文献あり

普遍性についての覚え書き

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圏論を勉強していると，よく「普遍性」という言葉が目に入ってきます．
この「普遍性」というものは非常に重要な概念であるようなのですが，その一方でやや分かりにくいような気がしてしまいます．
そこで，いくつかの例を通じて，普遍性について整理します．

そもそも普遍性とは

Leinsterには，次のような記述があります．

「ある条件を満たすなにがしがただ一つ存在する」という文言は，〔中略〕描写される対象〔中略〕が，それが住んでいる世界の全体〔中略〕とどのように関係しているか述べているので，「普遍性」とよばれる．

自分なりにこの文を解釈します．

普遍性の解釈

$C$ を圏とし， $Ob$ をその対象とする．また， $a, b \in Ob$ に対し， $a$ から $b$ への射全体を $Hom (a, b)$ と書くことにする．
$a \in Ob$ を1つ固定したとき，任意の $b \in Ob$ に対して， $Hom (a, b)$ であって，特殊な性質(これは時と場合による)を満たすものがただ一つしかないのであれば，この $a$ は普遍性を持つということにする．

先ほど引用した文章と照らし合わせると，

固定した $a \in Ob$ が『描写される対象』．
任意の $b \in Ob$ が『それが住んでいる世界の全体』（の代表）．
『ある条件』 $Hom (a, b)$ が『関係』．
と捉えることができます．
この後すぐ登場しますが，実際には『描写される対象』はただ1つの対象からなるとは限りません．しかしながら，その場合でも同じように普遍性を解釈することができそうです．

なぜ「普遍性」という名前なのか

あくまで私の解釈ですが，圏 $C$ における対象 $a$ が普遍性を持っているとき，どの対象 $b$ を持ってきたとしても，この $b$ は $a$ との『関係』を持っていることになります．この意味で $a$ は「普遍的に存在」しているので，普遍性と呼ばれています．多分．

普遍性の例その1 - 直積

集合の圏

Set

全ての集合の集まりを対象，集合間の写像を射とする圏を集合の圏 $Set$ とよぶ．

普遍性の例で最もよく目にするのが，直積の普遍性だと思われます．先ほどの普遍性の解釈と照らし合わせて，よくよく観察してみることにします．

普遍性による直積の定義

$X, Y$ を集合（すなわち $Set$ の対象）とする．集合 $Z$ および $π_{1} \in Hom (Z, X), π_{2} \in Hom (Z, Y)$ からなる3つ組 $(Z, π_{1}, π_{2})$ であって，次の性質：

任意の集合 $A$ および $f_{1} \in Hom (A, X), f_{2} \in Hom (A, Y)$ に対し， $π_{1} \circ h = f_{1}, π_{2} \circ h = f_{2}$ を満たす $h \in Hom (A, Z)$ がただ一つ存在する．

を満たすものを， $X, Y$ の直積とよび， $Z = X \times Y$ と表す．

この性質を直積の普遍性と呼ぶようです．これが本当に普遍性と呼ぶに相応しいものなのか，先ほどの解釈と照らし合わせて確認してみましょう．
まず，この場合における『描写される対象』とは，3つ組 $(Z, π_{1}, π_{2})$ です．したがって，ここからはこの3つ組に注目して話を進めることとなります．
続いて，この対象が『住んでいる世界の全体』とはどこなのかを考えてみます．3つ組を考えているとはいえ，直積のメインは集合 $Z$ ですから，主に考えるべきはやはり $Set$ の対象でしょう． $Set$ の対象全員との関わりを考える必要があるので，普遍性は「任意の集合 $A$ 」という文言からスタートします．
最後に，ここまで来れば『関係』が何なのかは明らかで，これは $Hom (A, Z)$ のことです．この『関係』がただ一つである，ということを普遍性は主張しています．
では，この場合に満たしてほしい「特殊な性質」とは何なのでしょうか．わざわざ直積を3つ組で定義していることからもわかるように，直積においては射影 $π_{1}, π_{2}$ が非常に重要な役割を演じます． $π_{1} \circ h = f_{1}, π_{2} \circ h = f_{2}$ というのは，(おそらく)「射影の整合性」を要求していると考えて良さそうです．
以上のことをまとめると，

$(Z, π_{1}, π_{2})$ が『描写される対象』
任意の集合 $A$ が『それが住んでいる世界の全体』（の代表）
『ある条件』，すなわち射影との整合性が取れる $h : A \to Z$ が $A$ と $Z$ の『関係』

と捉えられます．したがって，この性質は普遍性と呼んで差し支え無さそうです．

普遍性の例その2 - 相対位相

位相空間の圏論

Top

全ての位相空間の集まりを対象，位相空間の間の連続写像を射とする圏を位相空間の圏 $Top$ とよぶ．

この記事を書くきっかけとなったのが，次の定義で躓いたことでした．

普遍性による相対位相の定義

$(X, O_{X})$ を位相空間とし， $Y \subseteq X$ とする．また， $ι : Y \to X$ を包含写像とする．このとき， $Y$ の位相 $O_{Y}$ であって，次の性質：

任意の位相空間 $(Z, O_{Z})$ および任意の写像 $f : Z \to Y$ について，「 $f$ が連続 $⟺$ $ι \circ f$ が連続」が成立する．

を満たすものを， $Y$ の相対位相と呼ぶ．

これも解釈と照らし合わせると，

$O_{Y}$ が『描写される対象』
任意の位相空間 $(Z, O_{Z})$ が『それが住んでいる世界の全体』（の代表）
『ある条件』，すなわち包含写像との整合性が取れる $f : Z \to Y$ が $Z$ と $Y$ の『関係』

と捉えることができます．よってこれも普遍性と呼んで差し支え無さそうです．

まとめ

よくよく観察してみると普遍性とは確かに「普遍性」と呼ばれるに相応しい概念であり，さらに周辺の対象や射との整合性を要求する，非常に強い性質であることがわかりました．
普遍性を用いることにより，集合論や位相空間論，更には代数の様々な概念を特徴付け，統一的に扱うことができるようです．普遍性に恐れずに圏論に挑んでいきたいですね．

圏論については学び始めたばかりであり，認識が曖昧な点が多く，誤った記述が含まれている可能性があります．お気づきの点などございましたらご指摘いただけますと幸いです．