x^4-2=0のガロア群を求めてみる

こんにちは. ガロア理論の試験が近いので, ガロア群を求めてみました. めちゃくちゃ丁寧に書きました.

$[F:\mathbb{Q}]$を求める

まず, $\sqrt[4]{2}$の$\mathbb{Q}$上最小多項式は
$x^4-2=(x-\sqrt[4]{2})(x-\sqrt{-1}\sqrt[4]{2})(x+\sqrt[4]{2})(x+\sqrt{-1}\sqrt[4]{2})$
なので, $F=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},\sqrt{-1})=(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}))(\sqrt{-1})$となる.
明らかに$\sqrt{-1}\notin \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$より$\sqrt{-1}$の$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$上最小多項式は$x^2+1$なので$[F:\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})]=2$.
また$[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}):\mathbb{Q}]=4$だから, $[F:\mathbb{Q}]=8$である.
実際には$F$は例えば$1,\sqrt[4]{2},\sqrt{2},\sqrt[4]{8}$とその$\sqrt{-1}$倍の8つの元を$\mathbb{Q}$上基底とする.

$\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})$の元を決定する

$\sigma \in \mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})$とする.$\sigma$は上の$x^4-2$の4根の置換を引き起こす.
ここで$F=(\mathbb{Q}(\sqrt{-1}))(\sqrt[4]{2})$とみて, $\sigma {|}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-1})}$が$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{-1})/\mathbb{Q})=\{\mathrm{id},\rho \}$のどちらの元であるかで場合分けする. ただし$\rho$は複素共役をとる作用である.（$\mathbb{Q}(\sqrt{-1})/\mathbb{Q}$はガロア拡大, 特に正規拡大なので$\sigma {|}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-1})}\in \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{-1})/\mathbb{Q})$となる.）

(1)$\sigma {|}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-1})}=\mathrm{id}$のとき

$\sigma (\sqrt{-1})=\sqrt{-1}$より, $\sigma (\sqrt[4]{2})$が決まれば$\sigma$は決定するが, これは4つの可能性しかない.

(2)$\sigma {|}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-1})}=\rho$のとき

同様に, $\sigma (\sqrt[4]{2})$が決まれば$\sigma$は決定するが, 4つの可能性しかない.

以上により, $\sigma$として考えられるのは上の8つの可能性に限られる（この時点では8つ全て存在するかはわからない）が, $\mathrm{\#}\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})=[F:\mathbb{Q}]=8$であったので, この8つは全て$F$の$\mathbb{Q}$同型として存在することがわかる.

$\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})$の群構造を調べる

$x^4-2$の根を${\alpha }_1=\sqrt[4]{2},{\alpha }_2=\sqrt{-1}\sqrt[4]{2},{\alpha }_3=-\sqrt[4]{2},{\alpha }_4=-\sqrt{-1}\sqrt[4]{2}$とおいて, これらの添字の置換とみて$\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})\subset {\mathfrak{S}}_4$の構造を調べる.

上の$\sigma$の一例として, 以下のような元$\sigma ,\tau \in \mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})$をとる.
$\begin{array}{rlrl}& \sigma (\sqrt{-1})=\sqrt{-1},& & \sigma (\sqrt[4]{2})=\sqrt{-1}\sqrt[4]{2}\\ & \tau (\sqrt{-1})=-\sqrt{-1},& & \tau (\sqrt[4]{2})=\sqrt[4]{2}\end{array}$

$\sigma$は${\alpha }_1\to {\alpha }_2\to {\alpha }_3\to {\alpha }_4\to {\alpha }_1$と送るので${\mathfrak{S}}_4$では巡回置換$(2341)$であり, ${\sigma }^4=1$を満たす.
$\tau$は${\alpha }_2\leftrightarrow {\alpha }_4$と送るので${\mathfrak{S}}_4$では互換$(24)$であり, ${\tau }^2=1$を満たす.

