Ismail-Rahmanの隣接関係式
前回の記事
で,
\begin{align}
\Phi&=\Phi(a;b,c,d,e,f,g,h)\\
&:=\Q{10}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f,g,h}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq/h}q\\
&\qquad a^3q^2=bcdefgh
\end{align}
に関して, terminatingな$\Phi$に関するGupta-Massonの隣接関係式を示した. $\Phi(b+,c-)$のように書いたとき, $b,c$を$bq,c/q$に置き換えたものを表すものとする
$\Phi$がterminatingのとき,
\begin{align}
&\frac{g(1-h)(1-a/h)(1-aq/h)(1-aq/bg)(1-aq/cg)(1-aq/dg)(1-aq/eg)(1-aq/fg)}{1-hq/g}\\
&\qquad\cdot(\Phi(g-,h+)-\Phi)\\
-&\frac{h(1-g)(1-a/g)(1-aq/g)(1-aq/bh)(1-aq/ch)(1-aq/dh)(1-aq/eh)(1-aq/fh)}{1-gq/h}\\
&\qquad\cdot(\Phi(h-,g+)-\Phi)\\
-&(h-g)(1-aq/gh)(1-b)(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)\Phi=0
\end{align}
が成り立つ.
今回は, これを用いてIsmail-Rahmanによる
\begin{align}
\phi&=\phi(a;b,c,d,e,f)\\
&:=\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f}{\frac{a^2q}{bcdef}}
\end{align}
の隣接関係式を導きたいと思う. まず, 定理1において, $b=q^{-n},c$以外を固定して$n\to\infty$とすると,
\begin{align}
&\frac{(1-h)(1-a/h)(1-aq/h)(1-aq/dg)(1-aq/eg)(1-aq/fg)}{1-hq/g}\\
&\qquad\cdot(\phi(a;d,e,f,g-,h+)-\phi(a;d,e,f,g,h))\\
-&\frac{(1-g)(1-a/g)(1-aq/g)(1-aq/dh)(1-aq/eh)(1-aq/fh)}{1-gq/h}\\
&\qquad\cdot(\phi(a;d,e,f,h-,g+)-\phi(a;d,e,f,g,h))\\
-&\frac{a^2q}{defgh}(h-g)(1-aq/gh)(1-d)(1-e)(1-f)\phi(a;d,e,f,g,h)=0
\end{align}
よって, $g,h$を$b,c$として以下を得る.
\begin{align} &\frac{(1-c)(1-a/c)(1-aq/c)(1-aq/bd)(1-aq/be)(1-aq/bf)}{1-cq/b}\\ &\qquad\cdot(\phi(b-,c+)-\phi)\\ -&\frac{(1-b)(1-a/b)(1-aq/b)(1-aq/cd)(1-aq/ce)(1-aq/cf)}{1-bq/c}\\ &\qquad\cdot(\phi(b+,c-)-\phi)\\ &+\frac{a^2q}{bcdef}(b-c)(1-aq/bc)(1-d)(1-e)(1-f)\phi=0 \end{align}
Ismail-Rahmanの論文においては定理2を導くために以下の2つの隣接関係式をNassrallah-Rahman積分によって直接的に示している.
\begin{align} &\frac{b(1-aq/bd)(1-aq/be)(1-aq/bf)}{1-aq/b}\phi(b-)\\ &-\frac{c(1-aq/cd)(1-aq/ce)(1-aq/cf)}{1-aq/c}\phi(c-)\\ &-(b-c)(1-a^2q^2/bcdef)\phi=0\\ &(1-b)(1-a/b)\phi(b+)-(1-c)(1-a/c)\phi(c+)+(b-c)(1-a/bc)\phi=0 \end{align}
これらについても 前の記事 の結果を用いることで示すことができる.
