東大数理院試過去問解答例(2014B02)

まず一般に体$K$上の$n$-変数多項式環$K[x_1,\cdots,x_n]$の極大イデアルは、ある$(c_1,\cdots,c_n)\in\overline{K}^n$を用いて$(x_1-c_1,\cdots,x_n-c_n)\cap K[x_1,\cdots,x_n]$と書き表せる。ここで求めたい$A$の極大イデアルは、$\mathbb{R}[x,y]$の$(x^2+y^2)$を含む極大イデアル$m$と対応している。上で述べたことからこのような極大イデアル$m$は$a\in\mathbb{C}$を用いて$m=(x-a,y\pm ia)\cap\mathbb{R}[x,y]$とあらわされる。もし$a=0$であれば$m=(x,y)$、もし$a\in\mathbb{R}$であれば$m=(x-a,y^2+a^2)$、もし$ia\in\mathbb{R}$であれば$m=(x^2+a^2,y-a)$、それ以外であれば$m=(x^2-2\mathrm{Re}(a)x+|a|^2,y^2+2\mathrm{Im}(a)+|a^2|)$である。いちばん最後の場合は$(x^2-2bx+(b^2+c^2),y^2-2cy+(b^2+c^2))$で表される。以上から極大イデアルは実数$r,s$を用いて
$$ {\color{red}(x^2+r^2,y-r)/(x^2+y^2)} $$
$$ {\color{red}(x-r,y^2+r^2)/(x^2+y^2)} $$
$$ {\color{red}(x^2-2r+(r^2+s^2),y^2-2s+(r^2+s^2))} $$
で表されるものと${\color{red}(x,y)/(x^2+y^2)}$で尽くされる。