LambertのW関数

この記事ではLambertのW関数についてわかりやすく解説しようと思います。

目次

・LambertのW関数の定義
・LambertのW関数の特殊値・等式

LambertのW関数とは

皆さんはLambertのW関数を知っていますか？
知っていたらかなりマニアックだと思います（偏見）。

……さて、勘のいい方は気付いていると思います。上の定義は概略としてはいいのですが、厳密ではありません。逆関数とは何か、もう一度考えてみましょう。

$f(x)=xe^x$のグラフを描いてみましょう。（画像）
$x=-1$で極小値かつ最小値$\displaystyle{-\frac{1}{e}}$をとり、$$\lim_{x \to -\infty}f(x)=0,\,\, \lim_{x \to \infty}f(x)=\infty$$となるようなグラフが描けると思います。
このグラフの逆関数を取ろうとすると、$\displaystyle{-\frac{1}{e} < x < 0}$の範囲では1つの$x$に対して$y$の値が2つ出てきてしまい、逆関数を定めることができません。このような関数を多価関数と言います。

しかし、範囲を定めることによって、逆関数を定めることができます。

ここまでは厳密な定義の解説でした。しかし、ここからはあまり主枝や分枝のことは考慮しません。

LambertのW関数の特殊値・等式

LambertのW関数（以下W関数と呼ぶ）を定義したところで、特殊値や等式について見てみましょう。

ここで比較しやすいように、指数・対数の関係の例を挙げておきます。

$$8=2^3 \Leftrightarrow 3=\log_2 8$$

そしてW関数は

$$y=xe^x \Leftrightarrow x=W(y)$$ となります。

① $x=1$のとき

$$e=1 \cdot e^1 \Leftrightarrow 1=W(e)$$

② $x=0$のとき

$$0=0 \cdot e^0 \Leftrightarrow 0=W(0)$$

③ $x=-1$のとき

$$-\frac{1}{e}=-1 \cdot e^{-1} \Leftrightarrow -1=W\left(-\frac{1}{e}\right)$$

④ $x=x$のとき

$$W(x)=xe^x \Leftrightarrow x=W((W(x))=W(xe^x)$$

⑤ $x=W(x)$のとき

$$x=W(x)e^{W(x)} \Leftrightarrow W(x)=W(x)$$

⑥$y=1$のとき

$$1=xe^x \Leftrightarrow …??$$
この場合、方程式$xe^x=1$を解かないといけませんが、もちろん初等的には解けません。そこで、この方程式の解を$x=\Omega$(**オメガ定数**)と定め、新たな定数とします。

$$1=\Omega e^{\Omega} \Leftrightarrow \Omega=W(1)$$ここで$\Omega=0.56714...$となります。

少し冗長だったかもしれませんが、わかりやすかったと思います。
これでも厳密性には大きく欠けますが、読んでいただきありがとうございました。
(2022/5/3 垢移行後、編集の上再投稿)