Balanced 4φ3の隣接関係式

前の記事 で
\begin{align} \phi&:=\phi(a,b,c,d,e,f,g)\\ &=\Q43{a,b,c,d}{e,f,g}q\qquad abcdq=efg \end{align}
の隣接関係式をいくつか導いた. 今回は実用上の観点から, 他の形の$\phi$の隣接関係式もいくつか導きたいと思う.

まず, 前の記事 の定理5の1つ目の等式は$a\mapsto aq, c\mapsto c/q$とすると,
\begin{align} (1-a)(c/q-b)\phi(a+,c-)-(1-b)(c/q-a)\phi(b+,c-)+(1-c/q)(b-a)\phi=0 \end{align}
と書き換えることができる. これを
\begin{align} &(1-a)(bq-c)(\phi(a+,c-)-\phi)-(1-b)(aq-c)(\phi(b+,c-)-\phi)=0\\ \end{align}
と書き換えて, 両辺に$\frac 1c(c-e)(c-f)(c-g)$を掛けて 前の記事 の定理2を用いて$\phi(a+,c-), \phi(b+,c-)$を消去すると,
\begin{align} 0&=\frac{bq-c}{a(cq-a)}\bigg((1-c)(a-e)(a-f)(a-g)(aq-c)(\phi(a-,c+)-\phi)\\ &\qquad+a(c-a)(1-b)(1-d)(aq-c)(cq-a)\phi\bigg)\\ &-\frac{aq-c}{b(cq-b)}\bigg((1-c)(b-e)(b-f)(b-g)(bq-c)(\phi(b-,c+)-\phi)\\ &\qquad+b(c-b)(1-a)(1-d)(bq-c)(cq-b)\phi\bigg)\\ &=\frac{(bq-c)(1-c)(a-e)(a-f)(a-g)(aq-c)}{a(cq-a)}\phi(a-,c+)\\ &-\frac{(aq-c)(1-c)(b-e)(b-f)(b-g)(bq-c)}{b(cq-b)}\phi(b-,c+)\\ &+\frac{(a-b)(1-c)(aq-c)(bq-c)(e-cq)(f-cq)(g-cq)}{cq(cq-a)(cq-b)}\phi \end{align}
(この計算は複雑そうだったので数式処理システムに任せた. 今回の記事においては, 以下複雑になりそうな計算は数式処理システムを用いて行っている.) つまり,
\begin{align} &\frac{(a-e)(a-f)(a-g)}{a(cq-a)}\phi(a-,c+)\\ &-\frac{(b-e)(b-f)(b-g)}{b(cq-b)}\phi(b-,c+)\\ &+\frac{(a-b)(e-cq)(f-cq)(g-cq)}{cq(cq-a)(cq-b)}\phi=0 \end{align}
を得る. これは$c\mapsto c/q$として整理すると以下のようになる.

これは美しい関係式である.

次に, $\phi$の定義から
\begin{align} q(1-e/q)\phi(e-)-q(1-f/q)\phi(f-)&=(f-e)\sum_{0\leq n}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,e,f,g;q)_n}q^{2n} \end{align}
となる. よって,
\begin{align} q(1-e/q)\phi(e-)-q(1-g/q)\phi(g-)&=(g-e)\sum_{0\leq n}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,e,f,g;q)_n}q^{2n} \end{align}
も成り立つから右辺を消去して,
\begin{align} &(f-e)(q(1-e/q)\phi(e-)-q(1-f/q)\phi(f-))\\ &=(g-e)(q(1-e/q)\phi(e-)-q(1-g/q)\phi(g-)) \end{align}
つまり以下を得る.

