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ある定積分の計算

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nを自然数としてIn:=R(sinxx)ndx を計算する.

0tn1extdt(x>0)においてu=xtと変数変換することでxn0un1eudu=Γ(n)xn

となることから

In=2Γ(n)00tn1extsinnxdxdt.

Jn:=0extsinnxdx(t>0)

とおく.部分積分により

Jn=[1textsinnx]x=0+1t0extnsinn1xcosxdx

=nt[1textsinn1xcosx]x=0+nt20ext{(n1)sinn2xcos2xsinnx}dx

=nt2((n1)Jn2nJn)

より,Jn=n(n1)t2+n2Jn2,J0=1t,J1=1t2+1なので

nが偶数のとき

Jn=n!(t2+n2)(t2+(n2)2)(t2+22)

In=2n0tn2(t2+n2)(t2+(n2)2)(t2+22)dt

nが奇数のとき

Jn=n!(t2+n2)(t2+(n2)2)(t2+12)

In=2n0tn1(t2+n2)(t2+(n2)2)(t2+12)

被積分関数を部分分数に分解する.

n=2mのとき

fn(t)=t2m2(t2+(2m)2)(t2+(2m2)2)(t2+22)=k=1makt+bkt2+(2k)2

の分母を払うと

t2m2=k=1m(akt+bk)lk(t2+(2l)2)

の両辺の次数を考えてak=0,bk=2(2k)iRes(fn(t),2ki)

In=2nk=1mbk0dtt2+(2k)2=nπk=1mbk2k

=2nπik=1n2Res(tn2(t2+n2)(t2+(n2)2)(t2+22),2ki)

n=2m1のときも同様にして

In=2nπik=1n+12Res(tn1(t2+n2)(t2+(n2)2)(t2+12),(2k1)i)

例としてn=3の場合(平成30年度東京大学大学院数理科学研究科 専門科目A第7問)を計算する.

I3=6πik=12Res(t2(t2+9)(t2+1),(2k1)i)

=6πi(116i+948i)=π(38+98)=3π4

 

投稿日:2023511
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PCを持っておらずiPadで書いている為見づらいかもしれませんが、ご容赦ください。横浜市立大学理学部数理科学科卒業。東京大学大学院数理科学研究科修士課程終了。

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