2つ目の等式は
前の記事
の補題2における証明で用いた式
\begin{align}
&c(1-c)(1-a/c)(1-dq/b)(1-bd/aq)\Phi(b-,c+)\\
&\qquad-d(1-d)(1-a/d)(1-cq/b)(1-bc/aq)\Phi(b-,d+)\\
&=(c-d)(1-b/q)(1-aq/b)(1-cd/a)\Phi
\end{align}
において, $b=q^{-n}, h$以外を固定して$n\to\infty$とすると,
\begin{align}
&-\frac{cd}{aq}(1-c)(1-a/c)\phi(a;c+,d,e,f,g)\\
&\qquad+\frac{cd}{aq}(1-d)(1-a/d)\phi(a;c,d+,e,f,g)\\
&=-\frac 1q(c-d)(1-cd/a)\phi(a;c,d,e,f,g)
\end{align}
であるから, $d\mapsto b,g\mapsto d$として整理すれば,
\begin{align}
&(1-b)(1-a/b)\phi(b+)-(1-c)(1-a/c)\phi(c+)+(b-c)(1-a/bc)\phi=0
\end{align}
を得る. 次に, 定理1において, $b=q^{-n},h$以外を固定して$n\to\infty$とすれば,
\begin{align}
&g(1-aq/cg)(1-aq/dg)(1-aq/eg)(1-aq/fg)\\
&\qquad\cdot(\Phi(g-,h+)-\Phi)\\
-&q(1-g)(1-a/g)(1-aq/g)(1-a^2q/cdefg)\\
&\qquad\cdot(\Phi(h-,g+)-\Phi)\\
+&a^2q^2/cdefg(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)\Phi=0
\end{align}
\begin{align}
&a^2gq(1-aq/bg)(1-aq/cg)(1-aq/dg)(1-aq/eg)(1-aq/fg)\\
&\qquad\cdot(\phi(a;c,d,e,f,g-)-\phi(a;c,d,e,f,g))\\
-&(aq)^2(1-g)(1-a/g)(1-aq/g)(\phi(a;c,d,e,f,g+)-\phi(a;c,d,e,f,g))=0
\end{align}
つまり,
\begin{align}
&g(1-aq/cg)(1-aq/dg)(1-aq/eg)(1-aq/fg)\\
&\qquad\cdot(\phi(a;c,d,e,f,g-)-\phi(a;c,d,e,f,g))\\
-&q(1-g)(1-a/g)(1-aq/g)(1-a^2q/cdefg)(\phi(a;c,d,e,f,g+)-\phi(a;c,d,e,f,g))\\
&+\frac{a^2q^2}{cdefg}(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)\phi=0
\end{align}
を得る. $g\mapsto b$として,
\begin{align}
&b(1-aq/bc)(1-aq/bd)(1-aq/be)(1-aq/bf)(\phi(b-)-\phi)\\
-&q(1-b)(1-a/b)(1-aq/b)(1-a^2q/bcdef)(\phi(b+)-\phi)\\
&+\frac{a^2q^2}{bcdef}(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)\phi=0
\end{align}
よって, これと2つ目の式を用いれば,
\begin{align}
0&=\frac{b(1-aq/bc)(1-aq/bd)(1-aq/be)(1-aq/bf)}{1-aq/b}(\phi(b-)-\phi)\\
&-q(1-b)(1-a/b)(1-a^2q/bcdef)(\phi(b+)-\phi)\\
&+\frac{a^2q^2}{bcdef}\frac{(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)}{1-aq/b}\phi\\
&-\frac{c(1-aq/bc)(1-aq/cd)(1-aq/ce)(1-aq/cf)}{1-aq/c}(\phi(c-)-\phi)\\
&+q(1-c)(1-a/c)(1-a^2q/bcdef)(\phi(c+)-\phi)\\
&-\frac{a^2q^2}{bcdef}\frac{(1-b)(1-d)(1-e)(1-f)}{1-aq/c}\phi\\
