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テータ関数の積に関するヤコビの公式

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はじめに

　この記事ではこちら記事にて紹介した
$θ_{3} (τ)^{2} = 1 + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n}}{1 + q^{2 n}}$
のような公式のヤコビによる導出について解説していきます。
　今回の記事ではこの記事にまとめてある関係式をよく使うので適時ご参照ください。

概説

　上のような公式を導出するにあたって重要なのは変数を一つ増やしたときテータ関数は
$\begin{aligned} θ_{1} (v, τ) & = q^{\frac{1}{4}} \frac{z^{\frac{1}{2}} - z^{- \frac{1}{z}}}{i} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 - q^{2 n} z) (1 - q^{2 n} z^{- 1}) \\ θ_{2} (v, τ) & = q^{\frac{1}{4}} (z^{\frac{1}{2}} + z^{- \frac{1}{z}}) \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 + q^{2 n} z) (1 + q^{2 n} z^{- 1}) \\ θ_{3} (v, τ) & = \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 + q^{2 n - 1} z) (1 + q^{2 n - 1} z^{- 1}) \\ θ_{4} (v, τ) & = \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 - q^{2 n - 1} z) (1 - q^{2 n - 1} z^{- 1}) \end{aligned}$
という三重積を持つこと、そしてヤコビの楕円関数とテータ関数との間に
$\begin{aligned} k & = \frac{θ_{2} (τ)^{2}}{θ_{3} (τ)^{2}} & sn 2 K u & = \frac{θ_{3} (τ)}{θ_{2} (τ)} \frac{θ_{1} (u, τ)}{θ_{4} (u, τ)} \\ k^{'} & = \frac{θ_{4} (τ)^{2}}{θ_{3} (τ)^{2}} & cn 2 K u & = \frac{θ_{4} (τ)}{θ_{2} (τ)} \frac{θ_{2} (u, τ)}{θ_{4} (u, τ)} \\ K & = \frac{π}{2} θ_{3} (τ)^{2} & dn 2 K u & = \frac{θ_{4} (τ)}{θ_{3} (τ)} \frac{θ_{3} (u, τ)}{θ_{4} (u, τ)} \end{aligned}$
という関係があることにあります。
　実際ヤコビの楕円関数の $u$ に関する対数微分を取ることで
$(楕円積分) \times (楕円関数) = (ランベルト級数)$
のような関係式が得られ、 $u = 0$ とすることで
$(テータ関数) \times (テータ関数) = (ランベルト級数)$
といった公式が導出されることとなります。
　それでは以下で実際にその具体例を見ていくこととしましょう。

ヤコビの楕円関数のフーリエ級数展開

　この項における式番号はJacobi(1829)の第39節における式番号に対応させている。

$\begin{aligned} \frac{d}{d u} \log sn u & = k^{'} \frac{cn u}{cn (K - u)} \\ - \frac{d}{d u} \log cn u & = \frac{sn u}{sn (K - u)} \\ - \frac{d}{d u} \log dn u & = k^{2} sn u sn (K - u) \\ - \frac{d}{d u} \log \sqrt{\frac{1 - sn u}{1 + sn u}} & = \frac{1}{\sin (K - u)} \\ - \frac{d}{d u} \log \sqrt{\frac{1 - k sn u}{1 + k sn u}} & = k \sin (K - u) \\ \frac{d}{d u} \log (cn u + i sn u) & = i dn u \end{aligned}$

$\begin{aligned} (sn u)^{'} & = & cn u dn u \\ (cn u)^{'} & = & - sn u dn u \\ (dn u)^{'} & = & - k^{2} sn u cn u \end{aligned}$
から
$\begin{aligned} \frac{d}{d u} \log sn u & = \frac{cn u dn u}{sn u} \\ - \frac{d}{d u} \log cn u & = \frac{sn u dn u}{cn u} \\ - \frac{d}{d u} \log dn u & = k^{2} \frac{sn u cn u}{dn u} \\ - \frac{d}{d u} \log \sqrt{\frac{1 - sn u}{1 + sn u}} & = \frac{cn u dn u}{1 - {sn}^{2} u} = \frac{dn u}{cn u} \\ - \frac{d}{d u} \log \sqrt{\frac{1 - k sn u}{1 + k sn u}} & = \frac{k cn u dn u}{1 - k^{2} {sn}^{2} u} = k \frac{cn u}{dn u} \\ \frac{d}{d u} \log (cn u + i sn u) & = \frac{- sn u + i cn u}{cn u + i sn u} dn u = i dn u \end{aligned}$
が成り立つので
$sn (K - u) = \frac{cn u}{dn u}, cn (K - u) = k^{'} \frac{sn u}{dn u}$
に注意するとわかる。

