LambertのW関数

こんにちは、まぷすとです。
今回はLambertのW関数について紹介しようと思います。

LambertのW関数

皆さんはLambertのW関数を知っていますか？
知っていたらかなりマニアックだと思います。（偏見）
早速定義を見ていきます。

……さて、勘のいい方は気付いていると思いますが、上の定義は概略としてはいいのですが、厳密ではありません。逆関数とは何か、もう一度考えてみましょう。

実際に$f(x)=x{e}^x$のグラフを描いてみてください。
$x=-1$で最小値$-1/e$をとり、$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$$となるようなグラフが描けると思います。
このグラフの逆関数を取ろうとすると、$-1/e<x<0$の範囲では1つの$x$に対して$y$の値が2つ出てきてしまい、逆関数を定めることができません。このような関数を多価関数と言います。

しかし、範囲を定めることによって、逆関数を定めることができます。

定義域を複素数にとることもできますが、この記事では実数の場合のみを考え、さらに主枝や分枝のことは深く考えないことにします。

LambertのW関数の特殊値・等式

LambertのW関数（以下W関数と呼ぶ）を定義したところで、特殊値や等式について見てみましょう。
ここで比較しやすいように、指数・対数の関係の例を挙げておきます。
$$8=2^3\iff 3={\log }_{2}8$$
そしてW関数は
$$y=x{e}^x\iff x=W(y)$$
となります。

① $x=1$のとき

$$e=1\cdot e^1\iff 1=W(e)$$

② $x=0$のとき

$$0=0\cdot e^0\iff 0=W(0)$$

③ $x=-1$のとき

$$-\frac{1}{e}=-1\cdot e^{-1}\iff -1=W(-\frac{1}{e})$$

④ $x=x$のとき

$$W(x)=x{e}^x\iff x=W((W(x))=W(x{e}^x)$$

⑤ $x=W(x)$のとき

$$x=W(x)e^{W(x)}\iff W(x)=W(x)$$

⑥$y=1$のとき

$$1=x{e}^x\iff \dots ??$$
この場合、方程式$x{e}^x=1$を解かないといけませんが、もちろん初等的には解けません。そこで、この方程式の解を$x=\mathrm{\Omega }=0.56714\dots$ (オメガ定数)と定めます。

$$1=\mathrm{\Omega }{e}^{\mathrm{\Omega }}\iff \mathrm{\Omega }=W(1)$$

LambertのW関数の微積分

W関数の微積分については次の命題が成り立ちます。

陰関数の微分や部分積分を使うと証明できると思います。

LambertのW関数に関する記事

W関数に関するmathlog記事を紹介します。ぜひ読んでみてください。
[1] ランベルトのW関数の積分を解いたり, テトレーションをW関数で表したりした
[2] ラグランジュ反転公式の応用(1)
[3] x^xとガンマ関数を含む積分とランベルトのW関数

読んでいただきありがとうございました。