ディリクレ積分の一般化みたいなやつ
ディリクレ積分の一般化みたいなやつ
どうも、らららです。
ディリクレ積分の一般化？漸化式みたいなのを考えてみたので記事にしてみました。
$\displaystyle f(n,m)=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^nx}{x^m}dx$とすると、
$$f(n,m)=\frac{n(n-1)}{(m-1)(m-2)}f(n-2,m-2)-\frac{n^2}{(m-1)(m-2)}f(n,m-2)$$
証明は普通に部分積分するだけです。
\begin{align}
I&=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^nx}{x^m}dx
\\&=\frac{1}{m-1}\left[\frac{\sin^nx}{x^{m-1}}\right]^{\infty}_{0}-\frac{n}{1-m}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{x^{m-1}}dx
\\&=\frac{n}{m-1}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{x^{m-1}}dx
\end{align}
\begin{align}
J&=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{x^{m-1}}dx
\\&=\frac{1}{2-m}\left[\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{x^{m-2}}\right]^{\infty}_{0}-\frac{1}{2-m}\int_{0}^{\infty}\frac{(n-1)\sin^{n-2}x\cos^2x+\sin^nx}{x^{m-2}}dx
\\&=\frac{n-1}{m-2}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{n-2}x\cos^2x}{x^{m-2}}dx-\frac{1}{m-2}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^nx}{x^{m-2}}dx
\\&=\frac{n-1}{m-2}\left(\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{n-2}x}{x^{m-2}}dx-\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^nx}{x^{m-2}}dx\right)-\frac{1}{m-2}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^nx}{x^{m-2}}dx
\\&=\frac{n-1}{m-2}f(n-2,m-2)-\frac{n}{m-2}f(n,m-2)
\end{align}
以上より、
$$f(n,m)=\frac{n(n-1)}{(m-1)(m-2)}f(n-2,m-2)-\frac{n^2}{(m-1)(m-2)}f(n,m-2)$$
[]部分のところが$0$になることは確認してみてください。
この式、頑張ったら$f(n,m)$を$n,m$で表せれるのかも…
おしまい！！