ヤコビの楕円関数とテータ関数まとめ
はじめに
この記事ではヤコビの楕円関数とテータ関数に関する公式をまとめていきます。
完全楕円積分
この項で紹介する導出については この記事 の第4節にてまとめてあります。
$0\leq k\leq1$および$-1\leq x\leq 1$に対して
\begin{align}
K(x,k)&=\int^x_0\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}\\
E(x,k)&=\int^x_0\sqrt{\frac{1-k^2t^2}{1-t^2}}dt
\end{align}
と定められる関数のことを(第一種,第二種)不完全楕円積分と言う。またその$x=1$における値
\begin{align}
K(1,k)&=\int^1_0\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}\\
E(1,k)&=\int^1_0\sqrt{\frac{1-k^2t^2}{1-t^2}}dt
\end{align}
のことを(第一種,第二種)完全楕円積分と言い、単に$K=K(k)$と表す。
楕円積分に付随するパラメーター$k$を母数(modulus)と言い、これに対して
$$k'=\sqrt{1-k^2}$$
と定められるパラメーターを補母数(complementary modulus)と言う。
また慣例として補母数に関する楕円積分$K(k')$のことを$K'=K'(k)$と表す。微分との混同を避けるため$dK/dk$は$\dot K$と書かれる。$E$についても同様である。
\begin{align} kk'^2\frac{dK}{dk}&=E-k'^2K& kk'^2\frac{dE}{dk}&=k'^2(E-K)\\ kk'^2\frac{dK'}{dk}&=-(E'-k^2K')& kk'^2\frac{dE'}{dk}&=-k^2(E'-K')\\ \end{align}
$$KE'+K'E-KK'=\frac\pi2$$
$$\frac d{dk}\frac{K'}K=-\frac\pi{2kk'^2K^2}$$
ヤコビの楕円関数
この項で紹介する公式の導出については この記事 にてまとめてあります。
不完全楕円積分の逆関数として定まる関数
$$x=\sn(u,k)\quad\overset{\mathrm{def}}\iff\quad u=K(x,k)$$
およびこれに対し
$$\cn(u,k)=\sqrt{1-\sn^2(u,k)},\quad\dn(u,k)=\sqrt{1-k^2\sn^2(u,k)}$$
と定められる関数$\sn,\cn,\dn$のことをヤコビの楕円関数と言う。
これらはしばしば母数$k$を省略して$\sn u,\cn u,\dn u$と表される。
\begin{alignat}{3} (\sn u)'&=&\cn u\dn u\\ (\cn u)'&=&-\sn u\dn u\\ (\dn u)'&=&-k^2\sn u\cn u \end{alignat}
\begin{align} \sn(u+v)&=\frac{\sn u\cn v\dn v+\sn v\cn u\dn u}{1-k^2\sn^2u\sn^2v}\\ \cn(u+v)&=\frac{\cn u\cn v-\sn u\dn u\sn v\dn v}{1-k^2\sn^2u\sn^2v}\\ \dn(u+v)&=\frac{\dn u\dn v-k^2\sn u\cn u\sn v\cn v}{1-k^2\sn^2u\sn^2v} \end{align}
\begin{alignat}{5}
\sn(u+K)&=&\frac{\cn u}{\dn u}&&\qquad
\sn(u+iK')&=&\frac1k\frac1{\sn u}\\
\cn(u+K)&=&-k'\frac{\sn u}{\dn u}&&
\cn(u+iK')&=&-\frac ik\frac{\dn u}{\sn u}\\
\dn(u+K)&=&k'\frac1{\dn u}&&
\dn(u+iK')&=&-i\frac{\cn u}{\sn u}
\end{alignat}
特に
\begin{alignat}{5}
\sn(u+2K)&=&-\sn u&&\qquad
\sn(u+2iK')&=&\sn u\\
\cn(u+2K)&=&-\cn u&&
\cn(u+2iK')&=&-\cn u\\
\dn(u+2K)&=&\dn u&&
\dn(u+2iK')&=&-\dn u
\end{alignat}
\begin{alignat}{7} \sn(-u)&=&-\sn u&&\qquad \sn(u+K)&=&\sn(K-u)&&\qquad \sn(u+iK')&=&-\sn(iK'-u)\\ \cn(-u)&=&\cn u&& \cn(u+K)&=&-\cn(K-u)&& \cn(u+iK')&=&-\cn(iK'-u)\\ \dn(-u)&=&\dn u&& \dn(u+K)&=&\dn(K-u)&& \dn(u+iK')&=&-\dn(iK'-u) \end{alignat}
\begin{alignat}{3} \sn(iv,k)&=&i\frac{\sn(v,k')}{\cn(v,k')}\\ \cn(iv,k)&=&\frac1{\cn(v,k')}\\ \dn(iv,k)&=&\frac{\dn(v,k')}{\cn(v,k')} \end{alignat}
\begin{align} \sn\frac u2&=\sqrt{\frac{1-\cn u}{1+\dn u}}\\ \cn\frac u2&=\sqrt{\frac{\dn u+\cn u}{1+\dn u}}\\ \dn\frac u2&=\sqrt{\frac{k'^2+\dn u+k^2\cn u}{1+\dn u}} \end{align}
