「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、代数の練習問題その3

「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、代数の練習問題その3

問題

$(a,b,c)=(1,1,1)$なら
$d^3=21$
$(a,b,c)=(1,1,2)$なら
$d^3=14$
$(a,b,c)=(1,2,2)$なら
$d^3=7$
従って、$a$は必ず負の数。（そうしても一般性は失われない）
$24+|a|^3=b^3+c^3+d^3$
$24+2(bc(b+c)+bd(b+d)+cd(c+d))=0$
$12+bc(b+c)+bd(b+d)cd(c+d)=0$
$\pm\sqrt{3+bc(b+c)+bd(b+d)cd(c+d)}=3$
$\therefore bc(b+c)+bd(b+d)cd(c+d)=6$
ここで、$b=c=d$と置いてみる。
$3*2b^3=6$
$b^3=1$
つまり、式が成り立つ為には、$b=c=d=1$でなければならない。
しかし、$a$が負なので、
$a^3+b^3+c^3+d^3\leqq 1\neq24$
ゆえに、題意の成り立つ整数a、b、c、dの組はないことが示された。
■

訂正

全然違った。
$bc(b+c)+bd(b+d)+cd(c+d)=12$
$b=c=d$と置く。
$b^3=2$
つまり、$b, c, d$はあまり大きくないし、$b$を$2$にしてしまうと$c, d$が凄く小さくなる。勿論正の整数の場合$1$しか取れない。
$b=2$とする。
2c+2c^2+2d+2d^2+cd(c+d)=12
$c,d>0$の場合、
$c,d\leqq 1$となる。
ゆえに$c<0$
しかも
$2c(c+2)+2d(d+2)+cd(c+d)=12$
$cd>0$かつ$c+d<0$の時
仮に$c=d=-1$としても
$2c(c+2)+2d(d+2)=-4$
$cd(c+d)=16>0$
よって仮定が誤っていた。
$cd\leqq 0$かつ$c+d<0$の時
$2c(c+2)+2d(d+2)\leqq 10$
$\therefore c(c+2)+d(d+2)\leqq 5$
$y=x^2+2x$は、
$x=-1$の時$y=-1$で最小値を取り、
$x<-3$または$x>1$の時
$y\geqq 8$
$\therefore -3\leqq c,d\leqq 1$
$d=0$の時式が成り立つ$c$が存在しない。
$d=1$の時も、式が成り立つ$c$が存在しない。
$\therefore c+d\geqq 0$
$c=d=0$の時$a=-b$
すると
$a^3+b^3+c^3+d^3=0\neq 24$
ゆえに$c=d=0$ではない。
$c+d\geqq 0$で、
$2c(c+2)$は$c=-1$の時最小
$2c(c+2)+2d(d+2)\geqq 0$
$\therefore cd(c+d)\leqq 12$
$\therefore c+d=12,cd=1$

または$c+d=6,cd=2$
または$c+d=4,cd=3$
または$c+d=3,cd=4$
または$c+d=2,cd=6$
または$c+d=1,cd=12$
しかし、$c<0$かつ$cd>0$かつ$c+d>0$になる$c, d$の組み合わせは存在しない。
（もっと早く気付くべきだった。）
$\therefore b\neq 2$
$b=3$の時
$c+d=0$とすると
$c=-d$
$3c(c+3)+3d(d+3)+cd(c+d)=0\neq 12$
$\therefore c+d\neq 0$

$c+d>0$とする。
$3c(c+3)+3d(d+3)+cd(c+d)=12$
$y=3(x^2+3x)$は
$x=-1.5$の時$y=-7.25$で最小値を取り、
$x<-4$または$x>1$の時
$y\geqq 30$
$cd(c+d)\leqq -48$
微分はしないが、いかなる場合にも
$3c(c+3)+3d(d+3)+cd(c+d)=12$
を満たすような$c,d$の組み合わせはない。
$\therefore c+d<0$
自動的に$cd<0$
すると
$cd(c+d)>0$
$3(c(c+3)+d(d+3))\leqq 11$
$\therefore c(c+3)+d(d+3)\leqq 3$
$c=-2$の時$d\geqq 3$
$\therefore c\neq -2$
$c=-3$の時$d\geqq 4$
$\therefore c\neq -3$
$c=-1$の時$d\geqq 2$
$\therefore c\neq -1$
同様に$c\neq 0$
$c$と$d$は入れ替えることができるので、式を満たすような$c,d$の組み合わせはない。
$\therefore b\neq 3$
$b=0$の時