&=\frac{b(1-aq/bc)(1-aq/bd)(1-aq/be)(1-aq/bf)}{1-aq/b}(\phi(b-)-\phi)\\
&-\frac{c(1-aq/bc)(1-aq/cd)(1-aq/ce)(1-aq/cf)}{1-aq/c}(\phi(c-)-\phi)\\
&+\frac{a^2q^2}{bcdef}\frac{(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)}{1-aq/b}\phi\\
&-\frac{a^2q^2}{bcdef}\frac{(1-b)(1-d)(1-e)(1-f)}{1-aq/c}\phi\\
&=\frac{b(1-aq/bc)(1-aq/bd)(1-aq/be)(1-aq/bf)}{1-aq/b}\phi(b-)\\
&-\frac{c(1-aq/bc)(1-aq/cd)(1-aq/ce)(1-aq/cf)}{1-aq/c}\phi(c-)\\
&+\frac{a^2q^2}{bcdef}(1-d)(1-e)(1-f)\left(\frac{1-c}{1-aq/b}-\frac{1-b}{1-aq/c}\right)\phi\\
&+(1-aq/bc)\left(\frac{c(1-aq/cd)(1-aq/ce)(1-aq/cf)}{1-aq/c}-\frac{b(1-aq/bd)(1-aq/be)(1-aq/bf)}{1-aq/b}\right)\phi\\
&=\frac{b(1-aq/bc)(1-aq/bd)(1-aq/be)(1-aq/bf)}{1-aq/b}\phi(b-)\\
&-\frac{c(1-aq/bc)(1-aq/cd)(1-aq/ce)(1-aq/cf)}{1-aq/c}\phi(c-)\\
&-(1-aq/bc)(b-c)(1-a^2q^2/bcdef)\phi
\end{align}
となるから, 両辺を$1-aq/bc$で割って1つ目の等式が得られる.
このようにGupta-Massonの隣接関係式からも定理3が示されることが分かった. 証明の過程で, 以下の隣接関係式も得られた.
\begin{align} &b(1-aq/bc)(1-aq/bd)(1-aq/be)(1-aq/bf)(\phi(b-)-\phi)\\ -&q(1-b)(1-a/b)(1-aq/b)(1-a^2q/bcdef)(\phi(b+)-\phi)\\ &+\frac{a^2q^2}{bcdef}(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)\phi=0 \end{align}
これ自体も有用かもしれない. 定理2はIsmail-Rahmanの論文において, Askey-Wilson陪多項式(associated Askey-Wilson polynomials)の研究に応用されている.
古典極限
\begin{align}
F&=F(a;b,c,d,e,f)\\
&:=\F76{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}1
\end{align}
とする. 定理2, 定理3, 定理4の古典極限を考えると以下を得る.
\begin{align} &\frac{c(a-c)(1+a-c)(1+a-b-d)(1+a-b-e)(1+a-b-f)}{1+c-b}\\ &\qquad\cdot(F(b-,c+)-F)\\ -&\frac{b(a-b)(1+a-b)(1+a-c-d)(1+a-c-e)(1+a-c-f)}{1+b-c}\\ &\qquad\cdot(F(b+,c-)-F)\\ &-(b-c)(1+a-b-c)def F=0 \end{align}
\begin{align} &\frac{(1+a-b-d)(1+a-b-e)(1+a-b-f)}{1+a-b}F(b-)\\ &-\frac{(1+a-c-d)(1+a-c-e)(1+a-c-f)}{1+a-c}F(c-)\\ &+(b-c)(2+2a-b-c-d-e-f)F=0\\ &b(a-b)F(b+)-c(a-c)F(c+)-(b-c)(a-b-c)F=0 \end{align}
\begin{align} &(1+a-b-c)(1+a-b-d)(1+a-b-e)(1+a-b-f)(F(b-)-F)\\ &-b(a-b)(1+a-b)(1+2a-b-c-d-e-f)(F(b+)-F)+cdefF=0 \end{align}
