xⁿe⁻ˣsinxの広義積分を計算する

まず広義積分が収束することを示す.
$\displaystyle \int_{0}^{1} x^n e^{-x} \sin x \, dx$はもちろん収束する.
また，$\alpha > 1$として$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^{n+\alpha}e^{-x} \sin x = 0$なので，ある$M>0$があって，$x \geq 1$において

$|x^{n+\alpha}e^{-x} \sin x| \leq M$ (有界)となる.

$|x^{n}e^{-x} \sin x| \leq \dfrac{M}{x^{\alpha}}$であり，広義積分$\displaystyle \int_{1}^{\infty} \dfrac{M}{x^{\alpha}} \, dx$は収束するから，$\displaystyle \int_{1}^{\infty} x^n e^{-x} \sin x \, dx$は絶対収束をする.

したがって，$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \sin x \, dx$も絶対収束をする.

同様に$\cos x$の方の積分も絶対収束することがわかる.

つぎに，具体的な計算に移る.

$I_n = \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \cos x \, dx$，$J_n = \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \sin x \, dx$とおく.
オイラーの公式$e^{ix} = \cos x + i\sin x$を用いると，

$I_n +iJ_n = \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \cdot e^{ix} \, dx = \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^n e^{(-1+i)x} \, dx$

となる. これを$K_n$と置き，$n \geq 1$で部分積分によって計算をすると

$\begin{align} K_n &= \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^n \left(\dfrac{e^{(-1+i)x}}{-1+i}\right) ' \, dx \\\\ &= \left[ x^n \dfrac{e^{(-1+i)x}}{-1+i} \right]_{0}^{\infty} - \displaystyle \int_{0}^{\infty} (x^n)' \, \dfrac{e^{(-1+i)x}}{-1+i} \, dx\\\\ &= \left[ \dfrac{x^n}{e^x} \cdot \dfrac{e^{ix}}{(-1+i)} \right]_{0}^{\infty} + \dfrac{1+i}{2}n\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{(-1+i)x} \, dx\\\\ &= \dfrac{n}{\sqrt{2}}\,e^{i\dfrac{\pi}{4}}\,K_{n-1} \end{align}$

以上により$ K_n = \dfrac{n}{\sqrt{2}}\,e^{i\dfrac{\pi}{4}}\,K_{n-1} \,\,(n \geq 1)$という漸化式が得られるので，
これを順次用いて$K_n = \dfrac{e^{i\dfrac{n}{4}\pi}}{\sqrt{2^n}}\,n! \, K_{0}$となる. ($n=0$でも成り立つ.)

ここで$K_0 = \displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{(-1+i)x} \, dx = \dfrac{e^{i\dfrac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}}$なので，結局$K_n = \dfrac{e^{i\dfrac{n+1}{4}\pi}}{\sqrt{2^{n+1}}}\,n!$.

$K_n$実部と虚部を取ることで，$I_n = \dfrac{n!}{\sqrt{2^{n+1}}} \cos \dfrac{n+1}{4} \pi$，$J_n = \dfrac{n!}{\sqrt{2^{n+1}}} \sin \dfrac{n+1}{4} \pi$，つまり

$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \sin x \, dx = \dfrac{n!}{\sqrt{2^{n+1}}} \sin \dfrac{n+1}{4}\pi$

$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \cos x \, dx = \dfrac{n!}{\sqrt{2^{n+1}}} \cos \dfrac{n+1}{4} \pi$

がわかった.

$ Q.E.D.$