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現代数学解説
文献あり

テータ関数の積とLattice Sumの分解公式

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{c}[0]{\cdot} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{F}[4]{{}_2F_1\left(\begin{matrix}#1,#2\\#3\end{matrix};#4\right)} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{FF}[6]{{}_3F_2\left(\begin{matrix}#1,#2,#3\\#4,#5\end{matrix};#6\right)} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\operatorname{Gal}} \newcommand{H}[0]{\mathbb{H}} \newcommand{id}[0]{\operatorname{id}} \newcommand{Im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{L}[0]{\Lambda} \newcommand{la}[0]{\lambda} \newcommand{La}[0]{\Lambda} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{li}[0]{\operatorname{li}} \newcommand{M}[4]{\begin{pmatrix}#1& #2\\#3& #4\end{pmatrix}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{o}[0]{\omega} \newcommand{O}[0]{\Omega} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{P}[0]{\mathfrak{P}} \newcommand{p}[0]{\mathfrak{p}} \newcommand{q}[0]{\mathfrak{q}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\operatorname{Re}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{ssum}[0]{\sideset{}{'}\sum} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{vp}[0]{\varphi} \newcommand{vt}[0]{\vartheta} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

 この記事ではI. J. Zucker(1974)にてまとめられているテータ関数$\t_2,\t_3,\t_4$のLambert-likeな級数展開を鑑賞していきます。

概要

 テータ関数とは$|q|<1$に対して
\begin{align} \t_2(q)&=\sum^\infty_{n=-\infty}q^{(n+\frac12)^2}\\ \t_3(q)&=\sum^\infty_{n=-\infty}q^{n^2}\\ \t_4(q)&=\sum^\infty_{n=-\infty}(-1)^nq^{n^2} \end{align}
と定義される関数のことを言います。
 テータ関数はそれ単体では指数部分が$n^2$という扱いづらい形をしているのに対し、その累乗や積を取ると例えば
$$\t_3(q)^2=1+4\sum^\infty_{n=1}\frac{q^n}{1+q^{2n}}$$
のように比較的簡便な見た目に書き換えられるようです。
 そしてこれを
$$\t_3(q)^2=\sum^\infty_{m,n=-\infty}q^{m^2+n^2} =1+4\sum^\infty_{n=1}\sum^\infty_{m=0}(-1)^mq^{(2m+1)n}$$
と二通りに表すことでJacobiの二平方定理
$$\#\{(m,n)\in\Z^2\mid m^2+n^2=N\}=4\sum_{2\nmid d\mid N}(-1)^{\frac{d-1}2}$$
やLattice Sumの分解公式
$$\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac1{(m^2+n^2)^s} =4\l(\sum^\infty_{n=1}\frac1{n^s}\r)\l(\sum^\infty_{m=0}(-1)^m\frac1{(2m+1)^2}\r)$$
のような非自明な等式が得られることとなります。ただし
$$\sideset{}'\sum_{n_1,n_2,\ldots,n_d}=\sum^\infty_{\substack{n_1,n_2,\ldots,n_d=-\infty\\(n_1,n_2,\ldots,n_d)\neq(0,0,\ldots,0)}}$$
と表すものとしました。

余談

 ちなみに下で紹介する公式の証明はZucker(1974)に書かれているわけではなく、同論文にはこれらの公式はほぼ全てJacobiの"Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum"(1829)から引用したものだと書かれています。このJacobiの論文は邦訳"ヤコビ楕円関数原論"(高瀬正仁 訳)が出ており、私は以前にもその一節(楕円関数の変換)にお世話になったことがありますがまさかこんなことまで書いてあるとは、さすが楕円関数論の祖たるJacobi、恐るべし。

