テータ関数の積とLattice Sumの分解公式

はじめに

　この記事ではI. J. Zucker(1974)にてまとめられているテータ関数${\theta }_2,{\theta }_3,{\theta }_4$のLambert-likeな級数展開を鑑賞していきます。

概要

　テータ関数とは$|q|<1$に対して
$$\begin{array}{rl}{\theta }_2(q)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{(n+\frac{1}{2}{)}^2}\\ {\theta }_3(q)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}\\ {\theta }_4(q)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{n^2}\end{array}$$
と定義される関数のことを言います。
　テータ関数はそれ単体では指数部分が$n^2$という扱いづらい形をしているのに対し、その累乗や積を取ると例えば
$${\theta }_3(q{)}^2=1+4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{1+q^{2n}}$$
のように比較的簡便な見た目に書き換えられるようです。
　そしてこれを
$${\theta }_3(q{)}^2=\sum _{m,n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{m^2+n^2}=1+4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m{q}^{(2m+1)n}$$
と二通りに表すことでJacobiの二平方定理
$$\mathrm{\#}\{(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2\mid m^2+n^2=N\}=4\sum _{2\nmid d\mid N}(-1{)}^{\frac{d-1}{2}}$$
やLattice Sumの分解公式
$$\underset{m,n}{\phantom{\sum }{\sum }^{\prime }}\frac{1}{(m^2+n^2{)}^s}=4\left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}\right)(\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m\frac{1}{(2m+1{)}^2})$$
のような非自明な等式が得られることとなります。ただし
$$\underset{n_1,n_2,\dots ,n_d}{\phantom{\sum }{\sum }^{\prime }}=\sum _{\begin{array}{c}{n}_1,n_2,\dots ,n_d=-\mathrm{\infty }\\ (n_1,n_2,\dots ,n_d)\ne (0,0,\dots ,0)\end{array}}^{\mathrm{\infty }}$$
と表すものとしました。

余談

　ちなみに下で紹介する公式の証明はZucker(1974)に書かれているわけではなく、同論文にはこれらの公式はほぼ全てJacobiの"Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum"(1829)から引用したものだと書かれています。このJacobiの論文は邦訳"ヤコビ楕円関数原論"(高瀬正仁 訳)が出ており、私は以前にもその一節(楕円関数の変換)にお世話になったことがありますがまさかこんなことまで書いてあるとは、さすが楕円関数論の祖たるJacobi、恐るべし。

記号について

　以下では$m+n=d=1,2,4,6,8$における
$${\theta }_3^m{\theta }_4^n-1,{\theta }_2^m{\theta }_3^n,{\theta }_2^m{\theta }_4^n$$
の$q$-展開とそれらが誘導するLattice Sum
$$\begin{array}{rl}S(m,n)& =\underset{l_1,l_2,\dots ,l_d}{\phantom{\sum }{\sum }^{\prime }}\frac{(-1{)}^{l_{m+1}+\cdots +l_d}}{(l_1^2+l_2^2+\cdots +l_d^2{)}^s}\\ T(m,n)& =\sum _{l_1,l_2,\dots ,l_d}\frac{1}{{((l_1+\frac{1}{2}{)}^2\cdots +(l_m+\frac{1}{2}{)}^2+l_{m+1}^2+\cdots +l_d^2)}^s}\\ U(m,n)& =\sum _{l_1,l_2,\dots ,l_d}\frac{(-1{)}^{l_{m+1}+\cdots +l_d}}{{((l_1+\frac{1}{2}{)}^2\cdots +(l_m+\frac{1}{2}{)}^2+l_{m+1}^2+\cdots +l_d^2)}^s}\end{array}$$
の分解公式についてまとめていきます。
　いま$q=e^{-t}$としたとき
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{s-1}{q}^{N}dt=\frac{1}{N^s}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{s-1}{e}^{-t}=\frac{\mathrm{\Gamma }(s)}{N^s}$$
が成り立つこと、およびそのことから上のLattice Sumはテータ関数のメリン変換
$$\begin{array}{rl}S(m,n)& =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{s-1}({\theta }_3^m{\theta }_4^n-1)dt\\ T(m,n)& =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{s-1}({\theta }_2^m{\theta }_3^n)dt\\ U(m,n)& =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{s-1}({\theta }_2^m{\theta }_4^n)dt\end{array}$$
と表せることに注意しましょう。
　またテータ関数の積には
$${\theta }_2(-q)=e^{\frac{\pi i}{4}}{\theta }_2(q),{\theta }_3(-q)={\theta }_4(q),{\theta }_3(q){\theta }_4(q)={\theta }_4(q^2{)}^2,{\theta }_2(q){\theta }_3(q)=\frac{1}{2}{\theta }_2(q^{\frac{1}{2}})$$
などの関係があることにも注意しましょう(これらの関係式は この記事 にて紹介しています)。
　以下
$$\begin{array}{rl}\zeta (s)& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}\\ \eta (s)& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}=(1-2^{1-s})\zeta (s)\\ \lambda (s)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1{)}^s}=(1-2^{-s})\zeta (s)\\ \beta (s)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^s}\\ A(s)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(4n+1{)}^s}\\ B(s)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(4n+3{)}^s}\end{array}$$
とします。