定理2の導出においては, terminatingもbalancedも仮定する必要がない. 次に, 上の関係式で, $g\mapsto gq$として
\begin{align} &(f-gq)(1-e/q)(\phi(e-,g+)-\phi)-(e-gq)(1-f/q)(\phi(f-,g+)-\phi)=0 \end{align}
と書き換える. ここで, 両辺に$(1-g/a)(1-g/b)(1-g/c)(1-g/d)$を掛けて, 前の記事 の定理4を用いて$\phi(e-,g+), \phi(f-,g+)$を消去すると,
\begin{align} 0&=\frac{(f-gq)(1-gq/e)}{f(1-e)}\bigg(\frac{f(1-g/q)(1-g)(1-e/a)(1-e/b)(1-e/c)(1-e/d)}{1-eq/g}(\phi(e+,g-)-\phi)\\ &\qquad-(e-g)(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\phi\bigg)\\ &-\frac{(e-gq)(1-gq/f)}{e(1-f)}\bigg(\frac{e(1-g/q)(1-g)(1-f/a)(1-f/b)(1-f/c)(1-f/d)}{1-fq/g}(\phi(f+,g-)-\phi)\\ &\qquad-(f-g)(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\phi\bigg)\\ &=\frac{(f-gq)(1-gq/e)(1-g/q)(1-g)(1-e/a)(1-e/b)(1-e/c)(1-e/d)}{(1-e)(1-eq/g)}\phi(e+,g-)\\ &-\frac{(e-gq)(1-gq/f)(1-g/q)(1-g)(1-f/a)(1-f/b)(1-f/c)(1-f/d)}{(1-f)(1-fq/g)}\phi(f+,g-)\\ &-\frac{(e-f)(1-g)(g-aq)(g-bq)(g-cq)(g-dq)(e-gq)(f-gq)}{abcdq^2(g-eq)(g-fq)}\phi \end{align}
これを整理すると,
\begin{align} &\frac{(g-fq)(1-e/a)(1-e/b)(1-e/c)(1-e/d)}{e(1-e)}\phi(e+,g-)\\ &-\frac{(g-eq)(1-f/a)(1-f/b)(1-f/c)(1-f/d)}{f(1-f)}\phi(f+,g-)\\ &-\frac{(e-f)q^2(1-g/aq)(1-g/bq)(1-g/cq)(1-g/dq)}{g(1-g/q)}\phi=0 \end{align}
となる. $g\mapsto gq$として整理すると以下を得る.

次に, 前の記事 の定理5の2つ目の関係式は
\begin{align} (1-a)(e-b)(\phi(a+,e+)-\phi)-(1-b)(e-a)(\phi(b+,e+)-\phi)=0 \end{align}
と書き換えられる. 両辺に$\frac{fg}{abq}(1-e/c)(1-e/d)$を掛けて 前の記事 の定理3を用いて$\phi(a+,e+), \phi(b+,e+)$を消去すると,
\begin{align} 0&=a((1-e/q)(1-e)(1-f/a)(1-g/a)(\phi(a-,e-)-\phi)+(1-e/a)(1-b)(1-c)(1-d)\phi)\\ &\qquad-b((1-e/q)(1-e)(1-f/b)(1-g/b)(\phi(b-,e-)-\phi)+(1-e/b)(1-a)(1-c)(1-d)\phi)\\ &=a((1-e/q)(1-e)(1-f/a)(1-g/a)\phi(a-,e-)\\ &-b((1-e/q)(1-e)(1-f/b)(1-g/b)\phi(b-,e-)\\ &+\frac{(a-b)(1-e)(e-cq)(e-dq)}{eq}\phi \end{align}
となる. 整理すると以下を得る.

次に, 定理4の式で$b,e\to bq,eq$とすると,
\begin{align} &ae(1-e)(1-f/a)(1-g/a)\phi(a-,b+)\\ &-beq(1-e)(1-f/bq)(1-g/bq)\phi\\ &+(a-bq)(e-c)(e-d)\phi(b+,e+)=0 \end{align}
を得る.　これは$e,f$を入れ替えて整理すると
\begin{align} &(a-e)(a-g)(\phi(a-,b+)-\phi)\\ &=a(bq-a)\left((1-eg/abq)\phi+\frac{(f-c)(f-d)}{f(1-f)}\phi(b+,f+)\right) \end{align}
と書き換えられる. 変数を入れ替えて,
\begin{align} &(b-f)(b-g)(\phi(a+,b-)-\phi)\\ &=b(aq-b)\left((1-fg/abq)\phi+\frac{(e-c)(e-d)}{e(1-e)}\phi(a+,e+)\right) \end{align}
も得られる. これらを 前の記事 の定理2に代入すると,
\begin{align} 0&=(1-b)(a-f)\left((1-eg/abq)\phi+\frac{(f-c)(f-d)}{f(1-f)}\phi(b+,f+)\right)\\ &-(1-a)(b-e)\left((1-fg/abq)\phi+\frac{(e-c)(e-d)}{e(1-e)}\phi(a+,e+)\right)\\ &+(b-a)(1-c)(1-d)\phi\\ &=\frac{(1-b)(a-f)(f-c)(f-d)}{f(1-f)}(\phi(b+,f+)-\phi)\\ &-\frac{(1-a)(b-e)(e-c)(e-d)}{e(1-e)}(\phi(a+,e+)-\phi)\\ &+\frac{(e-f)(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)}{(1-e)(1-f)}\phi \end{align}
を得る.