$\begin{aligned} (11) & \frac{2 k^{'} K}{π} \frac{cn 2 K u}{cn (K - 2 K u)} & = \cot π u & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n}}{1 + q^{n}} \sin 2 π n u \\ (12) & \frac{2 K}{π} \frac{sn 2 K u}{sn (K - 2 K u)} & = \tan π u & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n}}{1 + (- q)^{n}} \sin 2 π n u \\ (13) & \frac{2 k^{2} K}{π} sn (2 K u) sn (K - 2 K u) & = & + 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{2 n - 1}}{1 - q^{4 n - 2}} \sin (4 n - 2) π u \\ (14) & \frac{2 K}{π} \frac{1}{sn (K - 2 K u)} & = \frac{1}{\cos π u} & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{2 n - 1}}{1 - q^{2 n - 1}} \cos (2 n - 1) π u \\ (15) & \frac{2 k K}{π} sn (K - 2 K u) & = & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{n - \frac{1}{2}}}{1 - q^{2 n - 1}} \cos (2 n - 1) π u \end{aligned}$

　この記事にて紹介した
$sn 2 K u = \frac{θ_{3} (τ)}{θ_{2} (τ)} \frac{θ_{1} (u, τ)}{θ_{4} (v, τ)} = \frac{θ_{3} (τ)}{θ_{2} (τ)} \cdot 2 \sin π u \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 - q^{2 n} z) (1 - q^{2 n} z^{- 1})}{(1 - q^{2 n - 1} z) (1 - q^{2 n - 1} z^{- 1})}$
といった公式を $u$ について対数微分することで
$\begin{aligned} \frac{1}{2 π i} \frac{d}{d u} \log ((1 - q^{m} z) (1 - q^{m} z^{- 1})) & = \frac{- q^{m} z}{1 - q^{m} z} + \frac{q^{m} z^{- 1}}{1 - q^{m} z^{- 1}} \\ = - \sum_{k = 1}^{\infty} ((q^{m} z)^{k} - (q^{m} z^{- 1})^{k}) \\ = - 2 i \sum_{k = 1}^{\infty} q^{m k} \sin 2 π k u \end{aligned}$
$\begin{aligned} \frac{2 k^{'} K}{π} \frac{cn 2 K u}{cn (K - 2 K u)} & = \frac{\cos π u}{\sin π u} + \frac{1}{π} \frac{d}{d u} \sum_{m = 1}^{\infty} (- 1)^{m} \log ((1 - q^{m} z) (1 - q^{m} z^{- 1})) \\ = \cot π u + 4 \sum_{k = 1}^{\infty} (\sum_{m = 1}^{\infty} (- 1)^{m} q^{m k}) \sin 2 π k u \\ = \cot π u - 4 \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{q^{k}}{1 + q^{k}} \sin 2 π k u \end{aligned}$
のようにしてわかる。

$\begin{aligned} (16) & \frac{2 k^{'} K}{π} \frac{cn (K - 2 K u)}{cn 2 K u} & = \tan π u & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{n}}{1 + q^{n}} \sin 2 π n u \\ (17) & \frac{2 K}{π} \frac{sn (K - 2 K u)}{sn 2 K u} & = \cot π u & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{n}}{1 + (- q)^{n}} \sin 2 π n u \\ (18) & \frac{2 K}{π} \frac{1}{sn 2 K u} & = \frac{1}{\sin π u} & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{2 n - 1}}{1 - q^{2 n - 1}} \sin (2 n - 1) π u \\ (19) & \frac{2 k K}{π} sn 2 K u & = & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n - \frac{1}{2}}}{1 - q^{2 n - 1}} \sin (2 n - 1) π u \end{aligned}$

　 $(11), (12)$ および $(13), (14)$ 式において $u \mapsto \frac{1}{2} - u$ とすることでわかる。

$\begin{aligned} (20) & \frac{2 k^{'} K}{π} \frac{1}{cn 2 K u} & = \frac{1}{\cos π u} & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{2 n - 1}}{1 + q^{2 n - 1}} \cos (2 n - 1) π u \\ (21) & \frac{2 k K}{π} cn 2 K u & = & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n - \frac{1}{2}}}{1 + q^{2 n - 1}} \cos (2 n - 1) π u \\ (22) & \frac{2 k^{'} K}{π} \frac{1}{cn (K - 2 K u)} & = \frac{1}{\sin π u} & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{2 n - 1}}{1 + q^{2 n - 1}} \sin (2 n - 1) π u \\ (23) & \frac{2 k K}{π} cn (K - 2 K u) & = & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{n - \frac{1}{2}}}{1 + q^{2 n - 1}} \sin (2 n - 1) π u \end{aligned}$

