ラマヌジャンの円周率公式の証明

はじめに

　この記事ではラマヌジャンの円周率公式
$$\frac{1}{\pi }=\frac{2\sqrt{2}}{{99}^2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4n)!}{(n!{)}^4}\frac{26390n+1103}{{396}^{4n}}$$
やChudnovskyの公式
$$\frac{1}{\pi }=12\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(6n)!}{(3n)!(n!{)}^3}\frac{545140134n+13591409}{{640320}^{3n+\frac{3}{2}}}$$
などを筆頭とした円周率公式をBorweinの手法に沿って導出していきます。
　この話題については昔に書いた記事「 ラマヌジャンの円周率公式を理解したい 」や「 ラマヌジャンの円周率公式を理解した！ 」でも解説してきましたが、今回がこれらの記事の総集編となります。ただ記事のボリュームが非常に大きくなってしまったため今回の記事は予め書いておいたpdfを配布する形となります。
　そのリンクはこちら$\to$ Ramanujan.pdf
　なおこの記事に関連する理論として 超幾何関数の変換 や モジュラー方程式とSingular Moduli についての記事も別途書きましたのでこちらも合わせてお読みください。

円周率公式の一覧

　ただpdfへのリンクを貼るだけというのもアレなので、ここではその記事で紹介した円周率公式の一覧でも置いておきます。円周率公式を思い出したい時などにお使いください。 　

$s=2$の円周率公式

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{((2n)!{)}^3}{(n!{)}^6}\frac{4n+1}{2^{6n+1}}\\ \frac{1}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{((2n)!{)}^3}{(n!{)}^6}\frac{6n+1}{4^{4n+1}}\\ \frac{1}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{((2n)!{)}^3}{(n!{)}^6}\frac{42n+5}{2^{12n+4}}\end{array}$$

$s=4$の円周率公式

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(4n)!}{(n!{)}^4}\frac{20n+3}{2^{10n+3}}\\ \frac{1}{\pi }& =\frac{\sqrt{3}}{16}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(4n)!}{(n!{)}^4}\frac{28n+3}{4^{6n}{3}^n}\\ \frac{1}{\pi }& =\frac{1}{72}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(4n)!}{(n!{)}^4}\frac{260n+23}{{288}^{2n}}\\ \frac{1}{\pi }& =\frac{\sqrt{5}}{282}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(4n)!}{(n!{)}^4}\frac{644n+41}{4^{4n}(5\cdot {72}^2{)}^n}\\ \frac{1}{\pi }& =\frac{1}{3528}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(4n)!}{(n!{)}^4}\frac{21460n+1123}{{14112}^{2n}}\\ \frac{1}{\pi }& =\frac{\sqrt{3}}{6}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4n)!}{(n!{)}^4}\frac{8n+1}{{48}^{2n}}\\ \frac{1}{\pi }& =\frac{2\sqrt{2}}{3^2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4n)!}{(n!{)}^4}\frac{10n+1}{{12}^{4n}}\\ \frac{1}{\pi }& =\frac{\sqrt{11}}{198}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4n)!}{(n!{)}^4}\frac{280n+19}{{1584}^{2n}}\\ \frac{1}{\pi }& =\frac{2\sqrt{2}}{{99}^2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4n)!}{(n!{)}^4}\frac{26390n+1103}{{396}^{4n}}\end{array}$$

$s=6$の円周率公式

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{\pi }& =8\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(6n)!}{(3n)!(n!{)}^3}\frac{28n+3}{{20}^{3n+\frac{3}{2}}}\\ \frac{1}{\pi }& =162\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(6n)!}{(3n)!(n!{)}^3}\frac{133n+8}{{255}^{3n+\frac{3}{2}}}\\ \frac{1}{\pi }& =3\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(6n)!}{(3n)!(n!{)}^3}\frac{63n+8}{{15}^{3n+\frac{3}{2}}}\\ \frac{1}{\pi }& =4\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(6n)!}{(3n)!(n!{)}^3}\frac{154n+15}{{32}^{3n+\frac{3}{2}}}\\ \frac{1}{\pi }& =12\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(6n)!}{(3n)!(n!{)}^3}\frac{342n+25}{{96}^{3n+\frac{3}{2}}}\\ \frac{1}{\pi }& =36\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(6n)!}{(3n)!(n!{)}^3}\frac{5418n+263}{{960}^{3n+\frac{3}{2}}}\\ \frac{1}{\pi }& =12\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(6n)!}{(3n)!(n!{)}^3}\frac{261702n+10177}{{5280}^{3n+\frac{3}{2}}}\\ \frac{1}{\pi }& =12\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(6n)!}{(3n)!(n!{)}^3}\frac{545140134n+13591409}{{640320}^{3n+\frac{3}{2}}}\end{array}$$