次に, 定理1において, $a\mapsto aq$として,
\begin{align} &\frac{(c-b)(aq-e)(aq-f)(aq-g)}{aq}\phi\\ &+\frac{(aq-c)(b-e)(b-f)(b-g)}{b}\phi(a+,b-)\\ &+\frac{(b-aq)(c-e)(c-f)(c-g)}{c}\phi(a+,c-)=0 \end{align}
これは
\begin{align} &\frac{(aq-b)(c-e)(c-f)(c-g)}{c}(\phi(a+,c-)-\phi)\\ &=\left(\frac{(c-b)(aq-e)(aq-f)(aq-g)}{aq}-\frac{(aq-b)(c-e)(c-f)(c-g)}{c}\right)\phi\\ &+\frac{(aq-c)(b-e)(b-f)(b-g)}{b}\phi(a+,b-) \end{align}
を得る. 変数を置き換えて
\begin{align} &\frac{(cq-d)(a-e)(a-f)(a-g)}{a}(\phi(a-,c+)-\phi)\\ &=\left(\frac{(a-d)(cq-e)(cq-f)(cq-g)}{cq}-\frac{(cq-d)(a-e)(a-f)(a-g)}{a}\right)\phi\\ &+\frac{(cq-a)(d-e)(d-f)(d-g)}{d}\phi(c+,d-) \end{align}
も得られる. これらを 前の記事 の定理2で$b,c$を入れ替えた式に代入すると
\begin{align} 0&=\frac{ac(1-c)(aq-c)}{cq-d}\left(\frac{(a-d)(cq-e)(cq-f)(cq-g)}{cq}-\frac{(cq-d)(a-e)(a-f)(a-g)}{a}\right)\phi\\ &+\frac{ac(1-c)(aq-c)}{cq-d}\frac{(cq-a)(d-e)(d-f)(d-g)}{d}\phi(c+,d-)\\ &-\frac{ac(1-a)(cq-a)}{aq-b}\left(\frac{(c-b)(aq-e)(aq-f)(aq-g)}{aq}-\frac{(aq-b)(c-e)(c-f)(c-g)}{c}\right)\phi\\ &-\frac{ac(1-a)(cq-a)}{aq-b}\frac{(aq-c)(b-e)(b-f)(b-g)}{b}\phi(a+,b-)\\ &+ac(c-a)(1-b)(1-d)(cq-a)(aq-c)\phi\\ \end{align}
つまり,

\begin{align} 0&=\frac{1-c}{(cq-a)(cq-d)}\left(\frac{(a-d)(cq-e)(cq-f)(cq-g)}{cq}-\frac{(cq-d)(a-e)(a-f)(a-g)}{a}\right)\phi\\ &+\frac{(1-c)(d-e)(d-f)(d-g)}{d(cq-d)}\phi(c+,d-)\\ &-\frac{1-a}{(aq-b)(aq-c)}\left(\frac{(c-b)(aq-e)(aq-f)(aq-g)}{aq}-\frac{(aq-b)(c-e)(c-f)(c-g)}{c}\right)\phi\\ &-\frac{(1-a)(b-e)(b-f)(b-g)}{b(aq-b)}\phi(a+,b-)\\ &+(c-a)(1-b)(1-d)\phi\\ &=\frac{(1-c)(d-e)(d-f)(d-g)}{d(cq-d)}(\phi(c+,d-)-\phi)\\ &-\frac{(1-a)(b-e)(b-f)(b-g)}{b(aq-b)}(\phi(a+,b-)-\phi)\\ &+(1-a)(1-c)(b-d)\phi \end{align}

次に, 定理5の式
\begin{align} &\frac{(1-b)(f-a)(f-c)(f-d)}{f(1-f)}(\phi(b+,f+)-\phi)\\ &-\frac{(1-a)(e-b)(e-c)(e-d)}{e(1-e)}(\phi(a+,e+)-\phi)\\ &-\frac{(e-f)(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)}{(1-e)(1-f)}\phi=0 \end{align}
において, 前の記事 の定理3を用いて$\phi(b+,f+),\phi(a+,e+)$を消去すると,

\begin{align} 0&=\frac{b}{1-f}\bigg((1-f/q)(1-f)(1-e/b)(1-g/b)(\phi(b-,f-)-\phi)\\ &\qquad+(1-f/b)(1-a)(1-c)(1-d)\phi\bigg)\\ &-\frac{a}{1-e}\bigg((1-e/q)(1-e)(1-f/a)(1-g/a)(\phi(a-,e-)-\phi)\\ &\qquad+(1-e/a)(1-b)(1-c)(1-d)\phi\bigg)\\ &-\frac{(e-f)(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)}{(1-e)(1-f)}\phi\\ &=b(1-f/q)(1-e/b)(1-g/b)(\phi(b-,f-)-\phi)\\ &-a(1-e/q)(1-f/a)(1-g/a)(\phi(a-,e-)-\phi)\\ &-(a-b)(1-c)(1-d)\phi \end{align}
を得る

古典極限

\begin{align} F&:=F(a,b,c,d,e,f,g)\\ &=\F43{a,b,c,d}{e,f,g}1\qquad 1+a+b+c+d=e+f+g \end{align}
として 前の記事 と同様の記法を用いる. 定理1から定理7の古典極限は以下のようになる.