普遍性についての覚え書き

圏論を勉強していると，よく「普遍性」という言葉が目に入ってきます．
この「普遍性」というものは非常に重要な概念であるようなのですが，その一方でやや分かりにくいような気がしてしまいます．
そこで，いくつかの例を通じて，普遍性について整理します．

そもそも普遍性とは

Leinsterには，次のような記述があります．

「ある条件を満たすなにがしがただ一つ存在する」という文言は，〔中略〕描写される対象〔中略〕が，それが住んでいる世界の全体〔中略〕とどのように関係しているか述べているので，「普遍性」とよばれる．

自分なりにこの文を解釈します．

先ほど引用した文章と照らし合わせると，

• 固定した$a \in \mathrm{Ob}$が『描写される対象』．
• 任意の$b \in \mathrm{Ob}$が『それが住んでいる世界の全体』（の代表）．
• 『ある条件』$\mathrm{Hom}(a,\, b)$が『関係』．
  と捉えることができます．
  この後すぐ登場しますが，実際には『描写される対象』はただ1つの対象からなるとは限りません．しかしながら，その場合でも同じように普遍性を解釈することができそうです．

なぜ「普遍性」という名前なのか

あくまで私の解釈ですが，圏$C$における対象$a$が普遍性を持っているとき，どの対象$b$を持ってきたとしても，この$b$は$a$との『関係』を持っていることになります．この意味で$a$は「普遍的に存在」しているので，普遍性と呼ばれています．多分．

普遍性の例その1 - 直積

普遍性の例で最もよく目にするのが，直積の普遍性だと思われます．先ほどの普遍性の解釈と照らし合わせて，よくよく観察してみることにします．

この性質を直積の普遍性と呼ぶようです．これが本当に普遍性と呼ぶに相応しいものなのか，先ほどの解釈と照らし合わせて確認してみましょう．
まず，この場合における『描写される対象』とは，3つ組$(Z,\, \pi_1,\, \pi_2)$です．したがって，ここからはこの3つ組に注目して話を進めることとなります．
続いて，この対象が『住んでいる世界の全体』とはどこなのかを考えてみます．3つ組を考えているとはいえ，直積のメインは集合$Z$ですから，主に考えるべきはやはり$\mathbf{Set}$の対象でしょう．$\mathbf{Set}$の対象全員との関わりを考える必要があるので，普遍性は「任意の集合$A$」という文言からスタートします．
最後に，ここまで来れば『関係』が何なのかは明らかで，これは$\mathrm{Hom}(A,\, Z)$のことです．この『関係』がただ一つである，ということを普遍性は主張しています．
では，この場合に満たしてほしい「特殊な性質」とは何なのでしょうか．わざわざ直積を3つ組で定義していることからもわかるように，直積においては射影$\pi_1,\, \pi_2$が非常に重要な役割を演じます．$\pi_1 \circ h = f_1,\, \pi_2 \circ h = f_2$というのは，(おそらく)「射影の整合性」を要求していると考えて良さそうです．
以上のことをまとめると，

• $(Z,\, \pi_1,\, \pi_2)$が『描写される対象』
• 任意の集合$A$が『それが住んでいる世界の全体』（の代表）
• 『ある条件』，すなわち射影との整合性が取れる$h : A \to Z$が$A$と$Z$の『関係』

と捉えられます．したがって，この性質は普遍性と呼んで差し支え無さそうです．

普遍性の例その2 - 相対位相

この記事を書くきっかけとなったのが，次の定義で躓いたことでした．

これも解釈と照らし合わせると，

• $\mathcal{O}_Y$が『描写される対象』
• 任意の位相空間$(Z,\, \mathcal{O}_Z)$が『それが住んでいる世界の全体』（の代表）
• 『ある条件』，すなわち包含写像との整合性が取れる$f : Z \to Y$が$Z$と$Y$の『関係』

と捉えることができます．よってこれも普遍性と呼んで差し支え無さそうです．

まとめ

よくよく観察してみると普遍性とは確かに「普遍性」と呼ばれるに相応しい概念であり，さらに周辺の対象や射との整合性を要求する，非常に強い性質であることがわかりました．
普遍性を用いることにより，集合論や位相空間論，更には代数の様々な概念を特徴付け，統一的に扱うことができるようです．普遍性に恐れずに圏論に挑んでいきたいですね．

圏論については学び始めたばかりであり，認識が曖昧な点が多く，誤った記述が含まれている可能性があります．お気づきの点などございましたらご指摘いただけますと幸いです．