ヤコビの二平方定理・四平方定理

\begin{align} \sum^\infty_{n=1}\frac{a_nq^n}{1-q^n} &=\sum^\infty_{n=1}a_n\sum^\infty_{m=1}(q^n)^m\\ &=\sum^\infty_{l=1}\l(\sum_{mn=l}a_n\r)q^l\\ &=\sum^\infty_{l=1}\l(\sum_{d\mid l}a_d\r)q^l\\ \end{align}
とわかる。

　上の補題においてそれぞれ
\begin{align} a_n&=\l\{\begin{array}{cl} 0&n\equiv0\pmod2\\ (-1)^{\frac{n-1}2}&n\equiv1\pmod2 \end{array}\r.\\\\ a_n&=\l\{\begin{array}{cl} 0&n\equiv0\pmod4\\ n&n\not\equiv0\pmod4 \end{array}\r.\\ \end{align}
とおくことでわかる。
　また最後の等号については
$$\frac x{1+x}=\frac x{1-x}-\frac{2x^2}{1-x^2}$$
に注意すると
\begin{align} \sum^\infty_{n=1}\frac{nq^n}{1+(-q)^n} &=\sum^\infty_{n=1}\frac{2nq^{2n}}{1+q^{2n}}+\sum^\infty_{\substack{n=1\\2\nmid n}}\frac{nq^{n}}{1-q^n}\\ &=\sum^\infty_{n=1}\l(\frac{2nq^{2n}}{1-q^{2n}}-\frac{4nq^{4n}}{1-q^{4n}}\r) +\sum^\infty_{\substack{n=1\\2\nmid n}}\frac{nq^{n}}{1-q^n}\\ &=\sum^\infty_{\substack{n=1\\4\nmid n}}\frac{nq^n}{1-q^n} \end{align}
とわかる。

\begin{align} \prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n-1}) &=\prod^\infty_{n=1}\frac{(1-q^{2n})(1-q^{2n-1})}{1-q^{2n}}\\ &=\prod^\infty_{n=1}\frac{1-q^n}{1-q^{2n}}\\ &=\prod^\infty_{n=1}\frac1{1+q^n} \end{align}
およびこのことから
\begin{align} \t_2(q)\t_3(q)\t_4(q) &=2q^{\frac14}\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})^3\{(1+q^{2n})(1+q^{2n-1})(1-q^{2n-1})\}^2\\ &=2q^{\frac14}\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})^3\{(1+q^n)(1-q^{2n-1})\}^2\\ &=2q^{\frac14}\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})^3\\ &=\t'_1(q) \end{align}
がわかる。

$$\t_2(1,q)=\t_2(q),\quad\t_3(1,q)=\t_3(q),\quad\t_4(1,q)=\t_4(q)$$
および
\begin{align} \lim_{z\to1}\frac{\t_1(z,q)}{z-1}&=\frac{\t'_1(q)}2=\frac12\t_2(q)\t_3(q)\t_4(q)\\ \lim_{z\to1}\frac{z^n-z^{-n}}{z-1}&=2n \end{align}
に注意するとわかる。

　$m$の偶奇によって$m=2n,-2n-1$とおくことで
\begin{align} \t_1(z,q^\frac12) &=\sum^\infty_{m=-\infty}(-1)^mq^{\frac12(m+\frac12)^2}z^{m+\frac12}\\ &=\sum^\infty_{n=-\infty}q^{\frac12(2n+\frac12)^2}z^{2n+\frac12} -\sum^\infty_{n=-\infty}q^{\frac12(2n+\frac12)^2}z^{-(2n+\frac12)}\\ &=f(z)-f(z^{-1}) \end{align}
とわかる。

　ヤコビの三重積から
\begin{align} f(z) &=q^{\frac18}z^\frac12\sum^\infty_{n=-\infty}(q^2)^{n^2}(qz^2)^n\\ &=q^{\frac18}z^\frac12\prod^\infty_{n=1}(1-q^{4n})(1+q^{2(2n-1)}(qz^2))(1+q^{2(2n-1)}(qz^2)^{-1})\\ &=q^{\frac18}z^\frac12\prod^\infty_{n=1}(1-q^{4n})(1+q^{4n-1}z^2)(1+q^{4n-3}z^{-2})\\ \end{align}
が成り立つことに注意すると
\begin{align} f(1) &=q^\frac18\prod^\infty_{n=1}(1-q^{4n})\c(1+q^{4n-1})(1+q^{4n-3})\\ &=q^\frac18\prod^\infty_{n=1}(1-q^n)(1+q^n)(1+q^{2n})\c(1+q^{2n-1})\\ &=q^\frac18\prod^\infty_{n=1}(1-q^n)(1+q^n)^2\\ \end{align}
および
\begin{align} z\frac d{dz}\log f(z) &=\frac12+2\sum^\infty_{n=1}\l(\frac{q^{4n-1}z^2}{1+q^{4n-1}z^2}-\frac{q^{4n-3}z^{-2}}{1+q^{4n-3}z^{-2}}\r)\\ \frac{f'(1)}{f(1)} &=\frac12+2\sum^\infty_{n=1}\l(\frac{q^{4n-1}}{1+q^{4n-1}}-\frac{q^{4n-3}}{1+q^{4n-3}}\r)\\ &=\frac12\l(1+4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}\r) \end{align}
を得る。

