ラグランジュ反転公式

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ラグランジュ反転公式(Lagrange Inversion Theorem)について書いてみます。

ラグランジュ反転公式

f (x)

が点

0

で解析的で

f (0) = 0, f^{'} (0) \neq 0

を満たすとき

f^{- 1} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} lim_{t \to 0} {(\frac{d}{d t})}^{n - 1} {(\frac{t}{f (t)})}^{n} \frac{x^{n}}{n!}

証明をする前に使う記号を定義します。

定義

F (x)

をマクローリン展開(もしくはローラン展開)したときの

x^{n}

の係数を

[x^{n}] F (x)

で表します。

つまり、 $F (x) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} x^{n}$ に対して $[x^{n}] F (x) = a_{n}$ ということです。

(証明)
まず、以下の事実を確認します。

[x^{- 1}] F^{'} (x) = 0

[x^{- 1}] \frac{f^{'} (x)}{f (x)} = 1

これらはそれぞれ

F^{'} (x) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}

と

lim_{x \to 0} \frac{x f^{'} (x)}{f (x)} = lim_{x \to 0} \frac{x f^{″} (x) + f^{'} (x)}{f^{'} (x)} = 1

からわかります。

f (0) = 0

より、

f^{- 1} (0) = 0

なので、

f^{- 1} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} x^{n}

とおきます。
xにf(x)を代入して微分して両辺を

f (x)^{k}

で割って両辺の

x^{- 1}

の係数を比較すると、

x = \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} (f (x))^{n}

1 = \sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} (f (x))^{n - 1} f^{'} (x)

f (x)^{- k} = \sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} (f (x))^{n - k - 1} f^{'} (x)

f (x)^{- k} = k c_{k} \frac{f^{'} (x)}{f (x)} + \sum_{n = 1 n \neq k}^{\infty} \frac{n}{n - k} c_{n} ((f (x))^{n - k})^{'}

[x^{- 1}] f (x)^{- k} = k c_{k} = k [x^{k}] f^{- 1} (x)

よって、

[x^{k}] f^{- 1} (x) = \frac{1}{k} [x^{- 1}] f (x)^{- k} = \frac{1}{k} [x^{k - 1}] {(\frac{x}{f (x)})}^{k}

= \frac{1}{k!} lim_{t \to 0} {(\frac{d}{d t})}^{k - 1} {(\frac{t}{f (t)})}^{k}

□

これで証明できましたね。
証明の途中に出てきた $[x^{- 1}] f (x)^{- k} = k [x^{k}] f^{- 1} (x)$ という式もよく使うので覚えておきます。
応用例は次回の記事で紹介します。
お読みいただきありがとうございました。

投稿日：2020年11月14日

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