記号について

 以下では$m+n=d=1,2,4,6,8$における
$$\t_3^m\t_4^n-1,\quad\t_2^m\t_3^n,\quad\t_2^m\t_4^n$$
$q$-展開とそれらが誘導するLattice Sum
\begin{align} S(m,n)&=\sideset{}'\sum_{l_1,l_2,\ldots,l_d}\frac{(-1)^{l_{m+1}+\cdots+l_d}}{(l_1^2+l_2^2+\cdots+l_d^2)^s}\\ T(m,n)&=\sum_{l_1,l_2,\ldots,l_d}\frac1{\l((l_1+\frac12)^2\cdots+(l_m+\frac12)^2+l_{m+1}^2+\cdots+l_d^2\r)^s}\\ U(m,n)&=\sum_{l_1,l_2,\ldots,l_d}\frac{(-1)^{l_{m+1}+\cdots+l_d}}{\l((l_1+\frac12)^2\cdots+(l_m+\frac12)^2+l_{m+1}^2+\cdots+l_d^2\r)^s}\\ \end{align}
の分解公式についてまとめていきます。
 いま$q=e^{-t}$としたとき
$$\int^\infty_0t^{s-1}q^Ndt=\frac1{N^s}\int^\infty_0t^{s-1}e^{-t}=\frac{\G(s)}{N^s}$$
が成り立つこと、およびそのことから上のLattice Sumはテータ関数のメリン変換
\begin{align} S(m,n)&=\frac1{\G(s)}\int^\infty_0t^{s-1}(\t_3^m\t_4^n-1)dt\\ T(m,n)&=\frac1{\G(s)}\int^\infty_0t^{s-1}(\t_2^m\t_3^n)dt\\ U(m,n)&=\frac1{\G(s)}\int^\infty_0t^{s-1}(\t_2^m\t_4^n)dt\\ \end{align}
と表せることに注意しましょう。
 またテータ関数の積には
$$\t_2(-q)=e^{\frac{\pi i}4}\t_2(q),\quad\t_3(-q)=\t_4(q),\quad \t_3(q)\t_4(q)=\t_4(q^2)^2,\quad\t_2(q)\t_3(q)=\frac12\t_2(q^{\frac12})$$
などの関係があることにも注意しましょう(これらの関係式は この記事 にて紹介しています)。
 以下
\begin{align} \z(s)&=\sum^\infty_{n=1}\frac1{n^s}\\ \eta(s)&=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}=(1-2^{1-s})\z(s)\\ \la(s)&=\sum^\infty_{n=0}\frac1{(2n+1)^s}=(1-2^{-s})\z(s)\\ \b(s)&=\sum^\infty_{n=0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}\\ A(s)&=\sum^\infty_{n=0}\frac{(-1)^n}{(4n+1)^s}\\ B(s)&=\sum^\infty_{n=0}\frac{(-1)^n}{(4n+3)^s}\\ \end{align}
とします。

Table

$d=1$

\begin{align} \t_3-1&=2\sum^\infty_{n=1}q^{n^2}& S(1,0)&=2\z(2s)\\ \t_4-1&=2\sum^\infty_{n=1}(-1)^nq^{n^2}& S(0,1)&=-2\eta(2s)\\ \t_2&=2\sum^\infty_{n=1}q^{(n+\frac12)^2}& T(1,0)&=2^{2s+1}\eta(2s) \end{align}

$d=2$

\begin{align} \t_3^2-1&=4\sum^\infty_{n=1}\frac{q^n}{1+q^{2n}}& S(2,0)&=4\z(s)\b(s)\\ \t_3\t_4-1&=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{q^{2n}}{1+q^{4n}}& S(1,1)&=-4\c2^{-s}\eta(s)\b(s)\\ \t_4^2-1&=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{q^n}{1+q^{2n}}& S(0,2)&=-4\eta(s)\b(s)\\ \t_2^2&=4\sum^\infty_{n=1}\frac{q^{n-1/2}}{1+q^{2n-1}}& T(2,0)&=4\c2^s\la(s)\b(s)\\ \t_2\t_3&=2\sum^\infty_{n=1}\frac{q^{(2n-1)/4}}{1+q^{n-1/2}}& T(1,1)&=2^{2s+1}\la(s)\b(s)\\ \t_2\t_4&=2\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\l(\frac{q^{3(4n-1)/4}}{1+q^{4n-1}}-\frac{q^{n-3/4}}{1+q^{4n-3}}\r)& U(1,1)&=2^{2s+1}(A(s)^2-B(s)^2) \end{align}

$d=4$

\begin{align} \t_3^4-1&=8\sum^\infty_{n=1}\frac{nq^n}{1+(-q)^n}& S(4,0)&=8(1-2^{2-2s})\z(s-1)\z(s)\\ \t_3^2\t_4^2-1&=8\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{nq^{2n}}{1+q^{2n}}& S(2,2)&=-8\c2^{-s}\eta(s-1)\eta(s)\\ \t_4^4-1&=8\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{nq^n}{1+q^n}& S(0,4)&=-8\eta(s-1)\eta(s)\\ \t_2^4-1&=16\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)q^{2n-1}}{1-q^{4n-2}}& T(4,0)&=16\la(s-1)\la(s)\\ \t_2^2\t_3^2-1&=4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)q^{n-1/2}}{1-q^{2n-1}}& T(2,2)&=4\c2^s\la(s-1)\la(s)\\ \t_2^2\t_4^2-1&=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{(2n-1)q^{n-1/2}}{1+q^{2n-1}}& U(2,2)&=4\c2^s\b(s-1)\b(s) \end{align}