　補題11から
\begin{align} \frac12\t'_1(q^\frac12) &=\frac d{dz}\t_1(z,q^\frac12)\Bigg|_{z=1}\\ &=\frac d{dz}(f(z)-f(z^{-1}))\Bigg|_{z=1}\\ &=2f'(1) \end{align}
が成り立つので補題12より
\begin{alignat}{3} \frac12\frac{\t'_1(q^\frac12)}{f(1)} &=\prod^\infty_{n=1}\l(\frac{1-q^n}{1+q^n}\r)^2 &&=\t_4(q)^2\\ &=2\frac{f'(1)}{f(1)} &&=1+4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}} \end{alignat}
つまり
$$\t_3(q)^2=\t_4(-q)^2=1-4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{q^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}$$
を得る。

　$m,n$の偶奇の違いによって
$$(r,s)=\l\{\begin{array}{cl} \l(\frac{m+n}2,\frac{m-n}2\r)&m\equiv n\pmod2\\ \l(\frac{m-n-1}2,\frac{m+n+1}2\r)&m\not\equiv n\pmod2 \end{array}\r.$$
とおくと
$$(m,n)=\l\{\begin{array}{ll} \l(s+r,s-r\r)&m\equiv n\pmod2\\ \l(s+r,r-s-1\r)&m\not\equiv n\pmod2 \end{array}\r.$$
より
\begin{align} \l(m+\frac12\r)^2+\l(n+\frac12\r)^2 &=\l(r+s+\frac12\r)^2+\l(r-s+\frac12\r)^2\\ &=2(\l(r+\frac12\r)^2+s^2)\\ (2m+1)(2n+1) &=(-1)^{m+n}(2r+2s+1)(2r-2s+1)\\ &=(-1)^{m+n}((2r+1)^2-4s^2) \end{align}
が成り立つ。
　したがって
\begin{align} \t_1(q^\frac12)^2 &=\sum^\infty_{m,n=-\infty}(-1)^{m+n}(2m+1)(2n+1)q^{((m+\frac12)^2+(n+\frac12)^2)/2}\\ &=2\sum^\infty_{r,s=-\infty}((2r+1)^2-4s^2)q^{(r+\frac12)^2+s^2}\\ &=8(\l(\sum^\infty_{s=-\infty}q^{s^2}\r)\l(\sum^\infty_{r=-\infty}\l(r+\frac12\r)^2q^{(r+\frac12)^2}\r)-\l(\sum^\infty_{r=-\infty}q^{(r+\frac12)^2}\r)\l(\sum^\infty_{s=-\infty}s^2q^{s^2}\r))\\ &=8\l(\t_3(q)q\frac{d}{dq}\t_2(q)-\t_2(q)q\frac{d}{dq}\t_3(q)\r)\\ &=8\t_2(q)\t_3(q)\c q\frac{d}{dq}\log\frac{\t_2(q)}{\t_3(q)} \end{align}
を得る。

\begin{align} 4q\frac{d}{dq}\log\frac{\t_2(q)}{\t_3(q)} &=4q\frac{d}{dq}\log\l(q^\frac14\prod^\infty_{n=1}\frac{(1+q^{2n})^2}{(1+q^{2n-1})^2}\r)\\ &=1+8\sum^\infty_{n=1}\l(\frac{2nq^{2n}}{1+q^{2n}}-\frac{(2n-1)q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}\r)\\ &=1+8\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{nq^n}{1+q^n} \end{align}
および
\begin{align} \frac{\t_1(q^\frac12)^2}{2\t_2(q)\t_3(q)} &=\prod^\infty_{n=1}\frac{(1-q^n)^6}{(1-q^{2n})^2\c(1+q^{2n})^2(1+q^{2n-1})^2}\\ &=\prod^\infty_{n=1}\frac{(1-q^n)^4}{(1+q^n)^2\c(1+q^n)^2}\\ &=\t_4(q)^4 \end{align}
が成り立つことに注意すると補題14より
$$\t_3(q)^4=\t_4(-q)^4=1+8\sum^\infty_{n=1}\frac{nq^n}{1+(-q)^n}$$
を得る。