A3数列

$A3$数列は、自然数によって添字付けられた自然数の列と自然数の組から、自然数を計算するプロセスである。
入力$(S,n)$に対する出力$A3(S,n)$を、以下のように再帰的に定める。

1. もし$S$が空列ならば、$n$を出力し、プロセスを終了する。
2. $S=({a_{<0>}}_{b_{<0>}},...,{a_{< X>}}_{b_{< X>}})$とする。
3. もし$a_{< X>} = 0$ならば、$b_{< X>}$の値によって出力を定める。
   1.もし$b_{< X>} = 0 $ならば出力は以下である。
   $A3(S,n) = A3(({a_{<0>}}_{b_{<0>}},...,{a_{< X-1>}}_{b_{< X-1>}}),n+1)$
   　2.そうでないなら、出力は以下である。
   $A3(S,n) = A3(({a_{<0>}}_{b_{<0>}},...,{a_{< X-1>}}_{b_{< X-1>}},n_{b_{< X>-1}}),n)$
4. そうでないなら、以下の手順で、良い部分と悪い部分$G,B \in \mathbb{N}^{< \omega}$を決定する。
   1. 集合$R = \set{k \mid (b_k < b_X ) \lor (b_k = b_X \land a_k < a_X}$を定める。
   2. もし$R$が空集合なら、以下の手順で決定する。
      1.Gは空列とする。
      2.$B = ({a_{<0>}}_{b_{<0>}},\cdots,{a_{< X>}-1}_{b_< X>})$
   3. そうでないなら以下の手順で定める。
   4. 自然数$r = \max R$を定める。
      1.$G = ({a_{<0>}}_{b_{<0>}},\cdots,{a_{< r>}}_{b_{< r>}})$とする。
      2.$B = ({a_{< r+1>}}_{b_{< r+1>}},\cdots,{a_{< X>}}-1_{b_{< X>}})$とする。
5. 出力は以下である。
   $A3(S,n) = A3(G \frown \underbrace{B \frown \cdots \frown B}_{Bがn個},n)$

$A3$数列を用いて$F(n) = A3((0_{n}),n)$としたとき、
$F^{10}(10^{100})$を$A3$数列数とする。
ただし、$F^{10}(n)$ は$F$に対する反復合成であるとし、
$F^{10}(n) = \underbrace{F(F(\cdots}_{Fが10個}(n)...)$とする。