　 $(14), (15)$ および $(18), (19)$ 式において $τ \mapsto τ + 1$ としたとき
$\begin{aligned} k & \mapsto e^{\frac{π i}{2}} k / k^{'} \\ K & \mapsto k^{'} K \\ sn (2 K u, k) & \mapsto \frac{θ_{4} (τ)}{θ_{2} (τ)} \frac{θ_{1} (u, τ)}{θ_{3} (u, τ)} = k^{'} \frac{sn 2 K u}{dn 2 K u} = cn (K - 2 K u) \end{aligned}$
が成り立つことに注意するとわかる。

$\begin{aligned} (25) & \frac{2 K}{π} dn 2 K u & = 1 + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n}}{1 + q^{2 n}} \cos 2 π n u \\ (26) & \frac{2 k^{'} K}{π} \frac{1}{dn 2 K u} & = 1 + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{n}}{1 + q^{2 n}} \cos 2 π n u \end{aligned}$

　 $(25)$ 式については上と同様に
$cn 2 K u + i sn 2 K u = z^{\frac{1}{2}} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 - q^{4 n - 1} z) / (1 - q^{4 n - 1} z^{- 1})}{(1 - q^{4 n - 3} z) / (1 - q^{4 n - 3} z^{- 1})}$
を対数微分することでわかる。
　また $(26)$ 式については $(25)$ 式において $u \mapsto \frac{1}{2} - u$ および $τ \mapsto τ + 1$ とすることでわかる。

テータ関数の積のランベルト級数展開

　この項における式番号は上の項における式番号と対応させており、Jacobi(1829)の第40節における式番号とは異なることに注意する。
　いま
$\begin{aligned} sn 0 & = 0 & cn 0 & = 1 & dn 0 & = 1 \\ sn K & = 1 & cn K & = 0 & dn K & = k^{'} \end{aligned}$
および
$lim_{u \to 0} \frac{sn u}{u} = 1, lim_{u \to 0} \frac{cn (K - u)}{u} = k^{'}$
に注意して上の公式

$u = 0$ を極にも零点にも持たないもの

$\begin{aligned} (14) & \frac{2 K}{π} \frac{1}{sn (K - 2 K u)} & = \frac{1}{\cos π u} & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{2 n - 1}}{1 - q^{2 n - 1}} \cos (2 n - 1) π u \\ (15) & \frac{2 k K}{π} sn (K - 2 K u) & = & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{n - \frac{1}{2}}}{1 - q^{2 n - 1}} \cos (2 n - 1) π u \\ (20) & \frac{2 k^{'} K}{π} \frac{1}{cn 2 K u} & = \frac{1}{\cos π u} & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{2 n - 1}}{1 + q^{2 n - 1}} \cos (2 n - 1) π u \\ (21) & \frac{2 k K}{π} cn 2 K u & = & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n - \frac{1}{2}}}{1 + q^{2 n - 1}} \cos (2 n - 1) π u \\ (25) & \frac{2 K}{π} dn 2 K u & = 1 & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n}}{1 + q^{2 n}} \cos 2 π n u \\ (26) & \frac{2 k^{'} K}{π} \frac{1}{dn 2 K u} & = 1 & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{n}}{1 + q^{2 n}} \cos 2 π n u \end{aligned}$

$u = 0$ を零点に持つもの

$\begin{aligned} (12) & \frac{2 K}{π} \frac{sn 2 K u}{sn (K - 2 K u)} & = \tan π x & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n}}{1 + (- q)^{n}} \sin 2 π n u \\ (13) & \frac{2 k^{2} K}{π} sn (2 K u) sn (K - 2 K u) & = & + 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{2 n - 1}}{1 - q^{4 n - 2}} \sin (4 n - 2) π u \\ (16) & \frac{2 k^{'} K}{π} \frac{cn (K - 2 K u)}{cn 2 K u} & = \tan π u & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{n}}{1 + q^{n}} \sin 2 π n u \\ (19) & \frac{2 k K}{π} sn 2 K u & = & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n - \frac{1}{2}}}{1 - q^{2 n - 1}} \sin (2 n - 1) π u \\ (23) & \frac{2 k K}{π} cn (K - 2 K u) & = & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{n - \frac{1}{2}}}{1 + q^{2 n - 1}} \sin (2 n - 1) π u \end{aligned}$