さらに$\tau \sigma {\tau }^{-1}={\sigma }^{-1}$という関係式が成り立つ（各根を順に送ってみればよい）ので, $\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})\cong \{\sigma ,\tau |{\sigma }^4={\tau }^2=1,\tau \sigma {\tau }^{-1}={\sigma }^{-1}\}=D_4$と, 二面体群になる.

$\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})$の部分群を全て求める

$D_4=\{{\sigma }^m{\tau }^n|m\in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z},\tau \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\}$であり,$\tau \sigma ={\sigma }^{-1}\tau$より$({\sigma }^m{\tau }^n{)}^2={\sigma }^{m+(-1{)}^{n}m}$となることを用いて気合いで計算していく.

位数2の部分群

位数2の元を求めれば良い. 上の計算公式から$({\sigma }^m{\tau }^n{)}^2=1$となるのは$n=1$または$n=0,m=2$であることがわかるので, $⟨\tau ⟩,⟨\sigma \tau ⟩,⟨{\sigma }^2\tau ⟩,⟨{\sigma }^3\tau ⟩,⟨{\sigma }^2⟩$ の5つである.

位数4の部分群

$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$と同型なもの

生成元を2乗すると位数2の元になる. 計算公式からこのようなものは$⟨\sigma ⟩$しかない.

$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^2$と同型なもの

生成元は位数2の元2つであり, 生成して全体にならないような組み合わせを探すことで$⟨{\sigma }^2,\tau ⟩,⟨{\sigma }^2,\sigma \tau ⟩$となる.

これらの部分群の包含関係は, 下図のようになる.

$\text{(位数)}8D_{4}4⟨{\sigma }^2,\tau ⟩⟨\sigma ⟩⟨{\sigma }^2,\sigma \tau ⟩2⟨\tau ⟩⟨{\sigma }^2\tau ⟩⟨{\sigma }^2⟩⟨\sigma \tau ⟩⟨{\sigma }^3\tau ⟩1\{1\}$

対応する不変体を求める

$\begin{array}{rlrl}& \sigma (\sqrt{-1})=\sqrt{-1},& & \sigma (\sqrt[4]{2})=\sqrt{-1}\sqrt[4]{2}\\ & \tau (\sqrt{-1})=-\sqrt{-1},& & \tau (\sqrt[4]{2})=\sqrt[4]{2}\end{array}$
であったこと, $F$の$\mathbb{Q}$上基底は$1,\sqrt[4]{2},\sqrt{2},\sqrt[4]{8}$とその$\sqrt{-1}$倍ととれることに注意する.

$⟨\sigma ⟩$の不変体

$\mathrm{\#}⟨\sigma ⟩=4$なのでこの不変体$M$の$\mathbb{Q}$からの拡大次数は$2$である.$\sqrt{-1}$は$\sigma$により不変なので, $M=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$である. （実際, 拡大次数が$2$となっている.）

$⟨{\sigma }^2,\tau ⟩$の不変体

${\sigma }^2,\tau$は${\sigma }^2(\sqrt{2})={\sigma }^2(\sqrt[4]{2}{)}^2=(-\sqrt[4]{2}{)}^2=\sqrt{2}$などの計算により$\sqrt{2}$を動かさないことがわかるので, 拡大次数が$2$であることも併せて, $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$である.

$⟨{\sigma }^2,\sigma \tau ⟩$の不変体

$\begin{array}{rlrl}& {\sigma }^2(\sqrt{-1})=\sqrt{-1},& & {\sigma }^2(\sqrt[4]{2})=-\sqrt[4]{2}\\ & \sigma \tau (\sqrt{-1})=-\sqrt{-1},& & \sigma \tau (\sqrt[4]{2})=\sqrt{-1}\sqrt[4]{2}\end{array}$
より, $\sqrt{-2}$は${\sigma }^2,\sigma \tau$により不変なので, 拡大次数も考慮して, $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$である.

