通常,太鼓は円形の膜を持つことが多い.
では,太鼓の直径を変えずに円形の太鼓を細長い楕円形に潰していくと,太鼓の音はどのように変わるのだろうか?
潰れた太鼓
太鼓の直径を保ちながら潰すと,膜の面積が小さくなるため,太鼓の音が高くなると予想される.これは,一般に小さな太鼓は「トントン」と高い音を出すのに対し,大きな和太鼓は「ドンドン」と低い音を出すため,直感的に理解しやすい.
では,この「音が高くなる現象」を数学的に定量化できるだろうか?
太鼓の音は振動モードに対応しており,それぞれの振動モードは太鼓の膜に関連するラプラシアンのディリクレ固有値によって表される.
ラプラシアンのディリクレ固有値問題は,有界領域
ここで
ラプラシアン
これらの固有値は,太鼓の基音や倍音に対応している.最も小さい固有値
楕円領域のディリクレ固有値を厳密に扱うのは困難であるため、まずは長方形領域におけるラプラシアンのディリクレ固有値問題を考える。特に、幅1、高さ
幅
この問題の第一固有値(最も小さい固有値)は、次の式で与えられる:
この式は、
領域の高さ
ここで
この結果から、領域が潰れると第一固有値が非常に大きくなり、音が鋭く高くなることがわかる。
三角形の太鼓
三角形領域
区間
Ourmières-Bonafos[1]は,三角形領域
ここで,
の固有値である.
漸近展開の第一項目
(工事中)