仕上げ

$b$は$2$でも$3$でもない。
また$b<4$
$b=1$の時
$c+c^2+d+d^2+cd(c+d)=12$
$(c+d)(1+c+d+cd)=12-2cd$
$c<0, d<0$の時
$(c+d)(1+c+d+cd)=10,8,6,4,2$
調べてみると、条件を満たすような$c,d$の組み合わせはない。
$b=0$の時
$bc(b+c)+bd(b+d)+cd(c+d)=12$
$cd(c+d)=12$
$c=d\neq 1$
$c=d\neq 2$
$c< d$で$c=1$なら$d=3$
これは条件を満たさない。
異なる3つの$1$でない数の積で$12$は表せない。
$\therefore b\neq 0$
あれ？
$a$に条件が付いていない。
何の意味もないことをしてしまった。
いや、少なくとも2つ、負の数があることが分かった。
ここからどうするのか分からない。

諦めよう

人生諦めが肝心。

負の数が3つの場合

$a^3=b^3+c^3+d^3+24$
$a$と$b$が大きすぎると成り立たないと思う。
$a^3=(b+c)^3-3b^2c -3bc^2+d^3+24$
$-3b^2c-3bc^2$が無視できる位$b$と$d$に開きがあれば、$24$は小さすぎる。
コンピュータがあれば解けそう。

負の数が2つの場合

$a^3+b^3+c^3+d^3=24$
これを因数分解して、2つの数の積の和に直す。すると、
a:無茶苦茶小さい
b:無茶苦茶大きい
c:少し小さい
d:少し大きい
とすると、$a+b$と$c+d$が正でも負でも
$(a+b)(a^2+b^2+3ab(a+b)>0$
かつ
$(c+d)(a^2+b^2+3ab(a+b)>0$
よって、$24$は2つの自然数の積の和
$a+b,c+d\neq 1(\because 全ての数が0でない)$
また、$a< c$かつ$b>d$
$a^2+b^2$が$24$以上だと、条件を満たす式がない。
$a+b\geqq pm2$なら
$-2\leqq a,b\leqq 2$
$a< c$かつ$b>d$なので
$(a,b,c,d)=(-2,2,-1,1)$
これは条件を満たさない。
$\therefore a+b=\pm 1$
一番$a$が大きく、$a$の絶対値が小さいのは
$(a,b,c,d)=(-4,3,2,-1)$の時だが、これでも
$a^3+b^3+c^3+d^3=-30\neq 24$
符号を逆にしても大きすぎる。
$a,b,c,d$は全部負の数ではない。

ここまでの結論

正の数は1つだけしかない。
$(a,b,c,d)=(-3,1,1,1)$
の場合成り立つ。

仕上げ

$a=-3+n$とする。
$b^3+c^3+d^3=T$と置く。
$a^3+T=24$
$n^3+9n^2+27n-27+T=24$
上の式から下の式を引いて
$n^3+9n^2+27n-27-a^3=0$
$a^3=n^3+9n^2+27n-27$
$a\leqq -2$なので
$n^3+9n^2+27n\leqq 19$
$\therefore n^3+9n^2+27n=0, 1, 8$
つまり
$n^3+9n^2+27n=0$または
$n^3+9n^2+27n-8=0$または
$n^3+9n^2+27n-1=0$

微分

$n$を$x$とし、式を$y$とする。
導関数は
$y'=3(x+3)^2$
$y$は重解を持つ狭義単調増加関数に従う。
$x^3+9x^2+27x=0$の時
$x=0$
$x^3+9x^2+27x-1=0$の時
$x=-3$の時、$y=-28$
$x=1$の時、$y=36$
$x^3+9x^2+27x-8=0$の時
$x=-3$の時、$y=-35$
$x=1$の時、$y=29$
よって、題意を満たす$a, b, c, d$の組は、$(a,b,c,d)=(-3,1,1,1)$以外に存在しない。
Q. E. D.
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