x^n e^{-x} sinxの広義積分を計算する

まず広義積分が収束することを示す.
${\displaystyle {\int }_0^1{x}^n{e}^{-x}\sin xdx}$はもちろん収束する.
また，$\alpha >1$として${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^{n+\alpha }{e}^{-x}\sin x=0}$なので，ある$M>0$があって，$x\ge 1$において

$|x^{n+\alpha }{e}^{-x}\sin x|\le M$ (有界)となる.

$|x^n{e}^{-x}\sin x|\le {\displaystyle \frac{M}{x^{\alpha }}}$であり，広義積分${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{M}{x^{\alpha }}}dx}$は収束するから，${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-x}\sin xdx}$は絶対収束をする.

したがって，${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-x}\sin xdx}$も絶対収束をする.

同様に$\cos x$の方の積分も絶対収束することがわかる.

つぎに，具体的な計算に移る.

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-x}\cos xdx}$，$J_n={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-x}\sin xdx}$とおく.
オイラーの公式$e^{ix}=\cos x+i\sin x$を用いると，

$I_n+i{J}_n={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-x}\cdot e^{ix}dx={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{(-1+i)x}dx}}$

となる. これを$K_n$と置き，$n\ge 1$で部分積分によって計算をすると

$\begin{array}{rl}{K}_n& ={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^n{\left({\displaystyle \frac{e^{(-1+i)x}}{-1+i}}\right)}^{\prime }dx}\\ \\ & ={\left[x^n{\displaystyle \frac{e^{(-1+i)x}}{-1+i}}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}-{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}(x^n{)}^{\prime }{\displaystyle \frac{e^{(-1+i)x}}{-1+i}}dx}\\ \\ & ={[{\displaystyle \frac{x^n}{e^x}}\cdot {\displaystyle \frac{e^{ix}}{(-1+i)}}]}_0^{\mathrm{\infty }}+{\displaystyle \frac{1+i}{2}}n{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{n-1}{e}^{(-1+i)x}dx}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{n}{\sqrt{2}}}{e}^{i{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{K}_{n-1}\end{array}$

以上により$K_n={\displaystyle \frac{n}{\sqrt{2}}}{e}^{i{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{K}_{n-1}(n\ge 1)$という漸化式が得られるので，
これを順次用いて$K_n={\displaystyle \frac{e^{i{\displaystyle \frac{n}{4}}\pi }}{\sqrt{2^n}}}n!K_0$となる. ($n=0$でも成り立つ.)

ここで$K_0={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{(-1+i)x}dx={\displaystyle \frac{e^{i{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}}{\sqrt{2}}}}$なので，結局$K_n={\displaystyle \frac{e^{i{\displaystyle \frac{n+1}{4}}\pi }}{\sqrt{2^{n+1}}}}n!$.

$K_n$実部と虚部を取ることで，$I_n={\displaystyle \frac{n!}{\sqrt{2^{n+1}}}}\cos {\displaystyle \frac{n+1}{4}}\pi$，$J_n={\displaystyle \frac{n!}{\sqrt{2^{n+1}}}}\sin {\displaystyle \frac{n+1}{4}}\pi$，つまり

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-x}\sin xdx={\displaystyle \frac{n!}{\sqrt{2^{n+1}}}}\sin {\displaystyle \frac{n+1}{4}}\pi }$

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-x}\cos xdx={\displaystyle \frac{n!}{\sqrt{2^{n+1}}}}\cos {\displaystyle \frac{n+1}{4}}\pi }$

がわかった.

$Q.E.D.$