文献あり

エネルギー運動量テンソルのいくつかの定義に関して

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【修正履歴】

15Jun2023: Minkowski計量を$\eta_{\mu\nu}={\rm diag}(1,-1,-1,-1)$とし、これに整合的になるように全ての式を変更しました。この場合、Einstein-Hilbert作用の係数が負のときに計量の変分に関して作用に極小値が存在します（Ref.[2]$\S$93参照）。そのため作用の符号を負にしました。
16Sep.2023: 電磁場のエネルギー・運動量テンソルの符号が間違っていたので修正しました
【誤】 $T^{\mu\nu}=-F^{\mu\alpha}F^\nu{}_\alpha-\frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}$
【正】 $T^{\mu\nu}=-F^{\mu\alpha}F^\nu{}_\alpha{\color{red}+}\frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}$
（ashangさん、ご指摘ありがとうございました）

エネルギー運動量テンソル（Energy-Momentum Tensor, EMT）は「時間あるいは空間一定面を横切るエネルギーおよび運動量の流束を表す物理量」です（天文学辞典 https://astro-dic.jp/energy-momentum-tensor/ より）。これはまたニュートン力学における応力テンソルの相対論的拡張とも言えます。

本記事では、場の理論における3つの違うEMTの定義

正準エネルギー運動量テンソル
計量テンソルによる作用の変分で定義されたエネルギー運動量テンソル
Belinfante-Rosenfeld stress-energy tensor

に関して述べます。そして具体的にU(1)ゲージ理論

U(1)ゲージ理論

\begin{align} &{\cal L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}, \ \ \ F_{\mu\nu}:=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu,\\ &\text{運動方程式（Equation of Motion）: }\partial_\mu F^{\mu\nu}=0 \end{align}

に対してEMTを構成することで、それぞれのEMTの欠点・利点に言及します。

正準エネルギー運動量テンソル

エネルギーと運動量はそれぞれ時間並進および空間並進に対するネーターカレントです。正準エネルギー運動量テンソルは、座標の並進変換により定義される以下のEMTです。

正準エネルギー運動量テンソル

\begin{align} T^{\mu\nu}_C:= \left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)}\right)\partial^\nu\phi_i-\eta^{\mu\nu}{\cal L} \end{align}

$\phi_i$は$i$を成分の足にもつ場であり、$\eta$はMinkowski計量$\eta_{\mu\nu}={\rm diag}(1,-1,-1,-1)$です。$C$はcanonicalを表します。以下このEMTを導出します（Ref.[1]に基づく）。

正準エネルギー運動量テンソルの導出

座標の微小な並進変換$x^\mu\rightarrow x'^\mu=x^\mu-\delta x^\mu$に対し、$\phi'(x')=\phi(x)$のように座標の変化を打ち消すように関数形が変換するものとする。このとき$\phi'(x')=\phi'(x)-\delta x^\nu \partial_\nu \phi'(x)=\phi'(x)-\delta x^\nu \partial_\nu \phi(x)$であるから（$\delta x^\nu$がかかると場の微小変化は無視できる）
\begin{align} \phi'(x')=\phi'(x)-\delta x^\nu \partial_\nu \phi(x)=\phi(x) \end{align}
よって
\begin{align} \delta\phi_i(x)&:=\phi'_i(x)-\phi_i(x)=\delta x^\nu \partial_\nu \phi_i,\\ \delta (\partial_\mu\phi_i(x))&=\partial_\mu(\delta x^\nu\partial_\nu \phi_i)=\delta x^\nu(\partial_\mu\partial_\nu\phi_i)+(\partial_\mu\delta x^\nu)\partial_\nu \phi_i \end{align}
となる。この$\delta\phi_i$は同一座標値点での場の変化であり、Lie微分と呼ばれる。
ここで${\cal L}$の変分を考える：
\begin{aligned} \delta {\cal L}&=\frac{\partial{\cal L}}{\partial \phi_i}\delta\phi_i +\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)} \delta(\partial_\mu\phi_i)\\ &=\frac{\partial{\cal L}}{\partial\phi_i}\delta x^\nu \partial_\nu\phi_i +\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)} (\delta x^\nu(\partial_\mu\partial_\nu\phi_i)+(\partial_\mu\delta x^\nu)\partial_\nu\phi_i)\\ &=\delta x^\nu\partial_\nu{\cal L}+\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)}(\partial_\mu\delta x^\nu)\partial_\nu\phi_i \end{aligned}
よって
\begin{align} \delta S&=\int d^4 x\delta{\cal L}\\ &=\int d^4x \left( \delta x^\nu\partial_\nu{\cal L}+\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)}(\partial_\mu\delta x^\nu)\partial_\nu\phi_i\right)\\ &=\int d^4x \left[ \partial_\nu{\cal L}-\partial_\mu\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)}\partial_\nu\phi_i\right) \right]\delta x^\nu\\ &=\int d^4x \ \partial_\mu\left[ \delta^\mu{}_\nu{\cal L}-\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)}\partial_\nu\phi_i\right]\delta x^\nu \end{align}
これが任意の$\delta x^\nu$でゼロになるから、$\partial_\mu\left[\ldots\right]$の部分はゼロであり、$[\ldots]$は保存する。これより公式1の$T_C$は保存し、ネーターカレントであることがわかる。${}_\blacksquare$