の $u = 0$ における挙動を考えることで以下の公式を得る。なお $τ \mapsto 2 τ$ において
$k^{'} \frac{2 K}{π} \mapsto \sqrt{k^{'}} \frac{2 K}{π} (∵ θ_{4} (2 τ)^{2} = θ_{3} (τ) θ_{4} (τ))$
となることに注意する。

$\begin{aligned} (14) & \frac{2 K}{π} & = 1 & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{2 n - 1}}{1 - q^{2 n - 1}} \\ (26) & = 1 & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n}}{1 + q^{2 n}} \\ (15) & k \frac{2 K}{π} & = & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{n - \frac{1}{2}}}{1 - q^{2 n - 1}} \\ (21) & = & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n - \frac{1}{2}}}{1 + q^{2 n - 1}} \\ (20) & k^{'} \frac{2 K}{π} & = 1 & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{2 n - 1}}{1 + q^{2 n - 1}} \\ (25) & = 1 & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{n}}{1 + q^{2 n}} \\ (20, τ \mapsto 2 τ) & \sqrt{k^{'}} \frac{2 K}{π} & = 1 & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{4 n - 2}}{1 + q^{4 n - 2}} \\ (25, τ \mapsto 2 τ) & = 1 & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{2 n}}{1 + q^{4 n}} \\ (12) & {(\frac{2 K}{π})}^{2} & = 1 & + 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n q^{n}}{1 + (- q)^{n}} \\ (13) & k^{2} {(\frac{2 K}{π})}^{2} & = & + 16 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n - 1) q^{2 n - 1}}{1 - q^{4 n - 2}} \\ (16) & k^{' 2} {(\frac{2 K}{π})}^{2} & = 1 & + 8 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{n q^{n}}{1 + q^{n}} \\ (23) & k k^{'} {(\frac{2 K}{π})}^{2} & = & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{(2 n - 1) q^{n - \frac{1}{2}}}{1 + q^{2 n - 1}} \\ (16, τ \mapsto 2 τ) & k^{'} {(\frac{2 K}{π})}^{2} & = 1 & + 8 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{n q^{2 n}}{1 + q^{2 n}} \\ (19) & k {(\frac{2 K}{π})}^{2} & = & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n - 1) q^{n - \frac{1}{2}}}{1 - q^{2 n - 1}} \end{aligned}$

　また
$\begin{aligned} (cn u)^{″} & = - ((cn u dn u) dn u + sn u (- k^{2} sn u cn u)) \\ = - cn u (1 - 2 k^{2} {sn}^{2} u) \\ (dn u)^{″} & = - k^{2} ((cn u dn u) cn u + sn u (- sn u dn u)) \\ = - k^{2} dn u (1 - 2 {sn}^{2} u) \end{aligned}$
より $u \to 0$ において
$\begin{aligned} cn u & = 1 - \frac{1}{2} u^{2} + O (u^{4}) \\ \frac{1}{cn u} & = 1 + \frac{1}{2} u^{2} + O (u^{4}) \\ dn u & = 1 - \frac{k^{2}}{2} u^{2} + O (u^{4}) \end{aligned}$
と表せることに注意すると
$\begin{aligned} (21) & \frac{2 k K}{π} cn 2 K u & = & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n - \frac{1}{2}}}{1 + q^{2 n - 1}} \cos (2 n - 1) π u \\ (20) & \frac{2 k^{'} K}{π} \frac{1}{cn 2 K u} & = \frac{1}{\cos π u} & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{2 n - 1}}{1 + q^{2 n - 1}} \cos (2 n - 1) π u \\ (25) & \frac{2 K}{π} dn 2 K u & = 1 & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n}}{1 + q^{2 n}} \cos 2 π n u \end{aligned}$
を二階微分することで以下を得る。

$\begin{aligned} (21) & k {(\frac{2 K}{π})}^{3} & = & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n - 1)^{2} q^{n - \frac{1}{2}}}{1 + q^{2 n - 1}} \\ (20) & k^{'} {(\frac{2 K}{π})}^{3} & = 1 & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{(2 n - 1)^{2} q^{2 n - 1}}{1 + q^{2 n - 1}} \\ (25) & k^{2} {(\frac{2 K}{π})}^{3} & = & + 16 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} q^{n}}{1 + q^{2 n}} \\ (21, τ \mapsto τ + 1) & k k^{' 2} {(\frac{2 K}{π})}^{3} & = & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{(2 n - 1)^{2} q^{n - \frac{1}{2}}}{1 - q^{2 n - 1}} \\ (20, τ \mapsto τ + 1) & k^{' 2} {(\frac{2 K}{π})}^{3} & = 1 & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{(2 n - 1)^{2} q^{2 n - 1}}{1 - q^{2 n - 1}} \\ (25, τ \mapsto τ + 1) & k^{2} k^{'} {(\frac{2 K}{π})}^{3} & = & - 16 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{n^{2} q^{n}}{1 + q^{2 n}} \end{aligned}$

