全行列環の行列単位とその一般の環への拡張
はじめに
1年生の頃に勉強した岩永佐藤「環と加群のホモロジー代数的理論」iwanagasatouの復習をしたのでメモとして残しておくために書きました. 一般の環における行列単位についてです.
本記事では環$R$は可換とは限らない, 単位的環として単位元は1で表します.
全行列環
$R$を環としたとき$R$の元を成分とした$n\times n$行列全体の集合
\begin{align*}
(R)_n:=\{[a_{ij}]_{1\leq i,j\leq n}\mid a_{ij}\in R\}
\end{align*}
に行列としての和と積を定めることで$(R)_n$は環になる. これを$R$上の$n$次全行列環(full matrix ring)という.
行列の成分表示の括弧は$[\quad ]$を用いることとします. 全行列環において単位元は$n\times n$単位行列$I_n$です. $1\leq i,j\leq n$に対して$E_{ij}\in (R)_n$を$(i,j)$-成分のみが1で他の成分が0であるようなものと定めます. このとき次が成り立ちます.
$1\leq i,j,k,l\leq n$に対して次が成り立つ.
\begin{align*}
E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il},\quad \sum_{i=1}^nE_{ii}=I_n
\end{align*}
(ただし$\delta_{ij}$はKroneckerのデルタ)
成立は計算すれば分かるので証明は省略します. このような$E_{ij}$は行列単位と呼ばれます. この特徴を踏まえて一般の環への拡張を考えてみます.
環における行列単位
前節でみた全行列環の行列単位を一般の環に拡張したものを考えてみます.
環$R$の元$e_{ij}\;(1\leq i,j,\leq n)$は次の条件を満たすとき行列単位(matrix unit)という.
\begin{align*}
e_{ij}e_{kl}=\delta_{jk}e_{il},\quad \sum_{i=1}^ne_{ii}=1
\end{align*}
当然, 全行列環において$E_{ij}$は行列単位です. 定義から行列単位$e_{ij}$は$i\neq j$のとき冪零元, $i=j$のとき冪等元であることが分かります.
$V$を体$K$上の$n$次元ベクトル空間とします. このとき$V$から$V$への$K$-線形写像全体$\End_K(V)$は和と合成に関して環になる. これを$K $-自己準同型環(endomorphism ring)という. $V$の基底を$B=\{b_1,b_2,\ldots ,b_n\}$として一つ固定する. このとき$e_{ij}\in \End_K(V)$を
\begin{align*}
e_{ij}\colon b_k\longmapsto \begin{cases}
b_i &(k=j)\\
0 &(k\neq j)
\end{cases}
\end{align*}
で定めると$e_{ij}$は行列単位となる. 実際に計算して確かめてみると次のようになる.
\begin{align*}
e_{ij}e_{kl}\colon b_m &\mapsto \begin{cases}
e_{ij}b_k &(m=l) \\
0 &(\text{otherwise})
\end{cases}
=
\begin{cases}
b_i &(\text{$m=l$かつ$k=j$}) \\
0 &(\text{otherwise})
\end{cases}
=
\begin{cases}
\delta_{kj}b_i &(m=l) \\
0 &(\text{otherwise})
\end{cases} \\
\left(\sum_{k=1}^ne_{kk}\right)b_i&=\sum_{k=1}^ne_{kk}b_i=b_i
\end{align*}
環と全行列環の同一視
行列単位をもつような環は次のように全行列環と同一視できます.
環$R$が行列単位$e_{ij}$を持つとする. このとき
\begin{align*}
C=\{r\in R\mid re_{ij}=e_{ij}r\:\:(1\leq i,j\leq n)\}
\end{align*}
とすると$R\cong (C)_n$である.
$a\in R$に対し$\displaystyle a_{ij}:=\sum_{k=1}^ne_{ki}ae_{jk}$と定めると$a_{ij}\in C$である. 実際, $1\leq l,m\leq n$に対し
\begin{align*}
a_{ij}e_{lm} &= \left(\sum_{k=1}^ne_{ki}ae_{jk}\right)e_{lm}
= \sum_{k=1}^ne_{ki}ae_{jk}e_{lm}
= e_{li}ae_{jm} \\
e_{lm}a_{ij} &= e_{lm}\left(\sum_{k=1}^ne_{ki}ae_{jk}\right)
= \sum_{k=1}^ne_{lm}e_{ki}ae_{jk}
= e_{li}ae_{jm}
\end{align*}
よって$a_{ij}e_{lm}=e_{lm}a_{ij}$. この$a_{ij}$を用いて写像$\varphi\colon R\to (C)_n$を$\varphi(a)=[a_{ij}]$と定めると$\varphi$が準同型写像であることを示す. $a,b\in R$とする.
\begin{align*}
\varphi(a)+\varphi(b)&= [a_{ij}+b_{ij}] =
\left[\sum_{k=1}^ne_{ki}(a+b)e_{jk}\right]=\varphi(a+b) \\
\varphi(a)\varphi(b)&= \left[\sum_{j=1}^na_{ij}b_{jl}\right] = \left[\sum_{j=1}^n\left(\sum_{m=1}^ne_{mi}ae_{jm}\right)\left(\sum_{h=1}^ne_{hj}be_{lh}\right)\right] \\
&= \left[\sum_{j=1}^n\sum_{m=1}^n(e_{mi}ae_{jm}e_{mj}be_{lm})\right] \quad(\because m\neq h\text{のとき}e_{jm}e_{hj}=0) \\
&= \left[\sum_{m=1}^n\left(e_{mi}a\left(\sum_{j=1}^ne_{jj}\right)be_{lm}\right)\right]=\varphi(ab) \\
\varphi(1_R)&=[(1_R)_{ij}]=\left[\sum_{k=1}^ne_{ki}e_{jk}\right]=\left[\sum_{k=1}^n\delta_{ij}e_{kk}\right]=I_n
\end{align*}
よって$\varphi$は準同型写像である.
さらに$\ker\varphi=\{0\}$なので$\varphi$は単射. 全射性について任意の$(c_{ij})\in (C)_n$に対して$c=\sum_{p,q}c_{pq}e_{pq}$によって
\begin{align*}
\varphi(c)=\left[\sum_{k=1}^n\sum_{p,q=1}^ne_{ki}(c_{pq}e_{pq})e_{jk}\right]=\left[\sum_{k=1}^n\sum_{p,q=1}^nc_{pq}e_{ki}e_{pq}e_{jk}\right]=\left[\sum_{k=1}^nc_{ij}e_{kk}\right]=(c_{ij})
\end{align*}
となるので$\varphi$は全射でもある. よって$\varphi$が環同型$R\cong (C)_n$を与える.
またこの事実から次のことも分かります.
環準同型$\varphi\colon (C)_n\to T$があるとき, $T$は全行列環と同一視できる.
prop:fstより$T$が行列単位を持つことを示せばよい. $(C)_n$は行列単位$E_{ij}$を持つ. このとき, ある$E_{ij}$で$\varphi(E_{ij})$となったと仮定すると
\begin{align*}
1=\varphi\left(\sum_{k=1}^ne_{kk}\right)=\sum_{k=1}^n\varphi(e_{ki}e_{ij}e_{jk})=0
\end{align*}
となり矛盾する. よって$T$が行列単位$\varphi(E_{ij})$を持つことが示された.
