Askey-Wilsonの隣接関係式

$a^3q^2=bcdefgh$に対し,
\begin{align} \Phi&=\Phi(a;b,c,d,e,f,g,h)\\ &:=\Q{10}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f,g,h}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq/h}q \end{align}
と表す. $\Phi(b+,c-)$のように書いたとき, $\\$において$b,c$を$bq,c/q$に置き換えたものを表すものとする. 前の記事 で以下の定理を示した.

Balancedな${}_4\phi_3$を
\begin{align} \phi&=\phi(a,b,c,d,e,f,g)\\ &:=\Q43{a,b,c,d}{e,f,g}q\qquad abcdq=efg \end{align}
と表すとする.
\begin{align} \lim_{a\to 0}\Phi(a;aq/b,aq/c,aq/d,e,f,g,h)&=\phi(e,f,g,h,b,c,d) \end{align}
となることから, 定理1において, $b,c,d$を$aq/b,aq/c,aq/d$としてから$a\to 0$とすると
\begin{align} &\frac{g(1-h)(1-b/g)(1-c/g)(1-d/g)}{1-hq/g}\\ &\qquad\cdot(\phi(e,f,g-,h+,b,c,d)-\phi(e,f,g,h,b,c,d))\\ -&\frac{h(1-g)(1-b/h)(1-c/h)(1-d/h)(1-e/h)(1-f/h)}{1-gq/h}\\ &\qquad\cdot(\phi(e,f,g+,h-,b,c,d)-\phi(e,f,g,h,b,c,d))\\ -&h(1-g/h)(1-e)(1-f)\phi(e,f,g,h,b,c,d)=0 \end{align}
変数を置き換えて整理すると以下を得る.

この隣接関係式は, Watsonの変換公式 を用いることによって, Ismail-Rahmanの隣接関係式 のterminatingな場合と同値であることが分かる. つまり, Ismail-Rahmanの隣接関係式はAskey-Wilsonの隣接関係式の一般化となっている.

定理1からは$\phi$に関する他の隣接関係式も得ることができる. 定理1において, $b,c,g$を$aq/b,aq/c,aq/g$に置き換えて$a\to 0$とすると,
\begin{align} &\lim_{a\to 0}\frac{aq(1-h)(1-bg/aq)(1-cg/aq)(1-g/d)(1-g/e)(1-g/f)}{g(1-gh/a)}\\ &\qquad\cdot(\phi(d,e,f,h+,b,c,g+)-\phi(d,e,f,h,b,c,g))\\ &-h(1-g/q)(1-g)(1-b/h)(1-c/h)(\phi(d,e,f,h-,b,c,g-)-\phi(d,e,f,h,b,c,g))\\ &-h(1-g/h)(1-b)(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)\phi(d,e,f,h,b,c,g)=0 \end{align}
つまり,
\begin{align} &-\frac{bc(1-h)(1-g/d)(1-g/e)(1-g/f)}{hq}(\phi(d,e,f,h+,b,c,g+)-\phi(d,e,f,h,b,c,g))\\ &-h(1-g/q)(1-g)(1-b/h)(1-c/h)(\phi(d,e,f,h-,b,c,g-)-\phi(d,e,f,h,b,c,g))\\ &-h(1-g/h)(1-d)(1-e)(1-f)\phi(d,e,f,h,b,c,g)=0 \end{align}
を得る. 変数を置き換えて整理すると以下を得る.

また, 定理1において, $b,g,h$を$aq/b,aq/g,aq/h$に置き換えてから$a\to 0$とすると,

\begin{align} &-b\frac{(1-h/q)(1-h)(1-g/c)(1-g/d)(1-g/e)(1-g/f)}{1-gq/h}\\ &\qquad\cdot(\phi(c,d,e,f,b,g+,h-)-\phi(c,d,e,f,b,g,h))\\ &+b\frac{(1-g/q)(1-g)(1-h/c)(1-h/d)(1-h/e)(1-h/f)}{1-hq/g}\\ &\qquad\cdot(\phi(c,d,e,f,b,g-,h+)-\phi(c,d,e,f,b,g,h))\\ &+g(1-h/g)(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)\phi(c,d,e,f,b,g,h)=0 \end{align}
を得る. 変数を置き換えて以下が得られる.

前の記事 における補題2の証明で用いた隣接関係式
\begin{align} &c(1-c)(1-a/c)(1-dq/b)(1-bd/aq)\Phi(b-,c+)\\ &\qquad-d(1-d)(1-a/d)(1-cq/b)(1-bc/aq)\Phi(b-,d+)\\ &=(c-d)(1-b/q)(1-aq/b)(1-cd/a)\Phi \end{align}
において, $f,g,h$を$aq/f,aq/g,aq/h$に置き換えて両辺に$a$を掛けてから$a\to 0$とすると
\begin{align} &-bcdq^{-1}(1-c)(1-dq/b)\phi(b-,c+,d,e,f,g,h)\\ &\qquad+bcdq^{-1}(1-d)(1-cq/b)\phi(b-,c,d+,e,f,g,h)\\ &=-cd(c-d)(1-b/q)\phi(b,c,d,e,f,g,h) \end{align}
となる. 変数を置き換えて整理すると以下を得る.

\begin{align} &a(1-b)(1-cq/a)\phi(a-,b+)-a(1-c)(1-bq/a)\phi(a-,c+)\\ &=q(b-c)(1-a/q)\phi \end{align}
また, 同じ式
\begin{align} &c(1-c)(1-a/c)(1-dq/b)(1-bd/aq)\Phi(b-,c+)\\ &\qquad-d(1-d)(1-a/d)(1-cq/b)(1-bc/aq)\Phi(b-,d+)\\ &=(c-d)(1-b/q)(1-aq/b)(1-cd/a)\Phi \end{align}
において, $b,g,h$を$aq/b,aq/g,aq/h$と置き換えて, 両辺に$a$を掛けてから$a\to 0$とすると
\begin{align} &-bcd(1-c)(1-d/b)\phi(c+,d,e,f,b+,g,h)\\ &\qquad+bcd(1-d)(1-c/b)\phi(c,d+,e,f,b+,g,h)\\ &=-cd(c-d)(1-b)\phi(c,d,e,f,b,g,h) \end{align}
となる. 変数を置き換えて整理すると以下を得る.
\begin{align} &(1-a)(e-b)\phi(a+,e+)-(1-b)(e-a)\phi(b+,e+)\\ &=(a-b)(1-e)\phi \end{align}
まとめると以下を得る.

これらはterminatingでなくても成り立つ関係式であり, それほど非自明なものではないが有用である. これらは$\phi$の定義から簡単に示すことができる.

古典極限

\begin{align} F&=F(a,b,c,d,e,f,g)\\ &:=\F43{a,b,c,d}{e,f,g}1\qquad 1+a+b+c+d=e+f+g \end{align}
とする. $F$における$a,b$を$a-1,b+1$に置き換えたものを$F(a-,b+)$のように表すとする. 定理2から定理5までの古典極限を考えると以下を得る.