　またこれらを適当に変形することで
$\begin{aligned} {(\frac{2 K}{π})}^{3} & = k^{2} {(\frac{2 K}{π})}^{3} + k^{' 2} {(\frac{2 K}{π})}^{3} \\ k^{3} {(\frac{2 K}{π})}^{3} & = k {(\frac{2 K}{π})}^{3} - k k^{' 2} {(\frac{2 K}{π})}^{3} \\ k^{' 3} {(\frac{2 K}{π})}^{3} & = k^{'} {(\frac{2 K}{π})}^{3} - k^{'} k^{2} {(\frac{2 K}{π})}^{3} \\ \sqrt{k^{3}} {(\frac{2 K}{π})}^{3} & = (θ_{2} (τ) θ_{3} (τ))^{3} = \frac{1}{8} θ_{2} {(\frac{τ}{2})}^{3} \\ \sqrt{k^{' 3}} {(\frac{2 K}{π})}^{3} & = (θ_{3} (τ) θ_{4} (τ))^{3} = θ_{4} (2 τ)^{6} \\ \sqrt{(k k^{'})^{3}} {(\frac{2 K}{π})}^{3} & = \frac{1}{8} θ_{2} {(\frac{τ + 1}{2})}^{6} \end{aligned}$
の $q$ -展開も求めることができる(明示形についてはこの記事を参照されたい)。

$8$ 次の積について

　より高次の積についても同様にして求めることができると推測されるが、ヤコビの楕円関数の展開係数は例えば
$\begin{aligned} sn u & = u - \frac{1 + k^{2}}{3!} u^{3} + \frac{1 + 14 k^{2} + k^{4}}{5!} u^{5} + \dots \\ \frac{u^{2}}{{sn}^{2} u} & = 1 + \frac{1 + k^{2}}{3} u^{2} + \frac{1 - k^{2} + k^{4}}{15} u^{4} + \dots \end{aligned}$
のように一般に $k, k^{'}$ についての多項式となるため
$(k, k^{'} についての単項式) \times {(\frac{2 K}{π})}^{n}$
という形を作るのは骨が折れるものと考えられる。
　しかし $n = 4$ の場合の一部については次のような式を考えることで比較的簡単に求めることができる。

$A = {(\frac{2 k K}{π})}^{2} \int_{0}^{1} {sn}^{2} (2 K t) d t$
とおくと
$\begin{matrix} (§41, 1) & {(\frac{2 k K}{π})}^{2} {sn}^{2} 2 K u = A - 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n q^{n}}{1 - q^{2 n}} \cos 2 π n u \end{matrix}$
が成り立つ。

