現代数学解説

ヤコビの楕円関数とテータ関数まとめ

テータ関数,楕円積分,楕円関数

330

はじめに

　この記事ではヤコビの楕円関数とテータ関数に関する公式をまとめていきます。

完全楕円積分

　この項で紹介する導出についてはこの記事の第4節にてまとめてあります。

楕円積分

　 $0 \leq k \leq 1$ および $- 1 \leq x \leq 1$ に対して
$\begin{aligned} K (x, k) & = \int_{0}^{x} \frac{d t}{\sqrt{(1 - t^{2}) (1 - k^{2} t^{2})}} \\ E (x, k) & = \int_{0}^{x} \sqrt{\frac{1 - k^{2} t^{2}}{1 - t^{2}}} d t \end{aligned}$
と定められる関数のことを(第一種,第二種)不完全楕円積分と言う。またその $x = 1$ における値
$\begin{aligned} K (1, k) & = \int_{0}^{1} \frac{d t}{\sqrt{(1 - t^{2}) (1 - k^{2} t^{2})}} \\ E (1, k) & = \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1 - k^{2} t^{2}}{1 - t^{2}}} d t \end{aligned}$
のことを(第一種,第二種)完全楕円積分と言い、単に $K = K (k)$ と表す。

母数と補母数

　楕円積分に付随するパラメーター $k$ を母数(modulus)と言い、これに対して
$k^{'} = \sqrt{1 - k^{2}}$
と定められるパラメーターを補母数(complementary modulus)と言う。
　また慣例として補母数に関する楕円積分 $K (k^{'})$ のことを $K^{'} = K^{'} (k)$ と表す。微分との混同を避けるため $d K / d k$ は $\dot{K}$ と書かれる。 $E$ についても同様である。

微分

$\begin{aligned} k k^{' 2} \frac{d K}{d k} & = E - k^{' 2} K & k k^{' 2} \frac{d E}{d k} & = k^{' 2} (E - K) \\ k k^{' 2} \frac{d K^{'}}{d k} & = - (E^{'} - k^{2} K^{'}) & k k^{' 2} \frac{d E^{'}}{d k} & = - k^{2} (E^{'} - K^{'}) \end{aligned}$

ルジャンドル関係式

$K E^{'} + K^{'} E - K K^{'} = \frac{π}{2}$

$\frac{d}{d k} \frac{K^{'}}{K} = - \frac{π}{2 k k^{' 2} K^{2}}$

ヤコビの楕円関数

　この項で紹介する公式の導出についてはこの記事にてまとめてあります。

ヤコビの楕円関数

　不完全楕円積分の逆関数として定まる関数
$x = sn (u, k) \overset{def}{⟺} u = K (x, k)$
およびこれに対し
$cn (u, k) = \sqrt{1 - {sn}^{2} (u, k)}, dn (u, k) = \sqrt{1 - k^{2} {sn}^{2} (u, k)}$
と定められる関数 $sn, cn, dn$ のことをヤコビの楕円関数と言う。
　これらはしばしば母数 $k$ を省略して $sn u, cn u, dn u$ と表される。

微分

$\begin{aligned} (sn u)^{'} & = & cn u dn u \\ (cn u)^{'} & = & - sn u dn u \\ (dn u)^{'} & = & - k^{2} sn u cn u \end{aligned}$

加法定理

$\begin{aligned} sn (u + v) & = \frac{sn u cn v dn v + sn v cn u dn u}{1 - k^{2} {sn}^{2} u {sn}^{2} v} \\ cn (u + v) & = \frac{cn u cn v - sn u dn u sn v dn v}{1 - k^{2} {sn}^{2} u {sn}^{2} v} \\ dn (u + v) & = \frac{dn u dn v - k^{2} sn u cn u sn v cn v}{1 - k^{2} {sn}^{2} u {sn}^{2} v} \end{aligned}$

周期性

$\begin{aligned} sn (u + K) & = & \frac{cn u}{dn u} & sn (u + i K^{'}) & = & \frac{1}{k} \frac{1}{sn u} \\ cn (u + K) & = & - k^{'} \frac{sn u}{dn u} & cn (u + i K^{'}) & = & - \frac{i}{k} \frac{dn u}{sn u} \\ dn (u + K) & = & k^{'} \frac{1}{dn u} & dn (u + i K^{'}) & = & - i \frac{cn u}{sn u} \end{aligned}$
特に
$\begin{aligned} sn (u + 2 K) & = & - sn u & sn (u + 2 i K^{'}) & = & sn u \\ cn (u + 2 K) & = & - cn u & cn (u + 2 i K^{'}) & = & - cn u \\ dn (u + 2 K) & = & dn u & dn (u + 2 i K^{'}) & = & - dn u \end{aligned}$

