ある定積分の計算

$n$を自然数として${\displaystyle I_n:={\int }_{\mathbf{R}}(\frac{\sin x}{x}{)}^{n}dx}$ を計算する.

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{n-1}{e}^{-xt}dt(x>0)}$において$u=xt$と変数変換することで${\displaystyle x^{-n}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{n-1}{e}^{-u}du=\mathrm{\Gamma }(n)x^{-n}}$

となることから

${\displaystyle I_n=\frac{2}{\mathrm{\Gamma }(n)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{n-1}{e}^{-xt}{\sin }^{n}xdxdt.}$

${\displaystyle J_n:={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-xt}{\sin }^{n}xdx(t>0)}$

とおく.部分積分により

${\displaystyle J_n=[-\frac{1}{t}{e}^{-xt}{\sin }^{n}x{]}_{x=0}^{\mathrm{\infty }}+\frac{1}{t}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-xt}n{\sin }^{n-1}x\cos xdx}$

${\displaystyle =\frac{n}{t}[-\frac{1}{t}{e}^{-xt}{\sin }^{n-1}x\cos x{]}_{x=0}^{\mathrm{\infty }}+\frac{n}{t^2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-xt}\{(n-1){\sin }^{n-2}x{\cos }^{2}x-{\sin }^{n}x\}dx}$

${\displaystyle =\frac{n}{t^2}((n-1)J_{n-2}-n{J}_n)}$

より,${\displaystyle J_n=\frac{n(n-1)}{t^2+n^2}{J}_{n-2},J_0=\frac{1}{t},J_1=\frac{1}{t^2+1}}$なので

$n$が偶数のとき

${\displaystyle J_n=\frac{n!}{(t^2+n^2)(t^2+(n-2{)}^2)\cdots (t^2+2^2)}}$

${\displaystyle I_n=2n{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{n-2}}{(t^2+n^2)(t^2+(n-2{)}^2)\cdots (t^2+2^2)}dt}$

$n$が奇数のとき

${\displaystyle J_n=\frac{n!}{(t^2+n^2)(t^2+(n-2{)}^2)\cdots (t^2+1^2)}}$

${\displaystyle I_n=2n{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{n-1}}{(t^2+n^2)(t^2+(n-2{)}^2)\cdots (t^2+1^2)}}$

被積分関数を部分分数に分解する.

$n=2m$のとき

${\displaystyle f_n(t)=\frac{t^{2m-2}}{(t^2+(2m{)}^2)(t^2+(2m-2{)}^2)\cdots (t^2+2^2)}=\sum _{k=1}^m\frac{a_{k}t+b_k}{t^2+(2k{)}^2}}$

の分母を払うと

${\displaystyle t^{2m-2}=\sum _{k=1}^m(a_{k}t+b_k)\prod _{l\ne k}(t^2+(2l{)}^2)}$

の両辺の次数を考えて${\displaystyle a_k=0,b_k=2(2k)i\text{Res}(f_n(t),2ki)}$

${\displaystyle I_n=2n\sum _{k=1}^m{b}_k{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dt}{t^2+(2k{)}^2}=n\pi \sum _{k=1}^m\frac{b_k}{2k}}$

${\displaystyle =2n\pi i\sum _{k=1}^{\frac{n}{2}}\text{Res}(\frac{t^{n-2}}{(t^2+n^2)(t^2+(n-2{)}^2)\cdots (t^2+2^2)},2ki)}$

$n=2m-1$のときも同様にして

${\displaystyle I_n=2n\pi i\sum _{k=1}^{\frac{n+1}{2}}\text{Res}(\frac{t^{n-1}}{(t^2+n^2)(t^2+(n-2{)}^2)\cdots (t^2+1^2)},(2k-1)i)}$

例として$n=3$の場合(平成30年度東京大学大学院数理科学研究科　専門科目A第7問)を計算する.

${\displaystyle I_3=6\pi i\sum _{k=1}^2\text{Res}(\frac{t^2}{(t^2+9)(t^2+1)},(2k-1)i)}$

${\displaystyle =6\pi i(-\frac{1}{16i}+\frac{9}{48i})=\pi (-\frac{3}{8}+\frac{9}{8})=\frac{3\pi }{4}}$