U(1)ゲージ理論に対し$T_C$を計算すると以下を得ます。
\begin{align} T_C^{\mu\nu}=-F^{\mu\alpha}\partial^\nu A_\alpha +\frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta} \end{align}

これをみると以下のような特徴があることがわかります：

$\mu\leftrightarrow \nu$に対し対称でない
ゲージ不変でない

canonical EMTはネーターカレントという「正統な」EMTではあるのですが、これらのあまり嬉しくない特徴を持ちます。さらに系によっては計算が次の章で紹介するEMTと比較して大変というおまけもつきます。これはその定義に場の微分が含まれることによります。もっともU(1)ゲージ理論の場合はcanonical EMTでも計算は簡単です。内部自由度が存在したり、非線形表現の場を含む理論のように場の運動項が単純ではない場合、計算が面倒になります。

計量テンソルの変分によるエネルギー運動量テンソル

Einstein-Hilbert作用に物質場を取り入れ、計量テンソルによる変分に関し停留条件を課し、これとEinstein 方程式を比較することでEMTを定義することができます。それが以下のEMTです。

計量テンソルによる変分から定義されるEMT

$$ \begin{aligned} T_G{}_{\mu\nu} &:=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\partial \sqrt{-g}{\cal L}_M}{\partial g^{\mu\nu}}\\ &=2\frac{\partial {\cal L}_M}{\partial g^{\mu\nu}}-g_{\mu\nu}{\cal L}_M \end{aligned} $$
ここで${\cal L}_M$は物質場（電磁場等ゲージ場も含む）に計量テンソルを結合させたラグランジアン密度である。

以下$T_G$の導出です。

Einstein-Hilbert作用からEMTを定義する

Einstein-Hilbert作用に物質場を取り入れたものは以下。
\begin{aligned} S=\int d^4x \left( -\frac{1}{2\kappa}R+{\cal L}_M \right)\sqrt{-g} \end{aligned}
これを変分すると次のようになる：
\begin{aligned} \delta S&=\int d^4x \left( -\frac{1}{2\kappa}\delta R\sqrt{-g}-\frac{1}{2\kappa}R\delta\sqrt{-g} +\delta(\sqrt{-g}{\cal L}_M) \right)\\ &=\int d^4x \left( -\frac{1}{2\kappa}(\delta g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}+g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu})\sqrt{-g}-\frac{1}{2\kappa}R\delta\sqrt{-g} +\delta(\sqrt{-g}{\cal L}_M) \right) \end{aligned}
クリストッフェル記号の変分$\delta \Gamma$がテンソルであることを用いて計算すると、上式の$g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}\sqrt{-g}$の項は全微分の形で書けることがわかる（Ref.[2]）。よってその積分は表面項となり、境界を無限遠に設定すれば積分には寄与しない。
$\delta \sqrt{-g}=-\frac{1}{2}\sqrt{-g}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$を用いると、上の式は次のように書けることがわかる：
\begin{aligned} \delta S&=\int d^4x \left( -\frac{1}{2\kappa}\delta g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}\sqrt{-g}-\frac{1}{2\kappa}R\delta\sqrt{-g} +\delta(\sqrt{-g}{\cal L}_M) \right)\\ &=-\int d^4x \ \frac{1}{2\kappa}\left( R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}-\frac{2\kappa}{\sqrt{-g}}\frac{\partial \sqrt{-g}{\cal L}_M}{\partial g^{\mu\nu}} \right)\sqrt{-g}\ \delta g^{\mu\nu} \end{aligned}
これが任意の$\delta g^{\mu\nu}$に関し成立するから
\begin{aligned} R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=\frac{2\kappa}{\sqrt{-g}}\frac{\partial \sqrt{-g}{\cal L}_M}{\partial g^{\mu\nu}} \end{aligned}
であり、Einstein eq.と比較することで右辺が$(\kappa \times \text{エネルギー運動量テンソル})$に対応することがわかるから公式2を得る。${}_\blacksquare$

