積分botの問題を解いてみた2

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今回は自分のお気に入りの積分を紹介します。

問題6

$\begin{array}{r} \int_{0}^{π} \frac{\sin^{2 n} x}{(1 - 2 r \cos x + r^{2})^{n + 1}} d x = \frac{π}{2^{2 n} (1 - r^{2})} (\binom{2 n}{n}) \end{array}$

途中から超幾何級数の変形があるのですが、そこはまめけびさんに教えてもらいました。
この積分は今のところ私のお気に入りの積分です。さっそく解説です。

$\begin{array}{r} \int_{0}^{π} \frac{\sin^{2 n} x}{(1 - 2 r \cos x + r^{2})^{n + 1}} d x \end{array}$
$\begin{array}{rcl} = & \int_{0}^{π} \sin^{2 n} x \int_{0}^{\infty} y^{n} e^{- y (1 - 2 r \cos x + r^{2})} \frac{d y d x}{n!} \\ = & \int_{0}^{\infty} \frac{y^{n}}{n!} e^{- y (1 + r^{2})} \int_{0}^{π} \sin^{2 n} x e^{2 r y \cos x} d x d y \\ = & \frac{1}{n!} \int_{0}^{\infty} y^{n} e^{- y (1 + r^{2})} \int_{0}^{π / 2} \sum_{k \geq 0} (2 r y)^{k} (1 + (- 1)^{k}) \sin^{2 n} x \cos^{k} x \frac{d x d y}{k!} \\ = & \frac{2}{n!} \int_{0}^{\infty} y^{n} e^{- y (1 + r^{2})} \int_{0}^{π / 2} \sum_{k \geq 0} \frac{(2 r y)^{2 k}}{(2 k)!} \sin^{2 n} x \cos^{2 k} x d x d y \\ = & \frac{1}{n!} \sum_{k \geq 0} \frac{(2 r)^{2 k} Γ (n + \frac{1}{2}) Γ (k + \frac{1}{2})}{Γ (n + k + 1)} \int_{0}^{\infty} y^{n + 2 k} e^{- y (1 + r^{2})} \frac{d y}{(2 k)!} \\ = & \frac{1}{n!} \sum_{k \geq 0} \frac{Γ (n + \frac{1}{2}) Γ (k + \frac{1}{2})}{Γ (n + k + 1)} \frac{(2 r)^{2 k} Γ (n + 2 k + 1)}{(1 + r^{2})^{n + 2 k + 1} (2 k)!} \\ = & \frac{π (\binom{2 n}{n})}{(1 + r^{2})^{n + 1} 2^{2 n}} \sum_{k \geq 0} \frac{(n + 2 k)!}{k! (n + k)!} {(\frac{r}{1 + r^{2}})}^{2 k} \\ = & \frac{π (\binom{2 n}{n})}{2^{2 n} (1 + r^{2})^{n + 1}} F [\begin{matrix} 1 + \frac{n}{2}; \frac{n + 1}{2} \\ n + 1 \end{matrix}; \frac{4 r^{2}}{(1 + r^{2})^{2}}] \end{array}$
(Kummerの2次変換公式)
$\begin{array}{rcl} = & \frac{π (\binom{2 n}{n})}{2^{2 n} (1 + r)^{2 n + 2}} F [\begin{matrix} n + 1; n + \frac{1}{2} \\ 2 n + 1 \end{matrix}; \frac{4 r}{(1 + r)^{2}}] \end{array}$
(Baileyの変換公式)
$\begin{array}{rcl} = & \frac{π (\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}} F [\begin{matrix} 1 \\ - \end{matrix}; r^{2}] \\ = & \frac{π}{2^{2 n} (1 - r^{2})} (\binom{2 n}{n}) \end{array}$

ほんとこの証明はお気に入りです。
他の証明があれば教えてもらいたいです。
参考にさせていただいたまめけびさんの
リンク↓

https://mamekebi-science.com/math/spetialfunction/hgf-transform1120/

追記

素の状態から超幾何級数に帰着して簡単に解けます。

$\begin{array}{r} 2^{2 n} \int_{0}^{π} \frac{\sin^{2 n} \frac{x}{2} \cos^{2 n} \frac{x}{2}}{{((1 + r)^{2} - 4 r \cos^{2} \frac{x}{2})}^{n + 1}} d x \end{array}$
$\begin{array}{rcl} = & 2^{2 n + 1} \int_{0}^{π / 2} \frac{\cos^{2 n} x (1 - \cos^{2} x)^{n}}{{(1 - \frac{4 r}{1 + r^{2}} \cos^{2} x)}^{n + 1}} \frac{d x}{(1 + r^{2})^{n + 1}} \\ = & \frac{2^{2 n}}{(1 + r^{2})^{n + 1}} \int_{0}^{1} t^{n - 1 / 2} (1 - t)^{n - 1 / 2} {(1 - \frac{4 r}{1 + r^{2}} t)}^{- n - 1} d t \end{array}$