$\begin{matrix} (19) & \frac{2 k K}{π} sn 2 K u = 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n - \frac{1}{2}}}{1 - q^{2 n - 1}} \sin (2 n - 1) π u \end{matrix}$
を二乗したとき、積和の公式
$2 \cos ((2 l - 1) x) \sin ((2 m - 1) x) = \cos (2 (l - m) x) - \cos (2 (l + m - 1) x)$
からある $u$ に依らない定数
$A = 8 \sum_{l = 1}^{\infty} \frac{q^{2 l - 1}}{(1 - q^{2 l - 1})^{2}}$
と
$\begin{aligned} A_{n} & = 2 B_{n} - C_{n} \\ B_{n} & = \sum_{l = 1}^{\infty} \frac{q^{n + 2 l - 1}}{(1 - q^{2 l - 1}) (1 - q^{2 (n + l) - 1})} \\ C_{n} & = \sum_{l = 1}^{n} \frac{q^{n}}{(1 - q^{2 l - 1}) (1 - q^{2 (n - l) + 1})} \end{aligned}$
を用いて
${(\frac{2 k K}{π})}^{2} {sn}^{2} 2 K u = A + 8 \sum_{n = 1}^{\infty} A_{n} \cos 2 π n u$
と表せる。
　いま
$\begin{aligned} \frac{q^{n + m}}{(1 - q^{m}) (1 - q^{2 n + m})} & = \frac{q^{n}}{1 - q^{2 n}} (\frac{q^{m}}{1 - q^{m}} - \frac{q^{2 n + m}}{1 - q^{2 n + m}}) \\ \frac{q^{n}}{(1 - q^{m}) (1 - q^{2 n - m})} & = \frac{q^{n}}{1 - q^{2 n}} (\frac{q^{m}}{1 - q^{m}} + \frac{q^{2 n - m}}{1 - q^{2 n - m}} + 1) \end{aligned}$
のように分解すると
$\begin{aligned} B_{n} & = \frac{q^{n}}{1 - q^{2 n}} (\sum_{l = 1}^{\infty} \frac{q^{2 l - 1}}{1 - q^{2 l - 1}} - \sum_{l = n + 1}^{\infty} \frac{q^{2 l - 1}}{1 - q^{2 l - 1}}) \\ = \frac{q^{n}}{1 - q^{2 n}} \sum_{l = 1}^{n} \frac{q^{2 l - 1}}{1 - q^{2 l - 1}} \\ C_{n} & = \frac{n q^{n}}{1 - q^{2 n}} + 2 \sum_{l = 1}^{n} \frac{q^{2 l - 1}}{1 - q^{2 l - 1}} \end{aligned}$
と変形できるので
$A_{n} = 2 B_{n} - C_{n} = - \frac{n q^{n}}{1 - q^{2 n}}$
を得る。
　また $A$ はフーリエ級数の定数項として
$A = {(\frac{2 k K}{π})}^{2} \int_{0}^{1} {sn}^{2} (2 K t) d t$
と表せる。

$\begin{aligned} k^{2} {(\frac{2 K}{π})}^{4} & = & 16 & \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{3} q^{n}}{1 - q^{2 n}} \\ k^{2} k^{' 2} {(\frac{2 K}{π})}^{4} & = & - 16 & \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{n^{3} q^{n}}{1 - q^{2 n}} \\ k^{4} {(\frac{2 K}{π})}^{4} & = & 256 & \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{3} q^{2 n}}{1 - q^{4 n}} \end{aligned}$

　第一式については $(§ 41, 1)$ 式を $u$ で二階微分して $u = 0$ とすることで得られる。
　第二式については第一式において $τ \mapsto τ + 1$ とすることで得られる。
　第三式については第一式と第二式を足し合わせることで得られる。

$\begin{array}{r} (§42, 2) & {(\frac{2 K}{π})}^{2} \frac{1}{{sn}^{2} 2 K u} = A + \frac{1}{\sin^{2} π u} - 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n q^{2 n}}{1 - q^{2 n}} \cos 2 π n u \end{array}$

　 $\log sn u$ を二階微分すると
$\begin{aligned} \frac{d^{2}}{d u^{2}} \log sn u & = \frac{d}{d u} \frac{cn u dn u}{sn u} \\ = \frac{((- sn u dn u) dn u + cn u (- k^{2} sn u cn u)) sn u - (cn u dn u)^{2}}{{sn}^{2} u} \\ = - \frac{(1 + k^{2} - 2 k^{2} {sn}^{2} u) {sn}^{2} u + (1 - {sn}^{2} u) (1 - k^{2} {sn}^{2} u)}{{sn}^{2} u} \\ = k^{2} {sn}^{2} u - \frac{1}{{sn}^{2} u} \end{aligned}$
が成り立つので
$\begin{aligned} (§41, 1) & {(\frac{2 k K}{π})}^{2} {sn}^{2} 2 K u & = A & - 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n q^{n}}{1 - q^{2 n}} \cos 2 π n u \\ (11) & \frac{1}{π} \frac{d}{d u} \log sn 2 K u & = \cot π u & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n}}{1 + q^{n}} \sin 2 π n u \end{aligned}$
に注意すると
$\begin{aligned} {(\frac{2 K}{π})}^{2} \frac{1}{{sn}^{2} 2 K u} & = A - 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n q^{n}}{1 - q^{2 n}} \cos 2 π n u \\ - (- \frac{1}{\sin^{2} π u} - 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n q^{n}}{1 + q^{n}} \cos 2 π n u) \\ = A + \frac{1}{\sin^{2} π u} - 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n q^{n} (1 - (1 - q^{n}))}{1 - q^{2 n}} \cos 2 π n u \\ = A + \frac{1}{\sin^{2} π u} - 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n q^{2 n}}{1 - q^{2 n}} \cos 2 π n u \end{aligned}$
を得る。

