ある定積分の計算

$n$を自然数として$\displaystyle I_n:=\int_{\mathbf{R}}\biggl(\frac{\sin x}{x}\biggr)^n \,dx$ を計算する.

$\displaystyle \int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-xt}\,dt\,\,\,(x>0)$において$u=xt$と変数変換することで$\displaystyle x^{-n}\int_0^{\infty}u^{n-1}e^{-u}\,du=\Gamma(n)x^{-n}$

となることから

$\displaystyle I_n=\frac{2}{\Gamma(n)}\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-xt}\sin^nx \,dxdt .$

$\displaystyle J_n:=\int_0^{\infty}e^{-xt}\sin^nx \,dx \,\,\,(t>0)$

とおく.部分積分により

$\displaystyle J_n=\biggl[-\frac{1}{t}e^{-xt}\sin^nx\biggr]_{x=0}^{\infty}+\frac{1}{t}\int_0^{\infty}e^{-xt}n\sin^{n-1}x\cos x \,dx$

$\displaystyle =\frac{n}{t}\biggl[-\frac{1}{t}e^{-xt}\sin^{n-1}x\cos x\biggr]_{x=0}^{\infty}+\frac{n}{t^2}\int_0^{\infty}e^{-xt}\{(n-1)\sin^{n-2}x\cos^2x-\sin^{n}x\} \,dx$

$\displaystyle =\frac{n}{t^2}((n-1)J_{n-2}-nJ_n)$

より,$\displaystyle J_n=\frac{n(n-1)}{t^2+n^2}J_{n-2},\,\,\,J_0=\frac{1}{t},\,J_1=\frac{1}{t^2+1}$なので

$n$が偶数のとき

$\displaystyle J_n=\frac{n!}{(t^2+n^2)(t^2+(n-2)^2)\cdots(t^2+2^2)}$

$\displaystyle I_n=2n\int_0^{\infty} \frac{t^{n-2}}{(t^2+n^2)(t^2+(n-2)^2)\cdots(t^2+2^2)} \,dt$

$n$が奇数のとき

$\displaystyle J_n=\frac{n!}{(t^2+n^2)(t^2+(n-2)^2)\cdots(t^2+1^2)}$

$\displaystyle I_n=2n\int_0^{\infty} \frac{t^{n-1}}{(t^2+n^2)(t^2+(n-2)^2)\cdots(t^2+1^2)} $

被積分関数を部分分数に分解する.

$n=2m$のとき

$\displaystyle f_n(t)=\frac{t^{2m-2}}{(t^2+(2m)^2)(t^2+(2m-2)^2)\cdots(t^2+2^2)}=\sum_{k=1}^{m}\frac{a_kt+b_k}{t^2+(2k)^2}$

の分母を払うと

$\displaystyle t^{2m-2}=\sum_{k=1}^{m}(a_kt+b_k)\prod_{l\ne k}(t^2+(2l)^2)$

の両辺の次数を考えて$\displaystyle a_k=0,\,b_k=2(2k)i\text{Res}(f_n(t),2ki)$

$\displaystyle I_n=2n\sum_{k=1}^{m}b_k\int_0^{\infty}\frac{dt}{t^2+(2k)^2}=n\pi\sum_{k=1}^m\frac{b_k}{2k}$

$\displaystyle =2n\pi i\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}}\text{Res}\biggl(\frac{t^{n-2}}{(t^2+n^2)(t^2+(n-2)^2)\cdots(t^2+2^2)},2ki\biggr)$

$n=2m-1$のときも同様にして

$\displaystyle I_n=2n\pi i\sum_{k=1}^{\frac{n+1}{2}}\text{Res}\biggl(\frac{t^{n-1}}{(t^2+n^2)(t^2+(n-2)^2)\cdots(t^2+1^2)},(2k-1)i\biggr)$

例として$n=3$の場合(平成30年度東京大学大学院数理科学研究科　専門科目A第7問)を計算する.

$\displaystyle I_3=6\pi i\sum_{k=1}^2\text{Res}\biggl(\frac{t^2}{(t^2+9)(t^2+1)},(2k-1)i\biggr)$

$\displaystyle=6\pi i\biggl(-\frac{1}{16i}+\frac{9}{48i}\biggr)=\pi\biggl(-\frac{3}{8}+\frac{9}{8}\biggr)=\frac{3\pi}{4}$