この定義から導かれるU(1)ゲージ理論のEMTは、${\cal L}_M=-\frac{1}{4}g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}$として計算すると
\begin{aligned} T^{\mu\nu}_G=-F^{\mu\alpha}F^\nu{}_\alpha+\frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta} \end{aligned}
となります。ここで$g^{\mu\nu}$をMinkowski metric$\eta^{\mu\nu}$に置き換えました。

この定義は大変よい性質を持ちます：

$\mu\leftrightarrow\nu$に対し対称
ゲージ不変

$T^{00}_G$を計算すると $T_G^{00}=\frac{1}{2}(\vec E^2+\vec B^2)$となります。これは電磁場のエネルギー密度であり、またゲージ不変です。$T_G$は計算が簡単というおまけもつくので、使い勝手のよい定義です。

Belinfante-Rosenfeld stress-energy tensor

canonical EMTのimprovement

canonical EMTを改良します。EMTには全微分の不定性が存在することから、$T^{\mu\nu}_C$に$\partial_\alpha(F^{\mu\alpha}A^\nu)$を足してもよいです。すると
\begin{aligned} \tilde T^{\mu\nu}_C&:=T^{\mu\nu}_C+\partial_\alpha(F^{\mu\alpha}A^\nu)\\ &=T^{\mu\nu}_C+F^{\mu\alpha}\partial_\alpha A^\nu \ \ \ (\because \text{ Equation of Motion})\\ &=-F^{\mu\alpha}F^\nu{}_\alpha+\frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta} \end{aligned}
を得ます。これは$T^{\mu\nu}_G$に一致します。このように全微分の不定性を用いることで、canonical EMTが$\mu\leftrightarrow \nu$の対称性およびゲージ不変性を持つように改良することができます。

Belinfante tensor: canonical EMTの系統的な改良

上で付加した項は天下り的に導入しましたが、このような改良を系統的に行う方法が存在し、Belinfante improvementなどと呼びます。またこの方法で得られるEMTはBelinfante-Rosenfeld stress-energy tensorと呼ばれます。

Belinfante-Rosenfeld stress-energy tensor

Belinfante-Rosenfeld stress-energy tensor $T_B$は以下のように定義される（Ref.[3]）:

\begin{align} T^{\mu\nu}_B&:= T_C^{\mu\nu}+\partial_\alpha B^{\alpha\mu\nu},\\ B^{\alpha\mu\nu}&=\frac{1}{2}\left(\Pi^\alpha\Sigma^{\mu\nu}+\Pi^\mu\Sigma^{\nu\alpha}-\Pi^\nu\Sigma^{\alpha\mu}\right)\varphi \end{align}

ここで$\varphi$は任意のLorentz表現の場である（Lorentzおよび内部自由度の添字やその積は非明示的になされているとする）。$\Pi$は$\varphi$の共役運動量であり、以下で定義される：

$$ \Pi^\alpha:=\frac{\partial{\cal L}}{\partial (\partial_\alpha\varphi)} $$

$\Sigma^{\mu\nu}$はスピン行列であり、$\Sigma^{\mu\nu}=-\Sigma^{\nu\mu}$を満たす。また以下の交換関係を満たす:

$$ \left[\Sigma^{\mu\nu},\Sigma^{\lambda\rho}\right]_-=\eta^{\mu\rho}\Sigma^{\nu\lambda}-\eta^{\mu\lambda}\Sigma^{\nu\rho} +\eta^{\nu\lambda}\Sigma^{\mu\rho} -\eta^{\nu\rho}\Sigma^{\mu\lambda} $$
ここで$[・,・]_-$は交換子を表す。

具体的に、$(0,0), (1,0), (2,0)$ tensorの$\Sigma$の具体的な表式は以下のようになります：

$$ \begin{aligned} \Sigma^{\mu\nu}&=0,\\ \left(\Sigma^{\mu\nu}\right)^A{}_B &=\eta^{\mu A}\delta^\nu{}_B-\eta^{\nu A}\delta^\mu{}_B\\ \left(\Sigma^{\mu\nu}\right)^{AB}{}_{CD} &=\eta^{\mu A}\delta^\nu{}_C\delta^B{}_D -\eta^{\nu A}\delta^\mu{}_C\delta^B{}_D +\eta^{\mu B}\delta^\nu{}_D\delta^A{}_C -\eta^{\nu B}\delta^\mu{}_D\delta^A{}_C \end{aligned} $$