$\begin{aligned} k^{' 4} {(\frac{2 K}{π})}^{4} & = 1 + 16 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{n^{3} q^{n}}{1 - q^{n}} \\ k^{' 2} {(\frac{2 K}{π})}^{4} & = 1 + 16 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{n^{3} q^{2 n}}{1 - q^{2 n}} \\ {(\frac{2 K}{π})}^{4} & = 1 + 16 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{3} q^{n}}{1 + q^{n}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{1}{{sn}^{2} u} & = \frac{1}{u^{2}} + \frac{1 + k^{2}}{3} + \frac{1 - k^{2} + k^{4}}{15} u^{2} + \dots \\ \frac{1}{\sin^{2} x} & = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{3} + \frac{x^{2}}{15} + \dots \end{aligned}$
に注意して $(§ 42, 2)$ 式における $u^{2}$ の係数を考えることで
$\frac{1 - k^{2} + k^{4}}{15} {(\frac{2 K}{π})}^{4} = \frac{1}{15} + 16 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{3} q^{2 n}}{1 - q^{2 n}}$
が成り立つ。
　いま
$\begin{aligned} k^{2} {(\frac{2 K}{π})}^{4} & = 16 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{3} q^{n}}{1 - q^{2 n}} \\ = 16 \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{n^{3} q^{n}}{1 - q^{n}} - \frac{n^{3} q^{2 n}}{1 - q^{2 n}}) \end{aligned}$
に注意すると
$\begin{aligned} k^{' 4} {(\frac{2 K}{π})}^{4} & = (1 - k^{2} + k^{4}) {(\frac{2 K}{π})}^{4} - k^{2} {(\frac{2 K}{π})}^{4} \\ = 1 + 16 \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{16 n^{3} q^{2 n}}{1 - q^{2 n}} - \frac{n^{3} q^{n}}{1 - q^{n}}) \\ = 1 + 16 \sum_{n = 1}^{\infty} (2 \cdot \frac{(2 n)^{3} q^{2 n}}{1 - q^{2 n}} - \frac{n^{3} q^{n}}{1 - q^{n}}) \\ = 1 + 16 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{n^{3} q^{n}}{1 - q^{n}} \end{aligned}$
を得る。
　また第二式については第一式において $τ \mapsto 2 τ$ とすることで得られ、第三式については第一式において $τ \mapsto τ + 1$ とすることで得られる。

おまけ

$B = {(\frac{2 k K}{π})}^{2} \int_{0}^{1} {cn}^{2} (2 K t) d t, C = {(\frac{2 K}{π})}^{2} \int_{0}^{1} {dn}^{2} (2 K t) d t$
とおくと
$\begin{aligned} (§41, 2) & {(\frac{2 k K}{π})}^{2} {cn}^{2} 2 K u & = B + 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n q^{n}}{1 - q^{2 n}} \cos 2 π n u \\ (§42, 3) & {(\frac{2 k^{'} K}{π})}^{2} \frac{1}{{cn}^{2} 2 K u} & = - B + \frac{1}{\cos^{2} π u} - 8 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{n q^{n}}{1 - q^{2 n}} \cos 2 π n u \\ (§42, 4) & {(\frac{2 K}{π})}^{2} {dn}^{2} 2 K u & = C + 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n q^{n}}{1 - q^{2 n}} \cos 2 π n u \\ (§42, 5) & {(\frac{2 k^{'} K}{π})}^{2} \frac{1}{{dn}^{2} 2 K u} & = C + 8 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{n q^{n}}{1 - q^{2 n}} \cos 2 π n u \end{aligned}$
が成り立つ。

　第一、三式については
${cn}^{2} u = 1 - {sn}^{2} u, {dn}^{2} u = 1 - k^{2} {sn}^{2} u$
に注意すると $(§ 41, 1)$ 式からわかる。
　また第二、四式についてはそれぞれ $(§ 42, 2), (§ 42, 4)$ 式において $u \mapsto \frac{1}{2} - u$ および $τ \mapsto τ + 1$ とすることで得られる。

公式集

　最後に今回出てきたヤコビの楕円関数のフーリエ級数展開公式を整理しておこう。なおテータ関数のランベルト級数展開についてはこの記事にまとめてあるのでそちらを参照されたい。
　以下 $v = π u / 2 K$ とおく。

