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ラグランジュ反転公式

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ラグランジュ反転公式(Lagrange Inversion Theorem)について書いてみます。

ラグランジュ反転公式
$f(x)$が点$0$で解析的で$f(0)=0,f'(0)\neq0$を満たすとき

$\displaystyle f^{-1}(x)=\sum_{n=1}^\infty\lim_{t\to0}\left(\frac{d}{dt}\right)^{n-1}\left(\frac{t}{f(t)}\right)^n\frac{x^n}{n!}$

証明をする前に使う記号を定義します。

定義
$F(x)$をマクローリン展開(もしくはローラン展開)したときの$x^n$の係数を$[x^n]F(x)$で表します。

つまり、$\displaystyle F(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_nx^n$に対して$[x^n]F(x)=a_n$ということです。


(証明)
まず、以下の事実を確認します。
$\displaystyle[x^{-1}]F'(x)=0$
$\displaystyle[x^{-1}]\frac{f'(x)}{f(x)}=1$
これらはそれぞれ
$\displaystyle F'(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty na_nx^{n-1}$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{xf'(x)}{f(x)}=\lim_{x\to0}\frac{xf''(x)+f'(x)}{f'(x)}=1$
からわかります。

$f(0)=0$より、$f^{-1}(0)=0$なので、
$\displaystyle f^{-1}(x)=\sum_{n=1}^\infty c_nx^n$とおきます。
xにf(x)を代入して微分して両辺を$f(x)^k$で割って両辺の$x^{-1}$の係数を比較すると、
$\displaystyle x=\sum_{n=1}^\infty c_n(f(x))^n$
$\displaystyle 1=\sum_{n=1}^\infty nc_n(f(x))^{n-1}f'(x)$
$\displaystyle f(x)^{-k}=\sum_{n=1}^\infty nc_n(f(x))^{n-k-1}f'(x)$
$\displaystyle f(x)^{-k}=kc_k\frac{f'(x)}{f(x)}+\sum_{n=1\\n\neq k}^\infty \frac{n}{n-k}c_n((f(x))^{n-k})'$
$\displaystyle[x^{-1}]f(x)^{-k}=kc_k=k[x^k]f^{-1}(x)$
よって、
$\displaystyle[x^k]f^{-1}(x) \\\displaystyle=\frac{1}{k}[x^{-1}]f(x)^{-k} \\\displaystyle=\frac{1}{k}[x^{k-1}]\left(\frac{x}{f(x)}\right)^k$
$\displaystyle=\frac{1}{k!}\lim_{t\to0}\left(\frac{d}{dt}\right)^{k-1}\left(\frac{t}{f(t)}\right)^k$

これで証明できましたね。
証明の途中に出てきた$[x^{-1}]f(x)^{-k}=k[x^k]f^{-1}(x)$という式もよく使うので覚えておきます。
応用例は次回の記事で紹介します。
お読みいただきありがとうございました。

次回→ https://mathlog.info/articles/881

投稿日:20201114

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