Table

$d=1$

$$\begin{array}{rlrl}{\theta }_3-1& =2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}& S(1,0)& =2\zeta (2s)\\ {\theta }_4-1& =2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{n^2}& S(0,1)& =-2\eta (2s)\\ {\theta }_2& =2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{(n+\frac{1}{2}{)}^2}& T(1,0)& =2^{2s+1}\eta (2s)\end{array}$$

$d=2$

$$\begin{array}{rlrl}{\theta }_3^2-1& =4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{1+q^{2n}}& S(2,0)& =4\zeta (s)\beta (s)\\ {\theta }_3{\theta }_4-1& =4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{q^{2n}}{1+q^{4n}}& S(1,1)& =-4\cdot 2^{-s}\eta (s)\beta (s)\\ {\theta }_4^2-1& =4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{q^n}{1+q^{2n}}& S(0,2)& =-4\eta (s)\beta (s)\\ {\theta }_2^2& =4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n-1/2}}{1+q^{2n-1}}& T(2,0)& =4\cdot 2^s\lambda (s)\beta (s)\\ {\theta }_2{\theta }_3& =2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{(2n-1)/4}}{1+q^{n-1/2}}& T(1,1)& =2^{2s+1}\lambda (s)\beta (s)\\ {\theta }_2{\theta }_4& =2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(\frac{q^{3(4n-1)/4}}{1+q^{4n-1}}-\frac{q^{n-3/4}}{1+q^{4n-3}})& U(1,1)& =2^{2s+1}(A(s{)}^2-B(s{)}^2)\end{array}$$

$d=4$

$$\begin{array}{rlrl}{\theta }_3^4-1& =8\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n{q}^n}{1+(-q{)}^n}& S(4,0)& =8(1-2^{2-2s})\zeta (s-1)\zeta (s)\\ {\theta }_3^2{\theta }_4^2-1& =8\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{n{q}^{2n}}{1+q^{2n}}& S(2,2)& =-8\cdot 2^{-s}\eta (s-1)\eta (s)\\ {\theta }_4^4-1& =8\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{n{q}^n}{1+q^n}& S(0,4)& =-8\eta (s-1)\eta (s)\\ {\theta }_2^4-1& =16\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-1)q^{2n-1}}{1-q^{4n-2}}& T(4,0)& =16\lambda (s-1)\lambda (s)\\ {\theta }_2^2{\theta }_3^2-1& =4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-1)q^{n-1/2}}{1-q^{2n-1}}& T(2,2)& =4\cdot 2^s\lambda (s-1)\lambda (s)\\ {\theta }_2^2{\theta }_4^2-1& =4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{(2n-1)q^{n-1/2}}{1+q^{2n-1}}& U(2,2)& =4\cdot 2^s\beta (s-1)\beta (s)\end{array}$$