$d=6$

\begin{align} \t_3^6-1&=16\sum^\infty_{n=1}\frac{n^2q^n}{1+q^{2n}} +4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n-1)^2q^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}& S(6,0)&=16\z(s-2)\b(s)-4\b(s-2)\z(s)\\ \t_3^4\t_4^2-1&=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{(2n-1)^2q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}& S(4,2)&=4\b(s-2)\eta(s)\\ \t_3^3\t_4^3-1&=16\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^2q^{n/2}}{1+q^n} -4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n-1)^2q^{n-1/2}}{1+q^{n-1/2}}& S(3,3)&=-2^s(16\eta(s-2)\b(s)-4\b(s-2)\eta(s))\\ \t_3^2\t_4^4-1&=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n-1)^2q^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}& S(2,4)&=-4\b(s-2)\z(s)\\ \t_4^6-1&=16\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{n^2q^n}{1+q^{2n}} -4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n-1)^2q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}& S(0,6)&=-16\eta(s-2)\b(s)+4\b(s-2)\eta(s)\\\\ \t_2^6&=4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^2q^{n-1/2}}{1+q^{2n-1}} -4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n-1)^2q^{n-1/2}}{1+q^{2n-1}}& T(6,0)&=4\c2^s(\la(s-2)\b(s)-\b(s-2)\la(s))\\ \t_2^4\t_3^2&=16\sum^\infty_{n=1}\frac{n^2q^n}{1+q^{2n}}& T(4,2)&=16\z(s-2)\b(s)\\ \t_2^3\t_3^3&=\frac12\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^2q^{(2n-1)/4}}{1+q^{n-1/2}} +\frac12\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n-1)q^{(2n-1)/4}}{1-q^{n-1/2}}& T(3,3)&=2^{2s-1}(\la(s-2)\b(s)-\b(s-2)\la(s))\\ \t_2^2\t_3^4&=4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^2q^{n-1/2}}{1+q^{2n-1}}& T(2,4)&=4\c2^s\la(s-2)\b(s)\\ \t_2^4\t_4^2&=16\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^2q^n}{1+q^{2n}}& U(4,2)&=16\eta(s-2)\b(s)\\ \t_2^3\t_4^3&=\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\l(\frac{(4n-3)^2q^{3(4n-3)/4}}{1+q^{4n-3}}-\frac{(4n-1)^2q^{n-1/4}}{1+q^{4n-1}}\r)& U(3,3)&=2^{2s}(A(s)B(s-2)-A(s-2)B(s))\\ \t_2^2\t_4^4&=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{(2n-1)^2q^{n-1/2}}{1-q^{2n-1}}& U(2,4)&=4\c2^s\b(s-2)\la(s)\\ \end{align}

$d=8$

\begin{align} \t_3^8-1&=16\sum^\infty_{n=1}\frac{n^3q^n}{1-(-q)^n}& S(8,0)&=16(1-2^{1-s}+2^{4-2s})\z(s-3)\z(s)\\ \t_3^4\t_4^4-1&=16\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^3q^{2n}}{1-q^{2n}}& S(4,4)&=-16\c2^{-s}\eta(s-3)\z(s)\\ \t_4^8-1&=16\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^3q^n}{1-q^n}& S(0,8)&=-16\eta(s-3)\z(s)\\ \t_2^8&=256\sum^\infty_{n=1}\frac{n^3q^{2n}}{1-q^{4n}}& T(8,0)&=256\c2^{-s}\z(s-3)\la(s)\\ \t_2^4\t_3^4&=16\sum^\infty_{n=1}\frac{n^3q^n}{1-q^{2n}}& T(4,4)&=16\z(s-3)\la(s)\\ \t_2^4\t_4^4&=16\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^3q^n}{1-q^{2n}}& U(4,4)&=-16\eta(s-3)\la(s) \end{align}

参考文献

[1]
I. J. Zucker, Exact results for some lattice sums in 2, 4, 6 and 8 dimensions, J. Phys. A: Math. Nucl. Gen., 1974, 1568 - 1575
投稿日:26日前
更新日:22日前

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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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