東大数理院試過去問解答例(2014B02)

まず一般に体$K$上の$n$-変数多項式環$K[x_1,\cdots ,x_n]$の極大イデアルは、ある$(c_1,\cdots ,c_n)\in {\bar{K}}^n$を用いて$(x_1-c_1,\cdots ,x_n-c_n)\cap K[x_1,\cdots ,x_n]$と書き表せる。ここで求めたい$A$の極大イデアルは、$\mathbb{R}[x,y]$の$(x^2+y^2)$を含む極大イデアル$m$と対応している。上で述べたことからこのような極大イデアル$m$は$a\in \mathbb{C}$を用いて$m=(x-a,y\pm ia)\cap \mathbb{R}[x,y]$とあらわされる。もし$a=0$であれば$m=(x,y)$、もし$a\in \mathbb{R}$であれば$m=(x-a,y^2+a^2)$、もし$ia\in \mathbb{R}$であれば$m=(x^2+a^2,y-a)$である。それ以外の場合は$a=r+is$と置いたとき$(x^2-2rx+(r^2+s^2),rx-sy-(r^2+s^2))$である。以上から極大イデアルは実数$r,s$を用いて
$$(x^2+r^2,y-r)/(x^2+y^2)$$
$$(x-r,y^2+r^2)/(x^2+y^2)$$
$$(x^2-2r+(r^2+s^2),rx-sy-(r^2+s^2))$$
で表されるものと$(x,y)/(x^2+y^2)$で尽くされる。