| $u$ | $-2K$ | $-K$ | $0$ | $K$ | $2K$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sn u$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $\cn u$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ |
| $\dn u$ | $1$ | $k'$ | $1$ | $k'$ | $1$ |
\begin{align}
\sn\frac K2&=\frac1{\sqrt{1+k'}}&
\cn\frac K2&=\sqrt{\frac{k'}{1+k'}}&
\dn\frac K2&=\sqrt{k'}
\end{align}
\begin{align}
\sn\frac{iK'}2&=\frac i{\sqrt k}&
\sn\l(K+\frac{iK'}2\r)&=\frac1{\sqrt k}
\end{align}
テータ関数
複素数$v,\tau\;(\Im(\tau)>0)$に対して$q=e^{\pi i\tau},z=e^{2\pi iv}$とし
\begin{align}
\t_1(v,\tau)&=\frac1i\sum^\infty_{n=\infty}(-1)^nq^{(n+\frac12)^2}z^{n+\frac12}\\
\t_2(v,\tau)&=\sum^\infty_{n=\infty}q^{(n+\frac12)^2}z^{n+\frac12}\\
\t_3(v,\tau)&=\sum^\infty_{n=\infty}q^{n^2}z^n\\
\t_4(v,\tau)&=\sum^\infty_{n=\infty}(-1)^nq^{n^2}z^n
\end{align}
と定められる関数のことを(楕円)テータ関数と言う。またこれらの$v=0$における値
\begin{align}
\t_1'(\tau)&=\sum^\infty_{n=\infty}(-1)^n(2n+1)q^{(n+\frac12)^2}
\quad\l(=\frac1\pi\frac{d\t_1}{dv}(0,\tau)\r)\\
\t_2(\tau)&=\sum^\infty_{n=\infty}q^{(n+\frac12)^2}\\
\t_3(\tau)&=\sum^\infty_{n=\infty}q^{n^2}\\
\t_4(\tau)&=\sum^\infty_{n=\infty}(-1)^nq^{n^2}
\end{align}
のことをテータ定数という。これらのことも単にテータ関数と言うことが多い。
\begin{alignat}{7}
\t_1\l(v+\frac12,\tau\r)&=&\t_2(v,\tau)&&\qquad
\t_1\l(v+\frac\tau2,\tau\r)&=&i(qz^2)^{-\frac14}\t_4(v,\tau)\\
\t_2\l(v+\frac12,\tau\r)&=&-\t_1(v,\tau)&&
\t_2\l(v+\frac\tau2,\tau\r)&=&(qz^2)^{-\frac14}\t_3(v,\tau)\\
\t_3\l(v+\frac12,\tau\r)&=&\t_4(v,\tau)&&
\t_3\l(v+\frac\tau2,\tau\r)&=&(qz^2)^{-\frac14}\t_2(v,\tau)\\
\t_4\l(v+\frac12,\tau\r)&=&\t_3(v,\tau)&&
\t_4\l(v+\frac\tau2,\tau\r)&=&i(qz^2)^{-\frac14}\t_1(v,\tau)
\end{alignat}
特に
\begin{alignat}{3}
\t_1(v+m+n\tau,\tau)&=(-1)^{m+n}&(q^{n^2}z^n)^{-1}\t_1(v,\tau)\\
\t_2(v+m+n\tau,\tau)&=(-1)^m&(q^{n^2}z^n)^{-1}\t_2(v,\tau)\\
\t_3(v+m+n\tau,\tau)&=&(q^{n^2}z^n)^{-1}\t_3(v,\tau)\\
\t_4(v+m+n\tau,\tau)&=(-1)^n&(q^{n^2}z^n)^{-1}\t_4(v,\tau)
\end{alignat}
\begin{align} \t_1(v,\tau+1)&=e^{\frac{\pi i}4}\t_1(v,\tau)\\ \t_2(v,\tau+1)&=e^{\frac{\pi i}4}\t_2(v,\tau)\\ \t_3(v,\tau+1)&=\phantom{e^{\frac{\pi i}4}}\t_4(v,\tau)\\ \t_4(v,\tau+1)&=\phantom{e^{\frac{\pi i}4}}\t_3(v,\tau) \end{align}
\begin{alignat}{3} \t_1\l(\frac v\tau,-\frac1\tau\r)&=&-i\sqrt{-i\tau}e^{\pi iv^2/\tau}\t_1(v,\tau)\\ \t_2\l(\frac v\tau,-\frac1\tau\r)&=&\sqrt{-i\tau}e^{\pi iv^2/\tau}\t_4(v,\tau)\\ \t_3\l(\frac v\tau,-\frac1\tau\r)&=&\sqrt{-i\tau}e^{\pi iv^2/\tau}\t_3(v,\tau)\\ \t_4\l(\frac v\tau,-\frac1\tau\r)&=&\sqrt{-i\tau}e^{\pi iv^2/\tau}\t_2(v,\tau) \end{alignat}
\begin{align} \t_2(\tau+1)&=e^{\frac{\pi i}4}\t_2(\tau)& \t_2(\tau+2)&=e^{\frac{\pi i}2}\t_2(\tau)& \t_2\l(-\frac1\tau\r)&=\sqrt{-i\tau}\t_2(\tau)\\ \t_3(\tau+1)&=\t_4(\tau)& \t_3(\tau+2)&=\t_3(\tau)& \t_3\l(-\frac1\tau\r)&=\sqrt{-i\tau}\t_4(\tau)\\ \t_4(\tau+1)&=\t_3(\tau)& \t_4(\tau+2)&=\t_4(\tau)& \t_4\l(-\frac1\tau\r)&=\sqrt{-i\tau}\t_3(\tau) \end{align}
