準素分解不可能なイデアルが存在して、任意の素イデアルで局所化したらネーター環だが元はネーター環にならない例
準素分解不可能なイデアルが存在して、任意の素イデアルで局所化したらネーター環だが元はネーター環にならない例
まぁまぁ面白く、それでかつそんなに病的でもない例を思いついたので書きます。使う定理はアティマクのアルティン環くらいまでですが、特に知らなくても行けます。まず、ブール環を定義します。
環$A$が、$\forall x\in$$A$に対して、$x^{2}$=$x$を満たすとき$A$をブール環という。
ごちゃごちゃ式変形をするとブール環は可換環になることが証明できますが、めんどくさいのでなしで。
ブール環の性質その１
すべての素イデアル$\mathfrak{p}$は極大イデアルとなる。また、$A$を剰余して得られる剰余体はすべて$ \mathbb{F}_2$となる。
$\mathfrak{p}$を素イデアルとする。$\bar{0}$$\neq$$\bar{x}\in$$A/\mathfrak{p}$とする。$A$がブール環より、$\bar{x}^{2}$=$\bar{x}$となり、$\bar{0}$$=$$\bar{x}(\bar{1}-\bar{x})$、$A/\mathfrak{p}$は整域より$\bar{1}-\bar{x}$$=$$\bar{0}$より$\bar{1}$=$\bar{x}$となり、$A/\mathfrak{p}$は体となる。後半は証明より明らか。
ブール環の性質その２
ブール環$A$のジャコブソン根基は$0$である。もっといえば冪零元根基も$0$
ブール環$A$のジャコブソン根基を$\mathfrak{R}$とする。$x\in$$\mathfrak{R}$とすると、$x^{2}$=$x$より、$x(1-x)$=$0$ ジャコブソン根基の性質より1-$x$は単元になる。よって$x$=$0$となる。
これらを使っていろいろやる。まず使う定理を述べておく。
$\text{互いに素なイデアル } I_1,\ldots,I_n \text{ に対して} \qquad A\big/\bigcap_{i=1}^n I_i \cong \prod_{i=1}^n A/I_i.$
準素分解不可能なイデアルの具体例
$A$を濃度無限のブール環とする。（$\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{F}_2$とか)これの零イデアルは準素分解不可能である。
$0$=$ Q_1 \cap \cdots \cap Q_n, \qquad \sqrt{Q_i} = \mathfrak{p}_i$(各$\sqrt{Q_i} $は準素イデアル)と分解されたと仮定する。$\qquad \sqrt{0}$は性質その２より$0$となる。また性質その１より$\mathfrak{p}_i$は極大イデアルとなる。これより、$0$=$\mathfrak{p}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{p}_n$となる。性質その１より各$\mathfrak{p}_i$は極大イデアル。これより、異なる$i$と$j$で$\mathfrak{p}_i$と$\mathfrak{p}_j$は互いに素。中国人剰余定理から、$A$$\cong$$\prod_{i=1}^n A/\mathfrak{p}_i$となる。性質１より、各$A/\mathfrak{p}_i$は$ \mathbb{F}_2$なので右辺の濃度は$2^{n}$となるが、$A$の濃度は無限より矛盾。
意外に身近なところに準素分解不可能なイデアルはあった。（ネーター環のイデアルはすべて準素分解可能だから一般的にはあまり出てこない）
任意の素イデアルで局所化したらネーター環だが元はネーター環にならない例
これまた濃度無限のブール環なのだがいろいろと準備がいる。
$A$を環とし、$S$を積閉集合、$I$を$A$のイデアルとする。
$\sqrt{I_S}=(\sqrt{I})_S$
$A$をブール環、$\mathfrak{m}$を$A$の極大イデアルとすると、$A_\mathfrak{m}$は体
$\mathfrak{m}$を極大イデアルとして、性質その２から、$\sqrt{0}$=$0$
補題３より$(\sqrt{0})_\mathfrak{m}$=$\sqrt{0_\mathfrak{m}}$
$\sqrt{0}$=$0$から、$(\sqrt{0})_\mathfrak{m}$=$0$これより、$\sqrt{0_\mathfrak{m}}$=$0$よって、$A_\mathfrak{m}$の冪零元根基は$0$である。ブール環の性質１と対応定理から、$A_\mathfrak{m}$は素イデアルが一つの環となり、冪零元根基は$0$より、$A_\mathfrak{m}$は体となる。
ブール環が絶対平坦環であることからも従いますが、このことは気が向いたら書こうとおもいます。
$A$をブール環とすると、$A_\mathfrak{m}$はネーター環になる。
$A$をネーター環とすると、$A$の任意のイデアルは準素分解可能である。
これを用いて色々する。
$A$を濃度無限のブール環とする。$A$はネーター環ではない。
$A$をネーター環と仮定する。そうすると、$0$はネーターの定理より準素分解可能となる。しかし、定理２で述べたように$0$は準素分解不可能である。これより矛盾。
系と定理６より、任意の素イデアルで局所化したらネーター環だが元はネーター環にならない環がある
どうやら、ネーター性は局所的性質にならないようですね。その他の例があったら教えてください。
$A$をブール環とする。以下は同値
(1)$A$がネーター環
(2)#$A$=$2^{n}$
(2)ならば(1)は自明
(1)ならば(2)は、定理２の証明を繰り返せばよい
参考文献
[1]Atiyah, M. F. and Macdonald, I. G., Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969
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