なぜ集合と写像の圏では単射の双対は全射になってしまうのか

$g \circ f$が全射であるとき、任意の$c \in C$に対しある$a \in A$が存在して、$c = g(f(a))$が成立。
よって、任意の$c \in C$に対し、ある$b \in B$が存在して、$c = g(b)$が成り立つ。これは$g$が全射であることを示している。

まず、coverならば全射であることを示す。$c\colon X \to Y$がcoverであるとき、$c = X \overset{c'}{\to} c(X) \overset{i}{\hookrightarrow} Y$と分解したときに、
coverの定義より$c(X) \overset{i}{\hookrightarrow} Y$は同型射でなければならず、これは$c(X) = Y$で$i = 1_Y$であることを意味する。
次に全射ならばcoverであることを示す。$c\colon X \to Y$が全射であるとき、$c = m \circ c'$と任意に分解して、$m$がmonic（則ち単射）だと仮定する。
このとき$m\circ c'$が全射ならば$m$も全射であるから、$m$は全射かつ単射、則ち全単射ということになる。したがって$m$は同型射であるから、$c$はcoverの定義を満たす。
（集合と写像の圏では全単射が同型射という事実は既知とさせてもらう。）

$(\Longrightarrow)$
$f = f \circ 1_A$という分解を考えると、$f$はmonicであるから、coverの定義より同型射でなければならない。
$(\Longleftarrow)$
まず$f$がcoverであることを示す。$f$の任意の分解
$$ f = A \overset{f'}{\to} B' \overset{m}{\to} B $$
を与えて、$m$はmonicだと仮定する。
$f$は同型射なので、$f$の逆射を後ろから合成して
$$ 1_B = m \circ f' \circ f^{-1} $$
が成立する。また、
$$ m\circ f' \circ f^{-1} \circ m = f \circ f^{-1} \circ m = m = m \circ 1_{B'} $$
であるから、$m$がmonicであることより
$$ f' \circ f^{-1}\circ m = 1_{B'} $$
が従う。よって$m$は$f'\circ f^{-1}$の逆射であるから、$m$は同型射である。
したがって$f$はcoverの定義を満たす。

$f’\circ f^{-1} \circ m = 1_{B’}$
次に、$f$がmonicであることを示す。任意の射$x,y$を取り、$f \circ x = f \circ y$が成り立つとする。
$f$の逆射$f^{-1}$を後ろから合成すれば、$x = y$が従う。よって$f$はmonicである。
以上より、$f$はmonicかつcoverである。

$(E,e)$を$x,y $のイコライザとする。このとき$f,g \colon X \to E$を任意に取り、$e \circ f = e \circ g$が成り立つと仮定すると、
$x \circ e \circ f = y \circ e \circ f,x \circ e \circ g = y \circ e \circ g$が成り立つので、イコライザの普遍性より$f = g$。これにより$e$はmonicの定義を満たす。
イコライザの射影はmonic

単射の定義より、任意の$x,x'$に対し、$x \neq x'$ならば$(g \circ f)(x) \neq (g \circ f)(x')$。
写像のwell-defined性の対偶より、$g(f(x)) \neq g(f(x'))$ならば$f(x) \neq f(x')$。
よって、任意の$x,x'$に対し、$x \neq x'$ならば$f(x) \neq f(x')$。

仮定より$i \circ m'$は単射なので、$m'$は単射。また値域の定義より、任意の$a \in m(M)$に対し、ある$x \in M$で$i(a) = i(m'(x))$を満たすものが存在する。
包含写像は単射なので、$a = m'(x)$が従い、よって$m'$は全射である。以上より、$m'$は単射かつ全射である。

$M = \emptyset$の場合、$(M,m)$は空集合と空写像$\emptyset \to A$の組である。$\chi_{\emptyset}(a) = 0(\forall a \in A)$であるから、
$\chi_\emptyset \circ f = c_1 \circ f$を満たす$f$は空写像$\emptyset \to A$しかあり得ない。
このとき$\overline{f}\colon \emptyset \to M$として空写像上の恒等写像が一意的に存在し、
$f= m\circ \overline{f}$が成り立つので、$(M,m)$はイコライザの定義を満たす。
$M \neq \emptyset$の場合を考える。
写像$f\colon X \to A$を任意に取り、$f$が$\chi_{m(M)} \circ f = c_1 \circ f$を満たすと仮定する。
このとき$\chi_{m(M)}(f(X)) = c_1(f(X)) = \{1\}$が成り立つから、順像と逆像の関係より$f(X) \subseteq \chi_{m(M)}^{-1}\{1\}$、よって$f(X) \subseteq m(M)$である。
図8のように$f = i \circ j \circ f'$と分解する。いま$m' \colon M \to m(M)$は全単射であるから、写像$m'^{-1}\circ j \circ f' \colon X \to M$が存在して、$m\circ m'^{-1}\circ j \circ f' = f$を満たす。
一意性は$m$がmonicであることから従い、したがって$(m,M)$は確かに$\chi_{m(M)}$と$c_1$のイコライザである。
任意の単射は特性関数と定数関数のイコライザ

$(\Longrightarrow)$ $f = g$より、$f \circ 1_A = g \circ 1_A$であるから、イコライザの普遍性より一意的な射$\eta \colon A \to E$が存在して$e\circ \eta = 1_A$が成立。
よって$e\circ \eta \circ e = e = e \circ 1_E$が成り立つが、イコライザの普遍性より$\eta \circ e = 1_E$でなければならない。
よって$\eta = e^{-1}$で、$e$は同型射である。
相等しい射のイコライザの射影は同型射
$(\Longleftarrow)$ $e$が同型射であるとき、$f\circ e = g \circ e$より$f = g$。

$c\colon A \to B$を任意のcoverとする。射$x,y \colon B \to C$を任意に取り、
$x \circ c = y \circ c$と仮定する。イコライザを持つ圏ならば$x,y$のイコライザが存在するので、
それを$(E,e)$とすると、普遍性より$c = e \circ c'$を満たす$c'\colon A \to E$が一意に存在する。
$e$はイコライザの射影であるからmonicなので、coverの定義より$e$は同型射でなければならない。
これは$x=y$と同値であるから、$x \circ c = y \circ c$ならば$x = y$。よって$c$はepic。
イコライザがあれば任意のcoverはepic

$e \colon X \to Y$を任意のepicとする。$e = m \circ e'$と任意に分解し、$m$はmonicだとする。
このとき、仮定から$m$は正則monicであり、ある$f,g\colon Y \to Z$に対し$f\circ m = g \circ m$が成り立つ。
すると$f \circ m \circ e' = g \circ m \circ e'$であるから、$f \circ e = g \circ e$が成り立つ。$e$はepicなので$f = g$が従うが、これは$m$が同型射であることを示している。
よって$e$はcoverである。
任意のmonicが正則ならばepicはcover