対称性

$\begin{aligned} sn (- u) & = & - sn u & sn (u + K) & = & sn (K - u) & sn (u + i K^{'}) & = & - sn (i K^{'} - u) \\ cn (- u) & = & cn u & cn (u + K) & = & - cn (K - u) & cn (u + i K^{'}) & = & - cn (i K^{'} - u) \\ dn (- u) & = & dn u & dn (u + K) & = & dn (K - u) & dn (u + i K^{'}) & = & - dn (i K^{'} - u) \end{aligned}$

虚数変換

$\begin{aligned} sn (i v, k) & = & i \frac{sn (v, k^{'})}{cn (v, k^{'})} \\ cn (i v, k) & = & \frac{1}{cn (v, k^{'})} \\ dn (i v, k) & = & \frac{dn (v, k^{'})}{cn (v, k^{'})} \end{aligned}$

半数公式

$\begin{aligned} sn \frac{u}{2} & = \sqrt{\frac{1 - cn u}{1 + dn u}} \\ cn \frac{u}{2} & = \sqrt{\frac{dn u + cn u}{1 + dn u}} \\ dn \frac{u}{2} & = \sqrt{\frac{k^{' 2} + dn u + k^{2} cn u}{1 + dn u}} \end{aligned}$

特殊値

$u$	$- 2 K$	$- K$	$0$	$K$	$2 K$
$sn u$	$0$	$- 1$	$0$	$1$	$0$
$cn u$	$- 1$	$0$	$1$	$0$	$- 1$
$dn u$	$1$	$k^{'}$	$1$	$k^{'}$	$1$

$\begin{aligned} sn \frac{K}{2} & = \frac{1}{\sqrt{1 + k^{'}}} & cn \frac{K}{2} & = \sqrt{\frac{k^{'}}{1 + k^{'}}} & dn \frac{K}{2} & = \sqrt{k^{'}} \end{aligned}$
$\begin{aligned} sn \frac{i K^{'}}{2} & = \frac{i}{\sqrt{k}} & sn (K + \frac{i K^{'}}{2}) & = \frac{1}{\sqrt{k}} \end{aligned}$

テータ関数

　複素数 $v, τ (Im (τ) > 0)$ に対して $q = e^{π i τ}, z = e^{2 π i v}$ とし
$\begin{aligned} θ_{1} (v, τ) & = \frac{1}{i} \sum_{n = \infty}^{\infty} (- 1)^{n} q^{(n + \frac{1}{2})^{2}} z^{n + \frac{1}{2}} \\ θ_{2} (v, τ) & = \sum_{n = \infty}^{\infty} q^{(n + \frac{1}{2})^{2}} z^{n + \frac{1}{2}} \\ θ_{3} (v, τ) & = \sum_{n = \infty}^{\infty} q^{n^{2}} z^{n} \\ θ_{4} (v, τ) & = \sum_{n = \infty}^{\infty} (- 1)^{n} q^{n^{2}} z^{n} \end{aligned}$
と定められる関数のことを(楕円)テータ関数と言う。またこれらの $v = 0$ における値
$\begin{aligned} θ_{1}^{'} (τ) & = \sum_{n = \infty}^{\infty} (- 1)^{n} (2 n + 1) q^{(n + \frac{1}{2})^{2}} (= \frac{1}{π} \frac{d θ_{1}}{d v} (0, τ)) \\ θ_{2} (τ) & = \sum_{n = \infty}^{\infty} q^{(n + \frac{1}{2})^{2}} \\ θ_{3} (τ) & = \sum_{n = \infty}^{\infty} q^{n^{2}} \\ θ_{4} (τ) & = \sum_{n = \infty}^{\infty} (- 1)^{n} q^{n^{2}} \end{aligned}$
のことをテータ定数という。これらのことも単にテータ関数と言うことが多い。