$⟨{\sigma }^2⟩$の不変体

これ以降は位数$2$の部分群, 即ち不変体の拡大次数は$4$である.
${\sigma }^2(\sqrt{-1})=\sqrt{-1},{\sigma }^2(\sqrt[4]{2})=-\sqrt[4]{2}$
なので, $\sqrt{-1},\sqrt{2}$は${\sigma }^2$により不変だから, $\mathbb{Q}(\sqrt{-1},\sqrt{2})$である. （実際, 拡大次数が$4$になっている.）

$⟨\tau ⟩$の不変体

$\tau (\sqrt{-1})=-\sqrt{-1},\tau (\sqrt[4]{2})=\sqrt[4]{2}$
なので, $\sqrt[4]{2}$は$\tau$により不変で, 拡大次数も考慮して$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$である.

$⟨{\sigma }^2\tau ⟩$の不変体

${\sigma }^2\tau (\sqrt{-1})=-\sqrt{-1},{\sigma }^2\tau (\sqrt[4]{2})=-\sqrt[4]{2}$
なので, $\sqrt{-1}\sqrt[4]{2}$は$\tau$により不変で, 拡大次数も考慮して$\mathbb{Q}(\sqrt{-1}\sqrt[4]{2})$である.

$⟨\sigma \tau ⟩$の不変体

$\sigma \tau (\sqrt{-1})=-\sqrt{-1},\sigma \tau (\sqrt[4]{2})=\sqrt{-1}\sqrt[4]{2}$
なので, 簡単には不変な元が見つからないが, $\sigma \tau (\sqrt{-1}\sqrt[4]{2})=\sqrt[4]{2}$なので, $\sqrt[4]{2}$と$\sqrt{-1}\sqrt[4]{2}$は$\sigma \tau$で入れ替わる, 従ってこれらの和$(1+\sqrt{-1})\sqrt[4]{2}$は$\sigma \tau$で不変である. さらにこれを$(1+\sqrt{-1})\sqrt[4]{2}=\frac{1+\sqrt{-1}}{\sqrt{2}}\sqrt[4]{8}=\sqrt[4]{-8}$と書くことで, $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{-8})$は拡大次数$4$であり求める不変体だとわかる.

$⟨{\sigma }^3\tau ⟩$の不変体

${\sigma }^3\tau (\sqrt{-1})=-\sqrt{-1},{\sigma }^3\tau (\sqrt[4]{2})=-\sqrt{-1}\sqrt[4]{2}$
なので, $(1-\sqrt{-1})\sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{-2}$は$\sigma \tau$で不変である. 拡大次数も考慮して, $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{-2})$が求める不変体である.

中間体の図を描く

以上より, 各部分群に対応する中間体は以下のようになる.

$\text{(位数)}8D_{4}4⟨{\sigma }^2,\tau ⟩⟨\sigma ⟩⟨{\sigma }^2,\sigma \tau ⟩2⟨\tau ⟩⟨{\sigma }^2\tau ⟩⟨{\sigma }^2⟩⟨\sigma \tau ⟩⟨{\sigma }^3\tau ⟩1\{1\}$

$\text{(拡大次数)}1\mathbb{Q}2\mathbb{Q}(\sqrt{2})\mathbb{Q}(\sqrt{-1})\mathbb{Q}(\sqrt{-2})4\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})\mathbb{Q}(\sqrt{-1}\sqrt[4]{2})\mathbb{Q}(\sqrt{-1},\sqrt{2})\mathbb{Q}(\sqrt[4]{-8})\mathbb{Q}(\sqrt[4]{-2})8F$

ちなみに$D_4$の正規部分群は$⟨\sigma ⟩,⟨{\sigma }^2,\tau ⟩,⟨{\sigma }^2,\sigma \tau ⟩,⟨{\sigma }^2⟩$なので, $M/\mathbb{Q}$がガロア拡大となる中間体$M$は, $\mathbb{Q}(\sqrt{-1}),\mathbb{Q}(\sqrt{2}),\mathbb{Q}(\sqrt{-2}),\mathbb{Q}(\sqrt{-1},\sqrt{2})$の4つである.

おわりに

お疲れ様でした！