spinorの場合は以下:

$$ \begin{aligned} \left( \Sigma^{\mu\nu} \right)^\psi{}_\psi &=\frac{1}{4}\left[ \gamma^\mu,\gamma^\nu \right]_- =-\frac{i}{2}\sigma^{\mu\nu},\\ \left( \Sigma^{\mu\nu} \right)^{\bar\psi}{}_{\bar\psi} &=-\frac{1}{4}\left[ \gamma^\mu,\gamma^\nu \right]_- =\frac{i}{2}\sigma^{\mu\nu},\\ \left( \Sigma^{\mu\nu} \right)^\psi{}_{\bar\psi} &=0=\left( \Sigma^{\mu\nu} \right)^{\bar\psi}{}_{\psi}, \end{aligned} $$

ここで$\left[・,・\right]_\pm$は$+$が反交換子、$-$が交換子を表す。また$\gamma^\mu$は以下を満たすClifford algebraの元です：

$$ \begin{aligned} \left[\gamma^\mu,\gamma^\nu\right]_+=2\eta^{\mu\nu}, \ \ \ \sigma^{\mu\nu}=\frac{i}{2}\left[\gamma^\mu,\gamma^\nu\right]_- \end{aligned} $$

以下Belinfante-Rosenfeld stress-energy tensorが対称になることを示します。

$T^{\mu\nu}_B$が対称になることの証明

以下Ref.[3]に基づく。
次が成立すると仮定する:

\begin{align} T_C^{\mu\nu}-T_C^{\nu\mu}=-\partial_\alpha H^{\alpha\mu\nu} \ \ \ \ (\text{このとき }H^{\alpha\mu\nu}=-H^{\alpha\nu\mu}) \tag{1} \end{align}

ここで$B^{\alpha\mu\nu}$を

$$ B^{\alpha\mu\nu}=\frac{1}{2} \left( H^{\alpha\mu\nu} +H^{\mu\nu\alpha} -H^{\nu\alpha\mu} \right) $$

で定義する。すると

$$ \begin{aligned} B^{\alpha\mu\nu}=-B^{\mu\alpha\nu}, \ \ \ B^{\alpha\mu\nu}-B^{\alpha\nu\mu}=H^{\alpha\mu\nu} \end{aligned} $$

が成立する。これらより$T^{\mu\nu}_B:= T_C^{\mu\nu}+\partial_\alpha B^{\alpha\mu\nu}$に対して

$$ T_B^{\mu\nu}-T_B^{\nu\mu}=(T_C^{\mu\nu}-T_C^{\nu\mu})+\partial_\alpha (B^{\alpha\mu\nu}-B^{\alpha\nu\mu})=0 $$

となることがわかる。よってこのとき$T^{\mu\nu}_B$は$\mu\leftrightarrow \nu$に対し対称になる。

さて、Lorentz変換に対する座標および場の変換性は無限小変換に対し以下である：

$$ \begin{aligned} x^\mu\rightarrow x'^\mu=x^\mu+\omega^\mu{}_\nu x^\nu, \ |\omega^\mu{}_\nu|\ll 1, \ \omega_{\mu\nu}=-\omega_{\nu\mu},\\ \varphi^A(x)\rightarrow \varphi'^{A}(x')=\left[ \delta^A{}_B+\frac{1}{2} \omega_{\mu\nu}(\Sigma^{\mu\nu})^A{}_B \right]\varphi^B(x) \end{aligned} $$

よって$\delta \varphi(x)$は

$$ \delta\varphi(x)=\varphi'(x)-\varphi(x)=\frac{1}{2} \omega_{\lambda\rho} \left[ \left( x^\lambda\partial^\rho\varphi -x^\rho\partial^\lambda\varphi \right) +\Sigma^{\lambda\rho}\varphi \right] $$

となる。この変換に対するネーターカレントは以下：

$$ \begin{aligned} M^{\mu\lambda\rho}&=\left( x^\lambda T_C^{\mu\rho} -x^\rho T_C^{\mu\lambda} \right) +\Pi^\mu\Sigma^{\lambda\rho}\varphi\\ \partial_\mu M^{\mu\lambda\rho}&=0 \end{aligned} $$

これは$\lambda\leftrightarrow \rho$に対して反対称。$\partial_\mu M^{\mu\lambda\rho}=0$を用いると以下がわかる：

$$ \partial_\mu M^{\mu\lambda\rho}=0 \Leftrightarrow T_C^{\lambda\rho}-T_C^{\rho\lambda} =-\partial_\mu \left(\Pi^\mu\Sigma^{\lambda\rho}\varphi\right) $$

