ポアソン分布の期待値と分散は等しい

$X$は非負整数値であるから、期待値が定義されるとき
$$ \mathbb E[X]=\sum_{k=0}^\infty k\,\mathbb P(X=k) $$
で与えられる。(以下では右辺が有限であることも同時に示す) 定義を代入すると
$$ \begin{align} \mathbb E[X] &=\sum_{k=0}^\infty k\,e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\\ &=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^\infty k\,\frac{\lambda^k}{k!} \because k=0\ \text{の項は}\ 0.\\ &=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-1)!} \because \frac{k}{k!}=\frac{1}{(k-1)!}.\\ &=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^\infty \lambda\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \because \lambda^k=\lambda\cdot\lambda^{k-1}.\\ &=\lambda e^{-\lambda}\sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^{j}}{j!} \because j=k-1\ \text{とおく}.\\ &=\lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} \because e^{\lambda}=\sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^{j}}{j!}.\\ &=\lambda \end{align} $$
$\sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^{j}}{j!}=e^\lambda<\infty$より、上の計算の途中で現れた級数は収束しており、従って$\mathbb E[X]$は有限実数として定義される。
以上より$\mathbb E[X]=\lambda$が成り立つ。
$$ \Box$$

まず$X$は非負整数値であるから$X^2\ge0$であり、期待値が定義されるとき
$$ \mathbb E[X]=\sum_{k=0}^\infty k\,\mathbb P(X=k),\qquad \mathbb E[X^2]=\sum_{k=0}^\infty k^2\,\mathbb P(X=k) $$
で与えられる。以下では$\mathbb E[X]$と$\mathbb E[X^2]$が有限であることも同時に示す。
既に示した、
$$ \mathbb E[X]=\lambda $$
が成り立つことを用いる。分散公式
$$ \mathbb V(X)=\mathbb E[X^2]-\mathbb E[X]^2 $$
より、残る$\mathbb E[X^2]$を求めればよい。
恒等式$X^2=X(X-1)+X$を用いると
$$ \mathbb E[X^2]=\mathbb E[X(X-1)]+\mathbb E[X] $$
が成り立つ。従って$\mathbb E[X(X-1)]$を求める。
定義より
$$ \mathbb E[X(X-1)] =\sum_{k=0}^\infty k(k-1)\,e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} $$
である。$k=0,1$の項は$0$なので
$$ \mathbb E[X(X-1)] =e^{-\lambda}\sum_{k=2}^\infty k(k-1)\frac{\lambda^k}{k!} $$
となる。ここで
$$ \frac{k(k-1)}{k!}=\frac{1}{(k-2)!} $$
より
$$ \begin{align} \mathbb E[X(X-1)] &=e^{-\lambda}\sum_{k=2}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-2)!}\\ &=e^{-\lambda}\sum_{k=2}^\infty \lambda^2\frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!} \because \lambda^k=\lambda^2\cdot\lambda^{k-2}\\ &=\lambda^2 e^{-\lambda}\sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^{j}}{j!} \because j=k-2\ \text{とおく}.\\ &=\lambda^2 e^{-\lambda}e^{\lambda} \because e^{\lambda}=\sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^j}{j!}\\ &=\lambda^2 \end{align} $$
従って
$$ \mathbb E[X^2]=\mathbb E[X(X-1)]+\mathbb E[X]=\lambda^2+\lambda $$
である。また途中で現れた級数$\sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^j}{j!}=e^\lambda<\infty$より、$\mathbb E[X(X-1)]$および$\mathbb E[X^2]$は有限であり、
従って$\mathbb V(X)$は有限実数として定義される。
$ $
以上より
$$ \mathbb V(X)=\mathbb E[X^2]-\mathbb E[X]^2=(\lambda^2+\lambda)-\lambda^2=\lambda $$
が従う。
$$ \Box$$