現代数学解説

文献あり

ランベルトのW関数の積分を解いたり, テトレーションをW関数で表したりした

級数,テトレーション,ランベルトのW関数

339

ランベルトの $W$ 関数

定義

ランベルトの $W$ 関数は関数 $f (x) = x e^{x}$ の逆関数のことです. 次のように定義します.

ランベルトのW関数

関数 $f : R \to (- 1 / e, \infty), x \mapsto x e^{x}$ の逆関数を
$f^{- 1} (x) = W_{0} (x) (- 1 \leq x)$
$f^{- 1} (x) = W_{- 1} (x) (x \leq - 1)$
と定める. このとき, $W_{0}$ を主枝, $W_{- 1}$ を分枝と言う.

関数のグラフは以下のようになります.

ランベルトのW関数

$W_{0}$ の級数展開

W_{0}

の級数展開

$- \frac{1}{e} \leq x \leq \frac{1}{e}$ のとき, 次の式が成り立つ.
$W_{0} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- n)^{n - 1}}{n!} x^{n}$

英語版WikipediaのLagrange inversion theorem(ラグランジュの反転公式)を参考に級数展開を求めていきます.

ラグランジュの反転公式 (

0

中心の展開)

$f (x)$ が点 $0$ で解析的で $f (0) = 0, f^{'} (0) \neq 0$ を満たすとき
$f^{- 1} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} lim_{t \to 0} (\frac{d^{n - 1}}{d t^{n - 1}} {(\frac{t}{f (t)})}^{n}) \frac{x^{n}}{n!}$

$f (x) = x e^{x} (- 1 \leq x)$ とすると, $f^{- 1} (x) = W_{0} (x)$ である.
$W_{0} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} lim_{t \to 0} (\frac{d^{n - 1}}{d t^{n - 1}} e^{- n t}) \frac{x^{n}}{n!} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- n)^{n - 1}}{n!} x^{n}$
を得る. ダランベールの収束判定法を用いると
$| \frac{\frac{(- n - 1)^{n}}{(n + 1)!} x^{n + 1}}{\frac{(- n)^{n - 1}}{n!} x^{n}} | = | - \frac{(n + 1)^{n - 1}}{n^{n - 1}} x | = | {(1 + \frac{1}{n})}^{n - 1} x | < e | x | < 1$
よって, 収束半径は $1 / e$ です.
また, Wolfram Mathematicaで $x = \pm 1 / e$ のときを調べると級数は収束したので, $- 1 / e \leq x \leq 1 / e$ で級数は収束します.

ランベルトの $W$ 関数の積分

$\int_{- \infty}^{- 1} - W_{0} (W_{- 1}^{- 1} (x)) d x + \int_{- 1}^{0} - W_{- 1} (W_{0}^{- 1} (x)) d x = \frac{π^{2}}{3}$

$W_{- 1}$ の積分を $W_{0}$ の積分で表す

$W_{0} (W_{- 1}^{- 1} (x)) (x \leq - 1)$ と $W_{- 1} (W_{0}^{- 1} (x)) (- 1 \leq x)$ は $y = x$ で線対称であることを示す.
$x \leq - 1$ のとき $- 1 \leq W_{0} (W_{- 1}^{- 1} (x))$ より, $W_{0} (W_{- 1}^{- 1} (x))$ を $W_{- 1} (W_{0}^{- 1} (x))$ に代入して
$W_{- 1} (W_{0}^{- 1} (W_{0} (W_{- 1}^{- 1} (x)))) = W_{- 1} (W_{- 1}^{- 1} (x)) = x$
$W_{0} (W_{- 1}^{- 1} (x)) (x \leq - 1)$ は $W_{- 1} (W_{0}^{- 1} (x)) (- 1 \leq x)$ の逆関数となっているから, $y = x$ で線対称である.
よって, 次の等式を得られる.
$\int_{- 1}^{0} - W_{- 1} (W_{0}^{- 1} (x)) d x = \int_{- \infty}^{- 1} - W_{0} (W_{- 1}^{- 1} (x)) d x - 1$
これを求める積分に代入して
$\int_{- \infty}^{- 1} - W_{0} (W_{- 1}^{- 1} (x)) d x + \int_{- 1}^{0} - W_{- 1} (W_{0}^{- 1} (x)) d x = 2 \int_{- \infty}^{- 1} - W_{0} (W_{- 1}^{- 1} (x)) d x - 1 = 2 \int_{- \infty}^{0} - W_{0} (W_{- 1}^{- 1} (x)) d x = 2 \int_{- \infty}^{0} - W_{0} (x e^{x}) d x$
となる.