$\begin{aligned} (19) & \frac{2 k K}{π} sn u & = & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n - \frac{1}{2}}}{1 - q^{2 n - 1}} \sin (2 n - 1) v \\ (18) & \frac{2 K}{π} \frac{1}{sn u} & = & \frac{1}{\sin v} & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{2 n - 1}}{1 - q^{2 n - 1}} \sin (2 n - 1) v \\ (21) & \frac{2 k K}{π} cn u & = & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n - \frac{1}{2}}}{1 + q^{2 n - 1}} \cos (2 n - 1) v \\ (20) & \frac{2 k^{'} K}{π} \frac{1}{cn u} & = & \frac{1}{\cos v} & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{2 n - 1}}{1 + q^{2 n - 1}} \cos (2 n - 1) v \\ (25) & \frac{2 K}{π} dn u & = & 1 & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n}}{1 + q^{2 n}} \cos 2 n v \\ (26) & \frac{2 k^{'} K}{π} \frac{1}{dn u} & = & 1 & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{n}}{1 + q^{2 n}} \cos 2 n v \\ (23) & \frac{2 k k^{'} K}{π} \frac{sn u}{dn u} & = & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{n - \frac{1}{2}}}{1 + q^{2 n - 1}} \sin (2 n - 1) v \\ (22) & \frac{2 K}{π} \frac{dn u}{sn u} & = & \frac{1}{\sin v} & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{2 n - 1}}{1 + q^{2 n - 1}} \sin (2 n - 1) v \\ (15) & \frac{2 k K}{π} \frac{cn u}{dn u} & = & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{n - \frac{1}{2}}}{1 - q^{2 n - 1}} \cos (2 n - 1) v \\ (14) & \frac{2 K}{π} \frac{dn u}{cn u} & = & \frac{1}{\cos v} & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{2 n - 1}}{1 - q^{2 n - 1}} \cos (2 n - 1) v \\ (16) & \frac{2 k^{' 2} K}{π} \frac{sn u}{cn u dn u} & = & \tan v & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{n}}{1 + q^{n}} \sin 2 n v \\ (11) & \frac{2 K}{π} \frac{cn u dn u}{sn u} & = & \cot v & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n}}{1 + q^{n}} \sin 2 n v \\ (17) & \frac{2 K}{π} \frac{cn u}{sn u dn u} & = & \cot v & - 4 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{q^{n}}{1 + (- q)^{n}} \sin 2 n v \\ (12) & \frac{2 K}{π} \frac{sn u dn u}{cn u} & = & \tan v & + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n}}{1 + (- q)^{n}} \sin 2 n v \\ (13) & \frac{2 k^{2} K}{π} \frac{sn u cn u}{dn u} & = & + 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{2 n - 1}}{1 - q^{4 n - 2}} \sin (4 n - 2) v \end{aligned}$

$\begin{aligned} (§41, 1) & {(\frac{2 k K}{π})}^{2} {sn}^{2} u & = & A & - 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n q^{n}}{1 - q^{2 n}} \cos 2 n v \\ (§42, 2) & {(\frac{2 K}{π})}^{2} \frac{1}{{sn}^{2} u} & = & \frac{1}{\sin^{2} v} + A & - 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n q^{2 n}}{1 - q^{2 n}} \cos 2 n v \\ (§41, 2) & {(\frac{2 k K}{π})}^{2} {cn}^{2} u & = & B & + 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n q^{n}}{1 - q^{2 n}} \cos 2 n v \\ (§42, 3) & {(\frac{2 k^{'} K}{π})}^{2} \frac{1}{{cn}^{2} u} & = & \frac{1}{\cos^{2} v} - B & - 8 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{n q^{n}}{1 - q^{2 n}} \cos 2 n v \\ (§42, 4) & {(\frac{2 K}{π})}^{2} {dn}^{2} u & = & C & + 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n q^{n}}{1 - q^{2 n}} \cos 2 n v \\ (§42, 5) & {(\frac{2 k^{'} K}{π})}^{2} \frac{1}{{dn}^{2} u} & = & C & + 8 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{n q^{n}}{1 - q^{2 n}} \cos 2 n v \end{aligned}$

参考文献

[1]

C. G. J. Jacobi, Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum, 1829

[2]

C. G. J. Jacobi 著, 高瀬正仁訳, 楕円関数原論, 講談社, 2012

投稿日：2024年2月3日

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子葉

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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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テータ関数の積に関するヤコビの公式

はじめに
概説
ヤコビの楕円関数のフーリエ級数展開
テータ関数の積のランベルト級数展開
$8$ 次の積について
公式集
参考文献

テータ関数の積に関するヤコビの公式

はじめに

概説

ヤコビの楕円関数のフーリエ級数展開

テータ関数の積のランベルト級数展開

u=0を極にも零点にも持たないもの

u=0を零点に持つもの

8次の積について

おまけ

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