\begin{align} \t_1(v,\tau) &=q^{\frac14}\frac{z^{\frac12}-z^{-\frac12}}i\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1-q^{2n}z)(1-q^{2n}z^{-1})\\ \t_2(v,\tau) &=q^{\frac14}(z^{\frac12}+z^{-\frac12})\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1+q^{2n}z)(1+q^{2n}z^{-1})\\ \t_3(v,\tau) &=\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}z^{-1})\\ \t_4(v,\tau) &=\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1-q^{2n-1}z)(1-q^{2n-1}z^{-1})\\ \t_1'(\tau) &=2q^{\frac14}\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})^3\\ \t_2(\tau) &=2q^{\frac14}\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1+q^{2n})^2\\ \t_3(\tau) &=\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1})^2\\ \t_4(\tau) &=\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1-q^{2n-1})^2\\ \end{align}
$$\t_1(\tau)=\t_2(\tau)\t_3(\tau)\t_4(\tau)$$
\begin{align} 2\t_2(2\tau)^2&=\t_3(\tau)^2-\t_4(\tau)^2\\ 2\t_3(2\tau)^2&=\t_3(\tau)^2+\t_4(\tau)^2\\ \t_4(2\tau)^2&=\t_3(\tau)\t_4(\tau)\\ \t_2(\tau)^2&=2\t_2(2\tau)\t_3(2\tau) \end{align}
$$\t_3(\tau)^4=\t_2(\tau)^4+\t_4(\tau)^4$$
ヤコビの楕円関数とテータ関数
この項で紹介する公式の導出については この記事 にてまとめてあります。
$$k(\tau)=\frac{\t_2(\tau)^2}{\t_3(\tau)^2}$$
とおいたとき
$$k\l(-\frac1\tau\r)=k'(\tau),\quad
k(\tau+1)=e^{\frac{\pi i}2}\frac{k(\tau)}{k'(\tau)}$$
$$K=\frac\pi2\t_3(\tau),\quad
K'=-i\tau\frac\pi2\t_3(\tau)^2$$
特に
$$\tau=\frac{iK'}K,\quad\frac{d\tau}{dk}=-\frac{\pi i}{2kk'^2K^2}$$
$$\t_2(\tau)^2=\frac2\pi kK,\quad\t_3(\tau)^2=\frac2\pi K,\quad\t_4(\tau)^2=\frac2\pi k'K$$
\begin{align} \sn2Ku&=\frac{\t_3(\tau)}{\t_2(\tau)}\frac{\t_1(u,\tau)}{\t_4(u,\tau)}\\ \cn2Ku&=\farc{\t_4(\tau)}{\t_2(\tau)}\frac{\t_2(u,\tau)}{\t_4(u,\tau)}\\ \dn2Ku&=\frac{\t_4(\tau)}{\t_3(\tau)}\frac{\t_3(u,\tau)}{\t_4(u,\tau)} \end{align}
\begin{align} \sqrt{\frac{1-\sn2Ku}{1+\sn2Ku}} &=\frac{\t_1(\frac u2-\frac14,\frac\tau2)}{\t_2(\frac u2-\frac14,\frac\tau2)}\\ &=\sqrt{\frac{1-\sin\pi u}{1+\sin\pi u}} \prod^\infty_{n=1}\frac{1-2q^n\sin\pi u+q^{2n}}{1+2q^n\sin\pi u+q^{2n}}\\ \sqrt{\frac{1-k\sn2Ku}{1+k\sn2Ku}}&=\frac{\t_4(\frac u2-\frac14,\frac\tau2)}{\t_3(\frac u2-\frac14,\frac\tau2)}\\ &=\prod^\infty_{n=1}\frac{1-2q^{n-\frac12}\sin\pi u+q^{2n-1}}{1+2q^{n-\frac12}\sin\pi u+q^{2n-1}}\\ \cn2Ku+i\sn2Ku &=z^{\frac12}\prod^\infty_{n=1}\frac{(1-q^{4n-1}z)/(1-q^{4n-1}z^{-1})}{(1-q^{4n-3}z)/(1-q^{4n-3}z^{-1})} \end{align}
この公式は 上に挙げた記事 では紹介していなかったが、やはり$u$について同じ二重周期性を持つこと、同じ零点と極を持つこと、そして$u=0$において両辺が$1$になることからわかる(多分)。
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