nを自然数としてIn:=∫R(sinxx)ndx を計算する.
∫0∞tn−1e−xtdt(x>0)においてu=xtと変数変換することでx−n∫0∞un−1e−udu=Γ(n)x−n
となることから
In=2Γ(n)∫0∞∫0∞tn−1e−xtsinnxdxdt.
Jn:=∫0∞e−xtsinnxdx(t>0)
とおく.部分積分により
Jn=[−1te−xtsinnx]x=0∞+1t∫0∞e−xtnsinn−1xcosxdx
=nt[−1te−xtsinn−1xcosx]x=0∞+nt2∫0∞e−xt{(n−1)sinn−2xcos2x−sinnx}dx
=nt2((n−1)Jn−2−nJn)
より,Jn=n(n−1)t2+n2Jn−2,J0=1t,J1=1t2+1なので
nが偶数のとき
Jn=n!(t2+n2)(t2+(n−2)2)⋯(t2+22)
In=2n∫0∞tn−2(t2+n2)(t2+(n−2)2)⋯(t2+22)dt
nが奇数のとき
Jn=n!(t2+n2)(t2+(n−2)2)⋯(t2+12)
In=2n∫0∞tn−1(t2+n2)(t2+(n−2)2)⋯(t2+12)
被積分関数を部分分数に分解する.
n=2mのとき
fn(t)=t2m−2(t2+(2m)2)(t2+(2m−2)2)⋯(t2+22)=∑k=1makt+bkt2+(2k)2
の分母を払うと
t2m−2=∑k=1m(akt+bk)∏l≠k(t2+(2l)2)
の両辺の次数を考えてak=0,bk=2(2k)iRes(fn(t),2ki)
In=2n∑k=1mbk∫0∞dtt2+(2k)2=nπ∑k=1mbk2k
=2nπi∑k=1n2Res(tn−2(t2+n2)(t2+(n−2)2)⋯(t2+22),2ki)
n=2m−1のときも同様にして
In=2nπi∑k=1n+12Res(tn−1(t2+n2)(t2+(n−2)2)⋯(t2+12),(2k−1)i)
例としてn=3の場合(平成30年度東京大学大学院数理科学研究科 専門科目A第7問)を計算する.
I3=6πi∑k=12Res(t2(t2+9)(t2+1),(2k−1)i)
=6πi(−116i+948i)=π(−38+98)=3π4
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