v

の周期性

$\begin{aligned} θ_{1} (v + \frac{1}{2}, τ) & = & θ_{2} (v, τ) & θ_{1} (v + \frac{τ}{2}, τ) & = & i (q z^{2})^{- \frac{1}{4}} θ_{4} (v, τ) \\ θ_{2} (v + \frac{1}{2}, τ) & = & - θ_{1} (v, τ) & θ_{2} (v + \frac{τ}{2}, τ) & = & (q z^{2})^{- \frac{1}{4}} θ_{3} (v, τ) \\ θ_{3} (v + \frac{1}{2}, τ) & = & θ_{4} (v, τ) & θ_{3} (v + \frac{τ}{2}, τ) & = & (q z^{2})^{- \frac{1}{4}} θ_{2} (v, τ) \\ θ_{4} (v + \frac{1}{2}, τ) & = & θ_{3} (v, τ) & θ_{4} (v + \frac{τ}{2}, τ) & = & i (q z^{2})^{- \frac{1}{4}} θ_{1} (v, τ) \end{aligned}$
特に
$\begin{aligned} θ_{1} (v + m + n τ, τ) & = (- 1)^{m + n} & (q^{n^{2}} z^{n})^{- 1} θ_{1} (v, τ) \\ θ_{2} (v + m + n τ, τ) & = (- 1)^{m} & (q^{n^{2}} z^{n})^{- 1} θ_{2} (v, τ) \\ θ_{3} (v + m + n τ, τ) & = & (q^{n^{2}} z^{n})^{- 1} θ_{3} (v, τ) \\ θ_{4} (v + m + n τ, τ) & = (- 1)^{n} & (q^{n^{2}} z^{n})^{- 1} θ_{4} (v, τ) \end{aligned}$

τ

の周期性

$\begin{aligned} θ_{1} (v, τ + 1) & = e^{\frac{π i}{4}} θ_{1} (v, τ) \\ θ_{2} (v, τ + 1) & = e^{\frac{π i}{4}} θ_{2} (v, τ) \\ θ_{3} (v, τ + 1) & = θ_{4} (v, τ) \\ θ_{4} (v, τ + 1) & = θ_{3} (v, τ) \end{aligned}$

虚数変換公式

$\begin{aligned} θ_{1} (\frac{v}{τ}, - \frac{1}{τ}) & = & - i \sqrt{- i τ} e^{π i v^{2} / τ} θ_{1} (v, τ) \\ θ_{2} (\frac{v}{τ}, - \frac{1}{τ}) & = & \sqrt{- i τ} e^{π i v^{2} / τ} θ_{4} (v, τ) \\ θ_{3} (\frac{v}{τ}, - \frac{1}{τ}) & = & \sqrt{- i τ} e^{π i v^{2} / τ} θ_{3} (v, τ) \\ θ_{4} (\frac{v}{τ}, - \frac{1}{τ}) & = & \sqrt{- i τ} e^{π i v^{2} / τ} θ_{2} (v, τ) \end{aligned}$

保型性

$\begin{aligned} θ_{2} (τ + 1) & = e^{\frac{π i}{4}} θ_{2} (τ) & θ_{2} (τ + 2) & = e^{\frac{π i}{2}} θ_{2} (τ) & θ_{2} (- \frac{1}{τ}) & = \sqrt{- i τ} θ_{2} (τ) \\ θ_{3} (τ + 1) & = θ_{4} (τ) & θ_{3} (τ + 2) & = θ_{3} (τ) & θ_{3} (- \frac{1}{τ}) & = \sqrt{- i τ} θ_{4} (τ) \\ θ_{4} (τ + 1) & = θ_{3} (τ) & θ_{4} (τ + 2) & = θ_{4} (τ) & θ_{4} (- \frac{1}{τ}) & = \sqrt{- i τ} θ_{3} (τ) \end{aligned}$