$d=6$

$$\begin{array}{rlrl}{\theta }_3^6-1& =16\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2{q}^n}{1+q^{2n}}+4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(2n-1{)}^2{q}^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}& S(6,0)& =16\zeta (s-2)\beta (s)-4\beta (s-2)\zeta (s)\\ {\theta }_3^4{\theta }_4^2-1& =4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{(2n-1{)}^2{q}^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}& S(4,2)& =4\beta (s-2)\eta (s)\\ {\theta }_3^3{\theta }_4^3-1& =16\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{n^2{q}^{n/2}}{1+q^n}-4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(2n-1{)}^2{q}^{n-1/2}}{1+q^{n-1/2}}& S(3,3)& =-2^s(16\eta (s-2)\beta (s)-4\beta (s-2)\eta (s))\\ {\theta }_3^2{\theta }_4^4-1& =4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(2n-1{)}^2{q}^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}& S(2,4)& =-4\beta (s-2)\zeta (s)\\ {\theta }_4^6-1& =16\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{n^2{q}^n}{1+q^{2n}}-4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(2n-1{)}^2{q}^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}& S(0,6)& =-16\eta (s-2)\beta (s)+4\beta (s-2)\eta (s)\\ \\ {\theta }_2^6& =4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-1{)}^2{q}^{n-1/2}}{1+q^{2n-1}}-4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(2n-1{)}^2{q}^{n-1/2}}{1+q^{2n-1}}& T(6,0)& =4\cdot 2^s(\lambda (s-2)\beta (s)-\beta (s-2)\lambda (s))\\ {\theta }_2^4{\theta }_3^2& =16\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2{q}^n}{1+q^{2n}}& T(4,2)& =16\zeta (s-2)\beta (s)\\ {\theta }_2^3{\theta }_3^3& =\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-1{)}^2{q}^{(2n-1)/4}}{1+q^{n-1/2}}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(2n-1)q^{(2n-1)/4}}{1-q^{n-1/2}}& T(3,3)& =2^{2s-1}(\lambda (s-2)\beta (s)-\beta (s-2)\lambda (s))\\ {\theta }_2^2{\theta }_3^4& =4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-1{)}^2{q}^{n-1/2}}{1+q^{2n-1}}& T(2,4)& =4\cdot 2^s\lambda (s-2)\beta (s)\\ {\theta }_2^4{\theta }_4^2& =16\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{n^2{q}^n}{1+q^{2n}}& U(4,2)& =16\eta (s-2)\beta (s)\\ {\theta }_2^3{\theta }_4^3& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(\frac{(4n-3{)}^2{q}^{3(4n-3)/4}}{1+q^{4n-3}}-\frac{(4n-1{)}^2{q}^{n-1/4}}{1+q^{4n-1}})& U(3,3)& =2^{2s}(A(s)B(s-2)-A(s-2)B(s))\\ {\theta }_2^2{\theta }_4^4& =4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{(2n-1{)}^2{q}^{n-1/2}}{1-q^{2n-1}}& U(2,4)& =4\cdot 2^s\beta (s-2)\lambda (s)\end{array}$$

$d=8$

$$\begin{array}{rlrl}{\theta }_3^8-1& =16\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^3{q}^n}{1-(-q{)}^n}& S(8,0)& =16(1-2^{1-s}+2^{4-2s})\zeta (s-3)\zeta (s)\\ {\theta }_3^4{\theta }_4^4-1& =16\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{n^3{q}^{2n}}{1-q^{2n}}& S(4,4)& =-16\cdot 2^{-s}\eta (s-3)\zeta (s)\\ {\theta }_4^8-1& =16\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{n^3{q}^n}{1-q^n}& S(0,8)& =-16\eta (s-3)\zeta (s)\\ {\theta }_2^8& =256\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^3{q}^{2n}}{1-q^{4n}}& T(8,0)& =256\cdot 2^{-s}\zeta (s-3)\lambda (s)\\ {\theta }_2^4{\theta }_3^4& =16\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^3{q}^n}{1-q^{2n}}& T(4,4)& =16\zeta (s-3)\lambda (s)\\ {\theta }_2^4{\theta }_4^4& =16\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{n^3{q}^n}{1-q^{2n}}& U(4,4)& =-16\eta (s-3)\lambda (s)\end{array}$$