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ディリクレ積分の一般化みたいなやつ

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ディリクレ積分の一般化みたいなやつ

どうも、らららです。
ディリクレ積分の一般化?漸化式みたいなのを考えてみたので記事にしてみました。

$\displaystyle f(n,m)=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^nx}{x^m}dx$とすると、
$$f(n,m)=\frac{n(n-1)}{(m-1)(m-2)}f(n-2,m-2)-\frac{n^2}{(m-1)(m-2)}f(n,m-2)$$

証明は普通に部分積分するだけです。

\begin{align} I&=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^nx}{x^m}dx \\&=\frac{1}{m-1}\left[\frac{\sin^nx}{x^{m-1}}\right]^{\infty}_{0}-\frac{n}{1-m}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{x^{m-1}}dx \\&=\frac{n}{m-1}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{x^{m-1}}dx \end{align}
\begin{align} J&=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{x^{m-1}}dx \\&=\frac{1}{2-m}\left[\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{x^{m-2}}\right]^{\infty}_{0}-\frac{1}{2-m}\int_{0}^{\infty}\frac{(n-1)\sin^{n-2}x\cos^2x+\sin^nx}{x^{m-2}}dx \\&=\frac{n-1}{m-2}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{n-2}x\cos^2x}{x^{m-2}}dx-\frac{1}{m-2}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^nx}{x^{m-2}}dx \\&=\frac{n-1}{m-2}\left(\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{n-2}x}{x^{m-2}}dx-\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^nx}{x^{m-2}}dx\right)-\frac{1}{m-2}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^nx}{x^{m-2}}dx \\&=\frac{n-1}{m-2}f(n-2,m-2)-\frac{n}{m-2}f(n,m-2) \end{align}
以上より、
$$f(n,m)=\frac{n(n-1)}{(m-1)(m-2)}f(n-2,m-2)-\frac{n^2}{(m-1)(m-2)}f(n,m-2)$$

[]部分のところが$0$になることは確認してみてください。

この式、頑張ったら$f(n,m)$$n,m$で表せれるのかも…

おしまい!!

投稿日:20231025

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ららら
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適当に書きたいことを書きます。

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