ラグランジュ反転公式の応用を考えてみます。
ラグランジュ反転公式についてはこちらの記事をご覧ください→
https://mathlog.info/articles/607
ラグランジュ反転公式
・応用例1 ランベルトのW関数
とします。これの逆関数はランベルトのW関数と呼ばれ、はオメガ定数と呼ばれます。
にラグランジュ反転公式を使うと、
となり、のマクローリン展開が求められました。
これをもう少し一般化してみたいのでラグランジュ反転公式を一般化してみます。
(ラグランジュ反転公式)
(証明)
とおきます。
これを前回の記事と同様に にを代入→で微分→で割る→の係数を比較 としてみると、
となります。 □
これで再びとしてみると、
となります。
これで少し遊んでみましょう。
一般に、が成り立つのでこれをに適用してみます。
これのの係数を比較すると、
従って、
となります。特に、としてみると、
となります。とても美しいですね!