よって、並進変換に関して不変な理論がLorentz 不変でもあれば、canonical EMTの反対称部分は$-\partial_\mu(\Pi^\mu\Sigma^{\lambda\rho}\varphi)$のように全微分の形で具体的に与えられる。これとEq.(1)を見比べると、

$$ \begin{aligned} H^{\alpha\mu\nu}=\Pi^\alpha\Sigma^{\mu\nu}\varphi \end{aligned} $$

として、$B^{\alpha\mu\nu}$を

$$ B^{\alpha\mu\nu}=\frac{1}{2}\left(\Pi^\alpha\Sigma^{\mu\nu}+\Pi^\mu\Sigma^{\nu\alpha}-\Pi^\nu\Sigma^{\alpha\mu}\right)\varphi $$

のように定めれば確かに$T^{\mu\nu}_B:= T_C^{\mu\nu}+\partial_\alpha B^{\alpha\mu\nu}$は対称になる。${}_{\blacksquare}$

Belinfanteテンソルの構成は、Lorentz変換のネーターカレントである「4元角運動量」にcanonical EMTが出現し、その反対称部分が具体的に全微分で書けるという事実に基づきます。

U(1)ゲージ理論、すなわち$\varphi$がvector field: $A^\mu$の場合を考えます。このとき

$$ \begin{aligned} \left(\Pi^\mu\right)^\alpha&:=\frac{\partial{\cal L}}{\partial(\partial_\mu A_\alpha)} =\frac{1}{4}\left[ -(\partial^\mu A^\alpha)+(\partial^\alpha A^\mu) \right]\\ \left(\Sigma^{\mu\nu}\right)^A{}_B&=\eta^{\mu A}\delta^\nu{}_B -\eta^{\nu A}\delta^\mu{}_B \end{aligned} $$

これらより$B^{\alpha\mu\nu}$は以下のように計算できます：

$$ \begin{aligned} B^{\alpha\mu\nu} &=\frac{1}{2} \left[ (\Pi^\alpha)_A(\Sigma^{\mu\nu})^A{}_B A^B +(\Pi^\mu)_A(\Sigma^{\nu\alpha})^A{}_B A^B - (\Pi^\nu)_A(\Sigma^{\alpha\mu})^A{}_B A^B \right]\\ &=\frac{1}{2}\Big\{ \frac{1}{4}\left[-(\partial^\alpha A_A)+(\partial_A A^\alpha)\right](\eta^{\mu A}\delta^\nu{}_B-\eta^{\nu A}\delta^\mu{}_B)A^B\\ & \qquad +\frac{1}{4}\left[-(\partial^\mu A_A)+(\partial_A A^\mu)\right](\eta^{\nu A}\delta^\alpha{}_B-\eta^{\alpha A}\delta^\nu{}_B)A^B\\ & \qquad -\frac{1}{4}\left[-(\partial^\nu A_A)+(\partial_A A^\nu)\right](\eta^{\alpha A}\delta^\mu{}_B-\eta^{\mu A}\delta^\alpha{}_B)A^B \Big\}\\ &=-F^{\alpha\mu}A^\nu \end{aligned} $$

Canonical EMTは

$$ T_C^{\mu\nu}=-F^{\mu\alpha}\partial^\nu A_\alpha -\eta^{\mu\nu}{\cal L} $$

であるから、$T_B^{\mu\nu}$は以下のように得られます：

$$ \begin{aligned} T_B^{\mu\nu}&=-F^{\mu\alpha}\partial^\nu A_\alpha -\eta^{\mu\nu}{\cal L} +\partial_\alpha B^{\alpha\mu\nu}\\ &=-F^{\mu\alpha}\partial^\nu A_\alpha -\eta^{\mu\nu}{\cal L} -\partial_\alpha(F^{\alpha\mu}A^\nu) \\ &=-F^{\mu\alpha}\partial^\nu A_\alpha -\eta^{\mu\nu}{\cal L} +F^{\mu\alpha}\partial_\alpha A^\nu \ \ \ (\because \text{ Equation of Motion})\\ &=-F^{\mu\alpha}F^\nu{}_{\alpha}-\eta^{\mu\nu}{\cal L} \end{aligned} $$

これは確かに$\mu\leftrightarrow \nu$に対し対称であり、また$T_G$に等しいです。さらにはこの構成法ではEMTのゲージ不変性も保証されます。

おしまい。${}_\blacksquare$