neq (0, 0) \in X_{m, n}$ とすると、ここで $r$ 及び $s$ はある $R \in R_{> 0}$ を用いて $r = R^{n}$ 及び $s = R^{m}$ と表せるから、 $g (r e^{i α}, s e^{i β}) = r^{b} s^{a} e^{i (α b + β a)} = R e^{i (α b + β a)}$ は $R \to 0$ で $0$ に収束する。ここで $g$ 及び $f$ はいずれも連続写像であり、一方は他方の逆写像を与えている。以上から $\gcd (m, n)$ であれば、 $X_{m, n}$ は $C$ に同相である。また $m, n$ 及び複素数 $z \neq 0$ について $X_{m, n}^{z} := {(x, y) \in C^{2} | x^{m} = z y^{n}}$ は $X_{m, n}$ と同相な位相多様体になる。よって特に互いに素な $m, n$ 及び任意の複素数 $z \neq 0$ について $X_{m, n}^{z}$ は $C$ に同相になる。
次に $d := \gcd (m, n) \neq 1$ とする。ここで $1$ の原始 $d$ -乗根を $ζ$ とおくと、 $X_{m, n} = ⋃_{i = 0}^{d - 1} Y_{i} = ⋃_{i = 0}^{d - 1} X_{\frac{m}{d}, \frac{n}{d}}^{ζ^{i}}$ である。ここで $Y_{i}$ のうちどの二つをとっても $(0, 0)$ 以外の共通部分を持たず、また $Y_{i}$ たちは $(0, 0)$ で交わっている。ここで $X_{m, n}$ が位相多様体であったとすると、 $(0, 0)$ の近傍を持ち、特に $Y_{0}$ 上の $(0, 0)$ 以外の点から $Y_{1}$ の $(0, 0)$ 以外の点まで $(0, 0)$ を経由しない曲線が引けるが、これは $Y_{i}$ たちが $(0, 0)$ 以外で交わらないことに矛盾する。よってこのとき $X_{m, n}$ は位相多様体ではない。
(1)の後半の議論から $X_{m, n} ∖ {(0, 0)} = ⋃_{i = 0}^{\gcd (m, n) - 1} Y_{i} ∖ {(0, 0)}$ であり、前半の議論から $Y_{i} ∖ {(0, 0)}$ は $C^{\times}$ に同相である。また $C^{\times}$ は $1$ 次元球面 $S^{1}$ にホモトピー同値であるから、求めたいホモロジー群は $S^{1}$ の $\gcd (m, n)$ 個の非交和のホモロジー群に等しい。以上から
$H_{*} (Y, Z) = {\begin{cases} Z^{\gcd (m, n)} & (* = 0, 1) \\ 0 & (* \neq 0, 1) \end{cases}$
がわかる。

投稿日：2023年10月8日

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藍色日和

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