級数展開で積分を級数にする

$W_{0} (x)$ の $x = 0$ 中心のテイラー展開は
$W_{0} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- n)^{n - 1}}{n!} x^{n} (| x | \leq \frac{1}{e})$
であり, $x \leq - 1$ のとき, $- \frac{1}{e} \leq x e^{x} < 0$ なので
$2 \int_{- \infty}^{0} - W_{0} (x e^{x}) d x = - 2 \int_{- \infty}^{0} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- n)^{n - 1}}{n!} (x e^{x})^{n} d x$

積分と無限和の入れ替えのために, 有界であることを示したい.

優関数 $f$ を
$f (x) = {\begin{cases} x^{2} e^{x} & (x \leq - 2) \\ x + 2 + \frac{4}{e^{2}} & (- 2 < x \leq 0) \end{cases}$
と定めると, 任意の $x \leq 0, N \in N$ に対して
$0 < | \sum_{n = 1}^{N} \frac{(- n)^{n - 1}}{n!} (x e^{x})^{n} | < f (x)$ となる.
$\int_{- \infty}^{0} f (x) d x = \int_{- \infty}^{- 2} x^{2} e^{x} d x + \int_{- 2}^{0} (x + 2 + \frac{4}{e^{2}}) d x = 2 + \frac{18}{e^{2}} < \infty$

これより, ルベーグの収束定理が使えて, 総和と積分を入れ換えると
$- 2 \int_{- \infty}^{0} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- n)^{n - 1}}{n!} (x e^{x})^{n} d x = - 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{- \infty}^{0} \frac{(- n)^{n - 1}}{n!} (x e^{x})^{n} d x = - 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- n)^{n - 1}}{n!} \int_{- \infty}^{0} (x e^{x})^{n} d x$
となる.

残りの積分部分を計算する.

$\int_{- \infty}^{0} (x e^{x})^{n} d x$
$y = - n x$ とおくと, $d x = - \frac{d y}{n}$ より
$= \frac{1}{n} \int_{0}^{\infty} {(- \frac{y}{n})}^{n} e^{- y} d y = \frac{(- 1)^{n}}{n^{1 + n}} \int_{0}^{\infty} y^{(n + 1) - 1} e^{- y} d y = \frac{(- 1)^{n}}{n^{1 + n}} Γ (n + 1) = \frac{(- 1)^{n} n!}{n^{1 + n}}$
を得る.

よって, 求めた積分値から無限和を整理すると
$- 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- n)^{n - 1}}{n!} \int_{- \infty}^{0} (x e^{x})^{n} d x = - 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- n)^{n - 1}}{n!} \cdot \frac{(- 1)^{n} n!}{n^{1 + n}}$
$= 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{3}$
となる.

また, この積分より
$\int_{- \infty}^{0} W_{0} (x e^{x}) d x = - \frac{π^{2}}{6}, \int_{- 1}^{0} W_{- 1} (x e^{x}) d x = - \frac{π^{2}}{6} - \frac{1}{2}$
を得る.

$x$ の無限テトレーション $x^{x^{x^{\dots}}}$ を $W$ 関数で考える

$y = x^{y}, y = x^{x^{y}}$ の概形の比較

$y = x^{y}$ の概形

$y = x^{y}$ はランベルトの $W$ 関数を用いて, $y$ について解ける.
$y = x^{y} \Leftrightarrow \log y = y \log x \Leftrightarrow (\frac{1}{y}) \log (\frac{1}{y}) = - \log x$
ランベルトの $W$ 関数を取ると
$\log (\frac{1}{y}) = - \log y = W (- \log x) \Leftrightarrow y = e^{- W (- \log x)}$

$W$ 関数は2価の関数なので, それぞれの場合でグラフを考えると, 次のようになります.

!FORMULA[72][1114525241][0] $y = x^{y}$

y = x^{y}

を構成する関数

$y = e^{- W_{0} (- \log x)} : (0, e^{\frac{1}{e}}] \to (0, e]$
$y = e^{- W_{- 1} (- \log x)} : (1, e^{\frac{1}{e}}] \to [e, \infty)$

$y = x^{x^{y}}$ の概形

$y = x^{x^{y}}$ は $y$ については解けないが, $x$ については解けるので, 逆関数を求めることでどんな関数で構成されるのか考えます.
$y = x^{x^{y}} \Leftrightarrow \log y = x^{y} \log x \Leftrightarrow y \log y = x^{y} \log x^{y} = (\log x^{y}) e^{\log x^{y}}$
ランベルトの $W$ 関数を取ると
$W ((\log x^{y}) e^{\log x^{y}}) = \log x^{y} = W (y \log y) \Leftrightarrow x = e^{\frac{W (y \log y)}{y}}$