三重積

$\begin{aligned} θ_{1} (v, τ) & = q^{\frac{1}{4}} \frac{z^{\frac{1}{2}} - z^{- \frac{1}{2}}}{i} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 - q^{2 n} z) (1 - q^{2 n} z^{- 1}) \\ θ_{2} (v, τ) & = q^{\frac{1}{4}} (z^{\frac{1}{2}} + z^{- \frac{1}{2}}) \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 + q^{2 n} z) (1 + q^{2 n} z^{- 1}) \\ θ_{3} (v, τ) & = \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 + q^{2 n - 1} z) (1 + q^{2 n - 1} z^{- 1}) \\ θ_{4} (v, τ) & = \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 - q^{2 n - 1} z) (1 - q^{2 n - 1} z^{- 1}) \\ θ_{1}^{'} (τ) & = 2 q^{\frac{1}{4}} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n})^{3} \\ θ_{2} (τ) & = 2 q^{\frac{1}{4}} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 + q^{2 n})^{2} \\ θ_{3} (τ) & = \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 + q^{2 n - 1})^{2} \\ θ_{4} (τ) & = \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 - q^{2 n - 1})^{2} \end{aligned}$

分割恒等式

$θ_{1} (τ) = θ_{2} (τ) θ_{3} (τ) θ_{4} (τ)$

倍数公式

$\begin{aligned} 2 θ_{2} (2 τ)^{2} & = θ_{3} (τ)^{2} - θ_{4} (τ)^{2} \\ 2 θ_{3} (2 τ)^{2} & = θ_{3} (τ)^{2} + θ_{4} (τ)^{2} \\ θ_{4} (2 τ)^{2} & = θ_{3} (τ) θ_{4} (τ) \\ θ_{2} (τ)^{2} & = 2 θ_{2} (2 τ) θ_{3} (2 τ) \end{aligned}$

ヤコビの恒等式

$θ_{3} (τ)^{4} = θ_{2} (τ)^{4} + θ_{4} (τ)^{4}$

ヤコビの楕円関数とテータ関数

　この項で紹介する公式の導出についてはこの記事にてまとめてあります。

モジュラー

λ

関数

$k (τ) = \frac{θ_{2} (τ)^{2}}{θ_{3} (τ)^{2}}$
とおいたとき
$k (- \frac{1}{τ}) = k^{'} (τ), k (τ + 1) = e^{\frac{π i}{2}} \frac{k (τ)}{k^{'} (τ)}$

楕円積分

$K = \frac{π}{2} θ_{3} (τ), K^{'} = - i τ \frac{π}{2} θ_{3} (τ)^{2}$
特に
$τ = \frac{i K^{'}}{K}, \frac{d τ}{d k} = - \frac{π i}{2 k k^{' 2} K^{2}}$

テータ関数

$θ_{2} (τ)^{2} = \frac{2}{π} k K, θ_{3} (τ)^{2} = \frac{2}{π} K, θ_{4} (τ)^{2} = \frac{2}{π} k^{'} K$

ヤコビの楕円関数

$\begin{aligned} sn 2 K u & = \frac{θ_{3} (τ)}{θ_{2} (τ)} \frac{θ_{1} (u, τ)}{θ_{4} (u, τ)} \\ cn 2 K u & = \frac{θ_{4} (τ)}{θ_{2} (τ)} \frac{θ_{2} (u, τ)}{θ_{4} (u, τ)} \\ dn 2 K u & = \frac{θ_{4} (τ)}{θ_{3} (τ)} \frac{θ_{3} (u, τ)}{θ_{4} (u, τ)} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \sqrt{\frac{1 - sn 2 K u}{1 + sn 2 K u}} & = \frac{θ_{1} (\frac{u}{2} - \frac{1}{4}, \frac{τ}{2})}{θ_{2} (\frac{u}{2} - \frac{1}{4}, \frac{τ}{2})} \\ = \sqrt{\frac{1 - \sin π u}{1 + \sin π u}} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{1 - 2 q^{n} \sin π u + q^{2 n}}{1 + 2 q^{n} \sin π u + q^{2 n}} \\ \sqrt{\frac{1 - k sn 2 K u}{1 + k sn 2 K u}} & = \frac{θ_{4} (\frac{u}{2} - \frac{1}{4}, \frac{τ}{2})}{θ_{3} (\frac{u}{2} - \frac{1}{4}, \frac{τ}{2})} \\ = \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{1 - 2 q^{n - \frac{1}{2}} \sin π u + q^{2 n - 1}}{1 + 2 q^{n - \frac{1}{2}} \sin π u + q^{2 n - 1}} \\ cn 2 K u + i sn 2 K u & = z^{\frac{1}{2}} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 - q^{4 n - 1} z) / (1 - q^{4 n - 1} z^{- 1})}{(1 - q^{4 n - 3} z) / (1 - q^{4 n - 3} z^{- 1})} \end{aligned}$