東大数理院試過去問解答例(2014B02)
ここでは東大数理の修士課程の院試の2014B02の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
環$A:=\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2)$の極大イデアルを全て求めなさい。
まず一般に体$K$上の$n$-変数多項式環$K[x_1,\cdots,x_n]$の極大イデアルは、ある$(c_1,\cdots,c_n)\in\overline{K}^n$を用いて$(x_1-c_1,\cdots,x_n-c_n)\cap K[x_1,\cdots,x_n]$と書き表せる。ここで求めたい$A$の極大イデアルは、$\mathbb{R}[x,y]$の$(x^2+y^2)$を含む極大イデアル$m$と対応している。上で述べたことからこのような極大イデアル$m$は$a\in\mathbb{C}$を用いて$m=(x-a,y\pm ia)\cap\mathbb{R}[x,y]$とあらわされる。もし$a=0$であれば$m=(x,y)$、もし$a\in\mathbb{R}$であれば$m=(x-a,y^2+a^2)$、もし$ia\in\mathbb{R}$であれば$m=(x^2+a^2,y-a)$である。それ以外の場合は$a=r+is$と置いたとき$(x^2-2rx+(r^2+s^2),rx-sy-(r^2+s^2))$である。以上から極大イデアルは実数$r,s$を用いて
$$
{\color{red}(x^2+r^2,y-r)/(x^2+y^2)}
$$
$$
{\color{red}(x-r,y^2+r^2)/(x^2+y^2)}
$$
$$
{\color{red}(x^2-2r+(r^2+s^2),rx-sy-(r^2+s^2))}
$$
で表されるものと${\color{red}(x,y)/(x^2+y^2)}$で尽くされる。