!FORMULA[83][-1309638227][0] $y = x^{x^{y}}$

y = x^{x^{y}}

を構成する関数

$x = e^{\frac{W_{0} (y \log y)}{y}} : (0, e^{\frac{1}{e}}] \to (0, \infty)$
$x = e^{\frac{W_{- 1} (y \log y)}{y}} : (0, \frac{1}{e}] \to (0, 1]$

赤と青の曲線が交わる共有点は $(\frac{1}{e^{e}}, \frac{1}{e})$ です.

テトレーション関連の定理

x^{x^{x^{\dots}}}

が収束する実数

x

の範囲とその極限値

$x \in R$ のとき, $0 < x \leq e^{\frac{1}{e}}$ で収束し, その極限値は
$x^{x^{x^{\dots}}} = e^{- W_{0} (- \log x)} = - \frac{W_{0} (- \log x)}{\log x}$
である.

証明は前セクションから $W$ 関数を使った表示を得ているので, そこを参照してください. Wikipediaには代入する $x$ が複素数の場合でも収束するものを選べば, この値に収束することが書かれていますが, 収束する条件が書いてませんでした. $0 < | x | \leq e^{\frac{1}{e}}$ らへんが妥当かな？

逆関数から導かれる無限テトレーションの値

$f (x) = x^{x^{x^{\dots}}} (0 < x \leq e^{\frac{1}{e}})$ に対して
$f (x^{\frac{1}{x}}) = x$

定理1のきれいな値になるバージョンです.
$f (\sqrt{2}) = {\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{\dots}}} = 2$
とかが有名なんじゃないですかね.

$y = f (x)$ とすると, $y = x^{y} \Leftrightarrow \log y = y \log x \Leftrightarrow f^{- 1} (y) = x = y^{\frac{1}{y}}$
前述より, $x^{\frac{1}{x}}$ は $f$ の逆関数となっている.
$∴ f (x^{\frac{1}{x}}) = f (f^{- 1} (x))$
$y = f^{- 1} (x)$ とおくと, $y = f (x)$ が収束する範囲に $x = f (y)$ となる $x$ を一つ取れる.
$∴ f (x^{\frac{1}{x}}) = f (f^{- 1} (x)) = f (y) = x$

おわりに

W関数の積分は $x e^{x}$ と置換したり, 級数展開したりすれば, 上手くいくことが多いです. テトレーションをW関数で表したものを積分とかしたいのですが, 飽きてしまったので少ないですがこれで終わりにします.

書くことがなくなって題材を探すようになれば追加するかも......

参考文献

[1]

ランベルトのW関数, Wikipedia, 閲覧日 2024年12月16日, https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AEW%E9%96%A2%E6%95%B0

[2]

Lagrange Inversion Theorem, Wikipedia, 閲覧日 2024年12月20日, https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_inversion_theorem

[3]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Dec 21 2024

投稿日：2024年12月20日

更新日：2024年12月21日

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ランベルトのW関数の積分を解いたり, テトレーションをW関数で表したりした

ランベルトの $W$ 関数
定義
$W_{0}$ の級数展開
ランベルトの $W$ 関数の積分
$x$ の無限テトレーション $x^{x^{x^{\dots}}}$ を $W$ 関数で考える
$y = x^{y}, y = x^{x^{y}}$ の概形の比較
テトレーション関連の定理
おわりに
参考文献

ランベルトのW関数の積分を解いたり, テトレーションをW関数で表したりした

ランベルトのW関数

定義

W0の級数展開

ランベルトのW関数の積分

W−1の積分をW0の積分で表す

級数展開で積分を級数にする

積分と無限和の入れ替えのために, 有界であることを示したい.

残りの積分部分を計算する.

xの無限テトレーションxxx⋯をW関数で考える

y=xy,y=xxyの概形の比較

y=xyの概形

y=xxyの概形

テトレーション関連の定理

おわりに

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$W_{0}$ の級数展開

ランベルトの $W$ 関数の積分

$W_{- 1}$ の積分を $W_{0}$ の積分で表す

$x$ の無限テトレーション $x^{x^{x^{\dots}}}$ を $W$ 関数で考える

$y = x^{y}, y = x^{x^{y}}$ の概形の比較

$y = x^{y}$ の概形

$y = x^{x^{y}}$ の概形